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2021届浙江省高考数学一轮学案：第五章第7节 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及应用
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第7节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
考试要求 1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响；2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
知 识 梳 理
1.“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的简图
“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点，作图时的一般步骤为：
(1)定点：如下表所示.
x
－
ωx＋φ
0
π
2π
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象.
(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝Asin(ωx＋φ)在R上的图象.
2.函数y＝Asin(ωx＋φ)中各量的物理意义
当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示简谐振动时，几个相关的概念如下表：
简谐振动
振幅
周期
频率
相位
初相
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，
x∈[0，＋∞)
A
T＝
f＝
ωx＋φ
φ
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径
[常用结论与易错提醒]
1.由函数y＝sin x的图象经过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，如先伸缩再平移时，要把x前面的系数提取出来.
2.复合形式的三角函数的单调区间的求法.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx＋φ看作一个整体.若ω<0，要先根据诱导公式进行转化.
3.求函数y＝Asin(ωx＋φ)在x∈[m，n]上的最值，可先求t＝ωx＋φ的范围，再结合图象得出y＝Asin t的值域.
诊 断 自 测
1.判断下列说法的正误.
(1)将函数y＝3sin 2x的图象左移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sin.( )
(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.( )
(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.( )
(4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.( )
解析 (1)将函数y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3cos 2x.
(2)“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|φ|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为.故当|ω|≠1时平移的长度不相等.
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
2.y＝2sin的振幅、频率和初相分别为( )
A.2，，－ B.2，，－
C.2，，－ D.2，，－
解析 振幅A＝2，频率f＝＝＝，初相φ＝－.
答案 A
3.(2018·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝的最小正周期为( )
A. B.
C.π D.2π
解析 f(x)＝＝＝＝sin xcos x＝sin 2x，所以f(x)的最小正周期T＝＝π.故选C.
答案 C
4.(2019·金华一中月考)要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝cos图象( )
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
解析 因为y＝cos＝－sin 2x，故要得到函数y＝sin＝－sin的图象，只需将函数y＝－sin 2x的图象向左平移个单位长度即可，故选C.
答案 C
5.(2016·浙江卷)设函数f(x)＝sin2x＋bsin x＋c，则f(x)的最小正周期( )
A.与b有关，且与c有关 B.与b有关，但与c无关
C.与b无关，且与c无关 D.与b无关，但与c有关
解析 因为f(x)＝sin2x＋bsin x＋c＝－＋bsin x＋c＋，其中当b＝0时，f(x)＝－＋c＋，f(x)的周期为π；b≠0时，f(x)的周期为2π，即f(x)的周期与b有关但与c无关，故选B.
答案 B
6.如图是函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象，已知函数图象经过P，Q两点，则ω＝________，φ＝________.
解析 因为f(x)过一个周期内的关键点P，Q，故T＝－(T为最小正周期)，即·＝，解得ω＝2，由f(x)的图象经过点P得sin＝1，则＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，则φ＝－＋2kπ(k∈Z)，又|φ|≤，则φ＝－.
答案 2 －
考点一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
【例1】 设函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)的周期为π.
(1)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；
(2)(一题多解)说明函数f(x)的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到.
解 f(x)＝sin ωx＋cos ωx
＝2＝2sin，
又∵T＝π，∴＝π，
即ω＝2，∴f(x)＝2sin.
(1)令z＝2x＋，则y＝2sin＝2sin z.
列表，并描点画出图象：
x
－
z
0
π
2π
y＝sin z
0
1
0
－1
0
y＝2sin
0
2
0
－2
0
(2)法一 把y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位，得到y＝sin的图象；再把y＝sin的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象；最后把y＝sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin的图象.
法二 将y＝sin x的图象上每一点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin 2x的图象；再将y＝sin 2x的图象向左平移个单位，得到y＝sin 2＝sin的图象；再将y＝sin的图象上每一点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到y＝2sin的图象.
规律方法 作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：
(1)五点法作图，用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；
(2)图象的变换法，由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
【训练1】 设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f＝.
(1)求ω和φ的值；
(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象.
解 (1)∵T＝＝π，ω＝2，
又f＝cos＝，
∴sin φ＝－，又－＜φ＜0，∴φ＝－.
(2)由(1)得f(x)＝cos，列表：
2x－
－
0
π
π
π
x
0
π
π
π
π
f(x)
1
0
－1
0
描点画出图象(如图).
考点二 由图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
【例2】 (1)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω＝________，φ＝________.
(2)(一题多解)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为________.
解析 (1)由题图可知，＝·＝－，得ω＝2.
