2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）知识梳理：第十章第三节　空间图形的基本关系与公理

第三节　空间图形的基本关系与公理

一、平面的基本性质及相关公(定)理

1.概念理解

(1)平面的基本性质即三个公理要能用三种语言来表示(文字语言、图形语言、符号语言).

(2)公理4是判断空间两直线平行的依据.

(3)等角定理为解决空间角相等提供了依据.

2.与平面性质相关联的结论

(1)直线及直线外一点可以确定一个平面.

(2)两相交直线确定一个平面.

(3)两平行直线确定一个平面.

二、空间中点、线、面之间的位置关系

1.概念理解

(1)空间两直线的位置关系有三种:相交、平行、异面.

(2)空间直线与平面的位置关系有三种:平行、相交、直线在平面内.

(3)空间两平面的位置关系有两种:平行、相交.

2.与这些位置关系相关联的结论

(1)空间两直线的位置关系中相交、平行也叫共面.

(2)空间直线与平面平行、相交也叫线在面外.

三、异面直线所成角

1.定义

设a,b是两条异面直线,经过空间中任一点O作直线 a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角.

2.范围:.

1.概念理解

(1)异面直线所成角是个空间角,求解时我们通过平移法变为平面角.

(2)范围中有两异面直线垂直,因此空间中两直线垂直位置关系可以相交、异面.

2.与异面直线相关联的结论

(1)一个三棱锥中六条棱构成“三对”异面关系;

(2)平移法求角时点的选取常常是特殊点(中点或端点上).

1.如图是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,则这四个点不共面的一个图是(　D　)

解析:A,B,C图中四点一定共面,D中四点不共面.故选D.

2.若a,b是异面直线,且a∥平面α,则b与α的位置关系是(　D　)

(A)b∥α (B)相交

(C)b⊂α (D)b⊂α、相交或平行

解析:三种情况都有.故选D.

3.下列结论中正确的是(　B　)

①在空间中,若两条直线不相交,则它们一定平行;

②与同一直线都相交的三条平行线在同一平面内;

③一条直线与两条平行直线中的一条相交,那么它也与另一条相交;

④空间四条直线a,b,c,d,如果a∥b,c∥d,且a∥d,那么 b