又函数过点，f(x)＝2sin(2x＋φ)，
故2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，得φ＝2kπ－，k∈Z，
∵－＜φ＜，∴φ＝－.
(2)由题图可知A＝，
法一 ＝－＝，所以T＝π，故ω＝2，
因此f(x)＝sin(2x＋φ)，又对应五点法作图中的第三个点，
因此2×＋φ＝π，所以φ＝，故f(x)＝sin.
法二 以为第二个“零点”，为最小值点，
列方程组解得
故f(x)＝sin.
答案 (1)2 － (2)f(x)＝sin
规律方法 已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
(1)五点法，由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ；
(2)代入法，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
【训练2】 (1)已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)，函数f(x)的图象如图所示，则f(2 016π)的值为( )
A. B.－
C. D.－
(2)(2020·镇海中学模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图所示，则φ＝________，为了得到g(x)＝Acos ωx的图象，需将函数y＝f(x)的图象最少向左平移________个单位长度.
解析 (1)由函数的图象可得A＝2，T＝＝4×＝4π，解得ω＝.又图象经过，0＝2sin，0<φ<π，φ＝，故f(x)的解析式为f(x)＝2sin，所以f(2 016π)＝2sin＝.故选A.
(2)由题图知A＝2，T＝2＝π，所以ω＝＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋φ)，把点代入，得sin＝1，所以＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，即φ＝－＋2kπ(k∈Z)，又－π<φ<0，所以φ＝－，所以f(x)＝2sin；因为g(x)＝2cos 2x＝2sin＝2sin，所以要得到函数g(x)的图象需将函数f(x)的图象最少向左平移个单位长度.
答案 (1)A (2)－
考点三 y＝Asin(ωx＋φ)图象与性质的综合应用
【例3】 (2020·浙江名师预测卷二)已知函数f(x)＝sin＋2cos2.
(1)当f(x)的最小正周期和单调递减区间；
(2)当x∈时，求函数f(x)的值域.
解 (1)f(x)＝sin＋2cos2
＝cos 2x＋cos＋1
＝cos 2x－sin 2x＋1
＝2cos＋1，
∴f(x)的最小正周期为T＝＝π，
由2kπ≤2x＋≤2kπ＋π，k∈Z得
kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，即函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z).
(2)∵－≤x≤，
∴－≤2x＋≤，
∴－≤cos≤1，
∴f(x)的值域为[1－，3].
规律方法 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调区间和对称性的确定，基本思想是把ωx＋φ看作一个整体.在单调性应用方面，比较大小是一类常见的题目，依据是同一区间内函数的单调性.对称性是三角函数图象的一个重要性质，因此要抓住其轴对称、中心对称的本质，同时还要会综合利用这些性质解决问题，解题时可利用数形结合思想.
【训练3】 已知函数f(x)＝2cos x·cos在(a>0)上是减函数.
(1)求f(x)的最小正周期和对称轴方程；
(2)(一题多解)求实数a的取值范围.
解 (1)f(x)＝2cos x·
＝(1＋cos 2x)＋sin 2x
＝sin＋.
所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.
令2x＋＝kπ＋，k∈Z，
解得x＝＋，k∈Z，
所以f(x)的对称轴方程为x＝＋，k∈Z.
(2)法一 由(1)可知f(x)在上是减函数.
因为∈，
所以要使得f(x)在上是减函数，
只需满足解得a≤.
又a>0，所以实数a的取值范围.
法二 因为f(x)在上是减函数，
所以－≤＝，即0
所以－a≥kπ＋，且＋a≤kπ＋，
即a≤kπ＋，且a≤－kπ＋，k∈Z.
结合0
基础巩固题组
一、选择题
1.若函数y＝sin(ωx－φ)(ω>0，|φ|<)在区间上的图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )
A.ω＝2，φ＝ B.ω＝2，φ＝－
C.ω＝，φ＝ D.ω＝，φ＝－
解析 由题图可知T＝2＝π，所以ω＝＝2，又sin＝0，所以－φ＝2kπ(k∈Z)，即φ＝－2kπ(k∈Z)，而|φ|<，所以φ＝，故选A.
答案 A
2.将函数f(x)＝sin x－cos x的图象沿着x轴向右平移a(a>0)个单位后的图象关于y轴对称，则a的最小值是( )
A. B.
C. D.
解析 依题意得f(x)＝2sin，因为函数f(x－a)＝2sin的图象关于y轴对称，所以sin＝±1，a＋＝kπ＋，k∈Z，即a＝kπ＋，k∈Z，因此正数a的最小值是，选B.
答案 B
3.函数f(x)＝3sinx－logx的零点的个数是( )
A.2 B.3
C.4 D.5
解析 函数y＝3sinx的周期T＝＝4，由logx＝3，可得x＝.由logx＝－3，可得x＝8.在同一平面直角坐标系中，作出函数y＝3sinx和y＝logx的图象(如图所示)，易知有5个交点，故函数f(x)有5个零点.
答案 D
4.(2020·绍兴一中适考)将函数f(x)＝2sin－1的图象上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是( )
A.函数g(x)的图象关于点对称
B.函数g(x)的周期是
C.函数g(x)在上单调递增
D.函数g(x)在上最大值是1
解析 将函数f(x)＝2sin－1的图象上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，
则得g(x)＝2sin－1，故g(x)的最小正周期T＝＝π；又g＝2sin－1＝－1，即g(x)的图象关于点对称；当x∈时，t＝2x＋∈且单调递增，则y＝2sin t－1在上单调递增，且2sin t－1＜2sin －1＝1，故选C.
答案 C
5.(2019·天津卷)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2π，且g＝，则f＝( )
A.－2 B.－
C. D.2
解析 因为f(x)是奇函数(显然定义域为R)，所以f(0)＝Asin φ＝0，所以sin φ＝0.又|φ|<π，所以φ＝0.
由题意得g(x)＝Asin，且g(x)的最小正周期为2π，
所以ω＝1，即ω＝2.所以g(x)＝Asin x，
所以g＝Asin ＝A＝，所以A＝2.
所以f(x)＝2sin 2x，所以f＝.故选C.
答案 C
6.已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，y＝f(x)的图象与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的单调递增区间是( )
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
解析 f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin.因为函数f(x)的图象与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，则函数f(x)的最小正周期为＝π，解得ω＝2，则f(x)＝2sin，令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z，故选B.
答案 B
二、填空题
7.(2016·浙江卷)已知2cos2x＋sin 2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0)，则A＝________，b＝________.
解析 ∵2cos2x＋sin 2x＝cos 2x＋1＋sin 2x
＝＋1＝sin＋1
＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0)，∴A＝，b＝1.
答案 1
8.(2018·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝cos在[0，π]的零点个数为________.
解析 由题意知cos＝0，所以3x＋＝＋kπ，k∈Z，所以x＝＋，k∈Z，当k＝0时，x＝；当k＝1时，x＝；当k＝2时，x＝，均满足题意，所以函数f(x)在[0，π]上的零点个数为3.
答案 3
9.已知f(x)＝sin (ω>0)，f＝f，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则ω＝________________________________________________________.
解析 依题意，x＝＝时，y有最小值，∴sin＝－1，
∴ω＋＝2kπ＋ (k∈Z).
∴ω＝8k＋ (k∈Z)，因为f(x)在区间上有最小值，无最大值，所以－≤，即ω≤12，令k＝0，得ω＝.
答案
10.已知函数f(x)＝asin 2x＋(a＋1)cos 2x，a∈R，则函数f(x)的最小正周期为________；振幅的最小值为________.
解析 由题意得f(x)＝asin 2x＋(a＋1)cos 2x＝·sin(2x＋φ)，其中tan φ＝，所以函数f(x)的最小正周期为＝π，＝，Δ<0，所以当a＝－＝－时，取得最小值＝，即振幅的最小值为.
答案 π
三、解答题
11.已知函数f(x)＝sin ωx＋cos，其中x∈R，ω＞0.
(1)当ω＝1时，求f的值；
(2)当f(x)的最小正周期为π时，求f(x)在上取得最大值时x的值.
解 (1)当ω＝1时，f＝sin ＋cos
＝＋0＝.
(2)f(x)＝sin ωx＋cos
＝sin ωx＋cos ωx－sin ωx
＝sin ωx＋cos ωx＝sin.
∵＝π，且ω＞0，得ω＝2，∴f(x)＝sin.
由x∈，得2x＋∈，
∴当2x＋＝，即x＝时，f(x)max＝1.
12.(2020·绍兴一中模拟)已知函数f(x)＝2sin xcos x－2cos2x＋1.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若f(x)≥m在x∈上恒成立，求m的取值范围.
解 (1)f(x)＝sin 2x－cos 2x＝2sin，
∴f(x)的最小正周期为T＝π.
(2)令2sin－m≥0，
得m≤2sin在上恒成立，
∵x∈，∴－≤2x－≤，
∴－≤sin≤1，∴－1≤2sin≤2，
∴m≤f(x)min＝－1，即m的取值范围为(－∞，－1].
能力提升题组
13.已知函数f(x)＝asin x＋bcos x(a≠0)在x＝处得最小值，则函数f是( )
A.偶函数且它的图象关于点(π，0)对称
B.偶函数且它的图象关于点对称
C.奇函数且它的图象关于点(π，0)对称
D.奇函数且它的图象关于点对称
解析 因为f(x)＝sin(x＋φ)，其中cos φ＝，sin φ＝，因为函数在x＝处取得最小值，所以＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，即φ＝2kπ＋(k∈Z)，所以f(x)＝sin，所以f＝·sin(2π－x)＝－sin x是奇函数，关于点(kπ，0)(k∈Z)对称，当k＝1时，f关于(π，0)对称，故选C.
答案 C
14.(2019·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝sin(ω>0)，已知f(x)在[0，2π]有且仅有5个零点，下述四个结论：
①f(x)在(0，2π)有且仅有3个极大值点；
②f(x)在(0，2π)有且仅有2个极小值点；
③f(x)在单调递增；
④ω的取值范围是.
其中所有正确结论的编号是( )
A.①④ B.②③
C.①②③ D.①③④
解析 已知f(x)＝sin (ω>0)在[0，2π]有且仅有5个零点，如图，其图象的右端点的横坐标在[a，b)上，此时f(x)在(0，2π)有且仅有3个极大值点，但f(x)在(0，2π)可能有2或3个极小值点，所以①正确，②不正确；当x∈[0，2π]时，ωx＋∈，由f(x)在[0，2π]有且仅有5个零点可得5π≤2πω＋<6π，得ω的取值范围是，所以④正确；由④知，当x∈时，<ωx＋<＋<<，所以f(x)在上单调递增，所以③正确.故选D.
答案 D
15.(一题多解)(2018·全国Ⅱ卷)若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]是减函数，则a的最大值是( )
A. B.
C. D.π
解析 法一 f(x)＝cos x－sin x＝cos，且函数y＝cos x在区间[0，π]上单调递减，则由0≤x＋≤π，得－≤x≤.因为f(x)在[－a，a]上是减函数，所以解得a≤，所以0
即sin≥0在[－a，a]上恒成立，结合函数y＝sin的图象可知有解得a≤，所以0
16.已知ω>0，在函数y＝2sin ωx与y＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则ω＝________.
解析 由得sin ωx＝cos ωx，
∴tan ωx＝1，ωx＝kπ＋ (k∈Z).
∵ω>0，∴x＝＋ (k∈Z).
设距离最短的两个交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，不妨取x1＝，x2＝，则|x2－x1|＝＝.
又结合图形知|y2－y1|＝＝2，
且(x1，y1)与(x2，y2)间的距离为2，
∴(x2－x1)2＋(y2－y1)2＝(2)2，
∴＋(2)2＝12，∴ω＝.
答案
17.(2020·浙江新高考仿真卷五)已知函数f(x)＝sin xcos x＋cos2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期，并写出f(x)图象的对称轴方程；
(2)若将函数y＝f(x)的图象向右平行移动个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求满足g(x0)≥1的实数x0的集合.
解 (1)f(x)＝sin xcos x＋cos2x
＝sin 2x＋(1＋cos 2x)
＝(sin 2x＋cos 2x)＋
＝sin＋，
∴f(x)的最小正周期T＝π，
令2x＋＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，
∴f(x)图象的对称轴方程为x＝＋，k∈Z.
(2)由题意得g(x)＝sin＋＝sin 2x＋，
g(x0)≥1，即sin 2x0＋≥1，sin 2x0≥，
∴＋2kπ≤2x0≤＋2kπ，k∈Z，
∴＋kπ≤x0≤＋kπ，k∈Z，
即所求x0的集合为.
18.(2020·浙江新高考仿真卷四)已知函数f(x)＝
2cos x(a2sin x＋bcos x)(x∈R)的值域为[－1，3].
(1)若函数y＝f(x＋φ)的图象关于直线x＝对称，求|φ|的最小值；
(2)当x∈[0，π]时，方程|f(x)|＝c有四个实数根，求c的取值范围.
解 (1)f(x)＝a2sin 2x＋bcos 2x＋b
＝sin(2x＋β)＋b，其中tan β＝，cos β＝≥0，
由题意得b－＝－1，b＋＝3，
解得a2＝，b＝1，tan β＝，∴β＝＋2kπ，k∈Z，
从而f(x)＝2sin＋1，
∴f(x＋φ)＝2sin＋1，
由y＝f(x＋φ)的图象关于直线x＝对称得
2×＋2φ＋＝kπ＋(k∈Z)，
∴φ＝－(k∈Z).∴|φ|min＝.
(2)如图，y＝|f(x)|＝.
在，，上单调递增，
在，上单调递减，结合f(0)＝f(π)＝2，
f＝1，f＝f＝0可知c∈(0，1).
第7节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
考试要求 1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响；2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
知 识 梳 理
1.“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的简图
“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点，作图时的一般步骤为：
(1)定点：如下表所示.
x
－
ωx＋φ
0
π
2π
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象.
(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝Asin(ωx＋φ)在R上的图象.
2.函数y＝Asin(ωx＋φ)中各量的物理意义
当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示简谐振动时，几个相关的概念如下表：
简谐振动
振幅
周期
频率
相位
初相
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，
x∈[0，＋∞)
A
T＝
f＝
ωx＋φ
φ
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径
[常用结论与易错提醒]
1.由函数y＝sin x的图象经过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，如先伸缩再平移时，要把x前面的系数提取出来.
2.复合形式的三角函数的单调区间的求法.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx＋φ看作一个整体.若ω<0，要先根据诱导公式进行转化.
3.求函数y＝Asin(ωx＋φ)在x∈[m，n]上的最值，可先求t＝ωx＋φ的范围，再结合图象得出y＝Asin t的值域.
诊 断 自 测
1.判断下列说法的正误.
(1)将函数y＝3sin 2x的图象左移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sin.( )
(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.( )
(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.( )
(4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.( )
解析 (1)将函数y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3cos 2x.
(2)“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|φ|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为.故当|ω|≠1时平移的长度不相等.
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
2.y＝2sin的振幅、频率和初相分别为( )
A.2，，－ B.2，，－
C.2，，－ D.2，，－
解析 振幅A＝2，频率f＝＝＝，初相φ＝－.
答案 A
3.(2018·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝的最小正周期为( )
A. B.
C.π D.2π
解析 f(x)＝＝＝＝sin xcos x＝sin 2x，所以f(x)的最小正周期T＝＝π.故选C.
答案 C
4.(2019·金华一中月考)要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝cos图象( )
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
解析 因为y＝cos＝－sin 2x，故要得到函数y＝sin＝－sin的图象，只需将函数y＝－sin 2x的图象向左平移个单位长度即可，故选C.
答案 C
5.(2016·浙江卷)设函数f(x)＝sin2x＋bsin x＋c，则f(x)的最小正周期( )
A.与b有关，且与c有关 B.与b有关，但与c无关
C.与b无关，且与c无关 D.与b无关，但与c有关
解析 因为f(x)＝sin2x＋bsin x＋c＝－＋bsin x＋c＋，其中当b＝0时，f(x)＝－＋c＋，f(x)的周期为π；b≠0时，f(x)的周期为2π，即f(x)的周期与b有关但与c无关，故选B.
答案 B
6.如图是函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象，已知函数图象经过P，Q两点，则ω＝________，φ＝________.
解析 因为f(x)过一个周期内的关键点P，Q，故T＝－(T为最小正周期)，即·＝，解得ω＝2，由f(x)的图象经过点P得sin＝1，则＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，则φ＝－＋2kπ(k∈Z)，又|φ|≤，则φ＝－.
答案 2 －
考点一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
【例1】 设函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)的周期为π.
(1)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；
(2)(一题多解)说明函数f(x)的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到.
解 f(x)＝sin ωx＋cos ωx
＝2＝2sin，
又∵T＝π，∴＝π，
即ω＝2，∴f(x)＝2sin.
(1)令z＝2x＋，则y＝2sin＝2sin z.
列表，并描点画出图象：
x
－
z
0
π
2π
y＝sin z
0
1
0
－1
0
y＝2sin
0
2
0
－2
0
(2)法一 把y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位，得到y＝sin的图象；再把y＝sin的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象；最后把y＝sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin的图象.
法二 将y＝sin x的图象上每一点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin 2x的图象；再将y＝sin 2x的图象向左平移个单位，得到y＝sin 2＝sin的图象；再将y＝sin的图象上每一点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到y＝2sin的图象.
规律方法 作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：
(1)五点法作图，用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；
(2)图象的变换法，由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
【训练1】 设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f＝.
(1)求ω和φ的值；
(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象.
解 (1)∵T＝＝π，ω＝2，
又f＝cos＝，
∴sin φ＝－，又－＜φ＜0，∴φ＝－.
(2)由(1)得f(x)＝cos，列表：
2x－
－
0
π
π
π
x
0
π
π
π
π
f(x)
1
0
－1
0
描点画出图象(如图).
考点二 由图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
【例2】 (1)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω＝________，φ＝________.
(2)(一题多解)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为________.
解析 (1)由题图可知，＝·＝－，得ω＝2.
又函数过点，f(x)＝2sin(2x＋φ)，
故2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，得φ＝2kπ－，k∈Z，
∵－＜φ＜，∴φ＝－.
(2)由题图可知A＝，
法一 ＝－＝，所以T＝π，故ω＝2，
因此f(x)＝sin(2x＋φ)，又对应五点法作图中的第三个点，
因此2×＋φ＝π，所以φ＝，故f(x)＝sin.
法二 以为第二个“零点”，为最小值点，
列方程组解得
故f(x)＝sin.
答案 (1)2 － (2)f(x)＝sin
规律方法 已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
(1)五点法，由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ；
(2)代入法，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
【训练2】 (1)已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)，函数f(x)的图象如图所示，则f(2 016π)的值为( )
A. B.－
C. D.－
(2)(2020·镇海中学模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图所示，则φ＝________，为了得到g(x)＝Acos ωx的图象，需将函数y＝f(x)的图象最少向左平移________个单位长度.
解析 (1)由函数的图象可得A＝2，T＝＝4×＝4π，解得ω＝.又图象经过，0＝2sin，0<φ<π，φ＝，故f(x)的解析式为f(x)＝2sin，所以f(2 016π)＝2sin＝.故选A.
(2)由题图知A＝2，T＝2＝π，所以ω＝＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋φ)，把点代入，得sin＝1，所以＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，即φ＝－＋2kπ(k∈Z)，又－π<φ<0，所以φ＝－，所以f(x)＝2sin；因为g(x)＝2cos 2x＝2sin＝2sin，所以要得到函数g(x)的图象需将函数f(x)的图象最少向左平移个单位长度.
答案 (1)A (2)－
考点三 y＝Asin(ωx＋φ)图象与性质的综合应用
【例3】 (2020·浙江名师预测卷二)已知函数f(x)＝sin＋2cos2.
(1)当f(x)的最小正周期和单调递减区间；
(2)当x∈时，求函数f(x)的值域.
解 (1)f(x)＝sin＋2cos2
＝cos 2x＋cos＋1
＝cos 2x－sin 2x＋1
＝2cos＋1，
∴f(x)的最小正周期为T＝＝π，
由2kπ≤2x＋≤2kπ＋π，k∈Z得
kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，即函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z).
(2)∵－≤x≤，
∴－≤2x＋≤，
∴－≤cos≤1，
∴f(x)的值域为[1－，3].
规律方法 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调区间和对称性的确定，基本思想是把ωx＋φ看作一个整体.在单调性应用方面，比较大小是一类常见的题目，依据是同一区间内函数的单调性.对称性是三角函数图象的一个重要性质，因此要抓住其轴对称、中心对称的本质，同时还要会综合利用这些性质解决问题，解题时可利用数形结合思想.
【训练3】 已知函数f(x)＝2cos x·cos在(a>0)上是减函数.
(1)求f(x)的最小正周期和对称轴方程；
(2)(一题多解)求实数a的取值范围.
解 (1)f(x)＝2cos x·
＝(1＋cos 2x)＋sin 2x
＝sin＋.
所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.
令2x＋＝kπ＋，k∈Z，
解得x＝＋，k∈Z，
所以f(x)的对称轴方程为x＝＋，k∈Z.
(2)法一 由(1)可知f(x)在上是减函数.
因为∈，
所以要使得f(x)在上是减函数，
只需满足解得a≤.
又a>0，所以实数a的取值范围.
法二 因为f(x)在上是减函数，
所以－≤＝，即0
所以－a≥kπ＋，且＋a≤kπ＋，
即a≤kπ＋，且a≤－kπ＋，k∈Z.
结合0
基础巩固题组
一、选择题
1.若函数y＝sin(ωx－φ)(ω>0，|φ|<)在区间上的图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )
A.ω＝2，φ＝ B.ω＝2，φ＝－
C.ω＝，φ＝ D.ω＝，φ＝－
解析 由题图可知T＝2＝π，所以ω＝＝2，又sin＝0，所以－φ＝2kπ(k∈Z)，即φ＝－2kπ(k∈Z)，而|φ|<，所以φ＝，故选A.
答案 A
2.将函数f(x)＝sin x－cos x的图象沿着x轴向右平移a(a>0)个单位后的图象关于y轴对称，则a的最小值是( )
A. B.
C. D.
解析 依题意得f(x)＝2sin，因为函数f(x－a)＝2sin的图象关于y轴对称，所以sin＝±1，a＋＝kπ＋，k∈Z，即a＝kπ＋，k∈Z，因此正数a的最小值是，选B.
答案 B
3.函数f(x)＝3sinx－logx的零点的个数是( )
A.2 B.3
C.4 D.5
解析 函数y＝3sinx的周期T＝＝4，由logx＝3，可得x＝.由logx＝－3，可得x＝8.在同一平面直角坐标系中，作出函数y＝3sinx和y＝logx的图象(如图所示)，易知有5个交点，故函数f(x)有5个零点.
答案 D
4.(2020·绍兴一中适考)将函数f(x)＝2sin－1的图象上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是( )
A.函数g(x)的图象关于点对称
B.函数g(x)的周期是
C.函数g(x)在上单调递增
D.函数g(x)在上最大值是1
解析 将函数f(x)＝2sin－1的图象上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，
则得g(x)＝2sin－1，故g(x)的最小正周期T＝＝π；又g＝2sin－1＝－1，即g(x)的图象关于点对称；当x∈时，t＝2x＋∈且单调递增，则y＝2sin t－1在上单调递增，且2sin t－1＜2sin －1＝1，故选C.
答案 C
5.(2019·天津卷)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2π，且g＝，则f＝( )
A.－2 B.－
C. D.2
解析 因为f(x)是奇函数(显然定义域为R)，所以f(0)＝Asin φ＝0，所以sin φ＝0.又|φ|<π，所以φ＝0.
由题意得g(x)＝Asin，且g(x)的最小正周期为2π，
所以ω＝1，即ω＝2.所以g(x)＝Asin x，
所以g＝Asin ＝A＝，所以A＝2.
所以f(x)＝2sin 2x，所以f＝.故选C.
答案 C
6.已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，y＝f(x)的图象与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的单调递增区间是( )
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
解析 f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin.因为函数f(x)的图象与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，则函数f(x)的最小正周期为＝π，解得ω＝2，则f(x)＝2sin，令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z，故选B.
答案 B
二、填空题
7.(2016·浙江卷)已知2cos2x＋sin 2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0)，则A＝________，b＝________.
解析 ∵2cos2x＋sin 2x＝cos 2x＋1＋sin 2x
＝＋1＝sin＋1
＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0)，∴A＝，b＝1.
答案 1
8.(2018·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝cos在[0，π]的零点个数为________.
解析 由题意知cos＝0，所以3x＋＝＋kπ，k∈Z，所以x＝＋，k∈Z，当k＝0时，x＝；当k＝1时，x＝；当k＝2时，x＝，均满足题意，所以函数f(x)在[0，π]上的零点个数为3.
答案 3
9.已知f(x)＝sin (ω>0)，f＝f，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则ω＝________________________________________________________.
解析 依题意，x＝＝时，y有最小值，∴sin＝－1，
∴ω＋＝2kπ＋ (k∈Z).
∴ω＝8k＋ (k∈Z)，因为f(x)在区间上有最小值，无最大值，所以－≤，即ω≤12，令k＝0，得ω＝.
答案
10.已知函数f(x)＝asin 2x＋(a＋1)cos 2x，a∈R，则函数f(x)的最小正周期为________；振幅的最小值为________.
解析 由题意得f(x)＝asin 2x＋(a＋1)cos 2x＝·sin(2x＋φ)，其中tan φ＝，所以函数f(x)的最小正周期为＝π，＝，Δ<0，所以当a＝－＝－时，取得最小值＝，即振幅的最小值为.
答案 π
三、解答题
11.已知函数f(x)＝sin ωx＋cos，其中x∈R，ω＞0.
(1)当ω＝1时，求f的值；
(2)当f(x)的最小正周期为π时，求f(x)在上取得最大值时x的值.
解 (1)当ω＝1时，f＝sin ＋cos
＝＋0＝.
(2)f(x)＝sin ωx＋cos
＝sin ωx＋cos ωx－sin ωx
＝sin ωx＋cos ωx＝sin.
∵＝π，且ω＞0，得ω＝2，∴f(x)＝sin.
由x∈，得2x＋∈，
∴当2x＋＝，即x＝时，f(x)max＝1.
12.(2020·绍兴一中模拟)已知函数f(x)＝2sin xcos x－2cos2x＋1.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若f(x)≥m在x∈上恒成立，求m的取值范围.
解 (1)f(x)＝sin 2x－cos 2x＝2sin，
∴f(x)的最小正周期为T＝π.
(2)令2sin－m≥0，
得m≤2sin在上恒成立，
∵x∈，∴－≤2x－≤，
∴－≤sin≤1，∴－1≤2sin≤2，
∴m≤f(x)min＝－1，即m的取值范围为(－∞，－1].
能力提升题组
13.已知函数f(x)＝asin x＋bcos x(a≠0)在x＝处得最小值，则函数f是( )
A.偶函数且它的图象关于点(π，0)对称
B.偶函数且它的图象关于点对称
C.奇函数且它的图象关于点(π，0)对称
D.奇函数且它的图象关于点对称
解析 因为f(x)＝sin(x＋φ)，其中cos φ＝，sin φ＝，因为函数在x＝处取得最小值，所以＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，即φ＝2kπ＋(k∈Z)，所以f(x)＝sin，所以f＝·sin(2π－x)＝－sin x是奇函数，关于点(kπ，0)(k∈Z)对称，当k＝1时，f关于(π，0)对称，故选C.
答案 C
14.(2019·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝sin(ω>0)，已知f(x)在[0，2π]有且仅有5个零点，下述四个结论：
①f(x)在(0，2π)有且仅有3个极大值点；
②f(x)在(0，2π)有且仅有2个极小值点；
③f(x)在单调递增；
④ω的取值范围是.
其中所有正确结论的编号是( )
A.①④ B.②③
C.①②③ D.①③④
解析 已知f(x)＝sin (ω>0)在[0，2π]有且仅有5个零点，如图，其图象的右端点的横坐标在[a，b)上，此时f(x)在(0，2π)有且仅有3个极大值点，但f(x)在(0，2π)可能有2或3个极小值点，所以①正确，②不正确；当x∈[0，2π]时，ωx＋∈，由f(x)在[0，2π]有且仅有5个零点可得5π≤2πω＋<6π，得ω的取值范围是，所以④正确；由④知，当x∈时，<ωx＋<＋<<，所以f(x)在上单调递增，所以③正确.故选D.
答案 D
15.(一题多解)(2018·全国Ⅱ卷)若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]是减函数，则a的最大值是( )
A. B.
C. D.π
解析 法一 f(x)＝cos x－sin x＝cos，且函数y＝cos x在区间[0，π]上单调递减，则由0≤x＋≤π，得－≤x≤.因为f(x)在[－a，a]上是减函数，所以解得a≤，所以0
即sin≥0在[－a，a]上恒成立，结合函数y＝sin的图象可知有解得a≤，所以0
16.已知ω>0，在函数y＝2sin ωx与y＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则ω＝________.
解析 由得sin ωx＝cos ωx，
∴tan ωx＝1，ωx＝kπ＋ (k∈Z).
∵ω>0，∴x＝＋ (k∈Z).
设距离最短的两个交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，不妨取x1＝，x2＝，则|x2－x1|＝＝.
又结合图形知|y2－y1|＝＝2，
且(x1，y1)与(x2，y2)间的距离为2，
∴(x2－x1)2＋(y2－y1)2＝(2)2，
∴＋(2)2＝12，∴ω＝.
答案
17.(2020·浙江新高考仿真卷五)已知函数f(x)＝sin xcos x＋cos2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期，并写出f(x)图象的对称轴方程；
(2)若将函数y＝f(x)的图象向右平行移动个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求满足g(x0)≥1的实数x0的集合.
解 (1)f(x)＝sin xcos x＋cos2x
＝sin 2x＋(1＋cos 2x)
＝(sin 2x＋cos 2x)＋
＝sin＋，
∴f(x)的最小正周期T＝π，
令2x＋＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，
∴f(x)图象的对称轴方程为x＝＋，k∈Z.
(2)由题意得g(x)＝sin＋＝sin 2x＋，
g(x0)≥1，即sin 2x0＋≥1，sin 2x0≥，
∴＋2kπ≤2x0≤＋2kπ，k∈Z，
∴＋kπ≤x0≤＋kπ，k∈Z，
即所求x0的集合为.
18.(2020·浙江新高考仿真卷四)已知函数f(x)＝
2cos x(a2sin x＋bcos x)(x∈R)的值域为[－1，3].
(1)若函数y＝f(x＋φ)的图象关于直线x＝对称，求|φ|的最小值；
(2)当x∈[0，π]时，方程|f(x)|＝c有四个实数根，求c的取值范围.
解 (1)f(x)＝a2sin 2x＋bcos 2x＋b
＝sin(2x＋β)＋b，其中tan β＝，cos β＝≥0，
由题意得b－＝－1，b＋＝3，
解得a2＝，b＝1，tan β＝，∴β＝＋2kπ，k∈Z，
从而f(x)＝2sin＋1，
∴f(x＋φ)＝2sin＋1，
由y＝f(x＋φ)的图象关于直线x＝对称得
2×＋2φ＋＝kπ＋(k∈Z)，
∴φ＝－(k∈Z).∴|φ|min＝.
(2)如图，y＝|f(x)|＝.
在，，上单调递增，
在，上单调递减，结合f(0)＝f(π)＝2，
f＝1，f＝f＝0可知c∈(0，1).
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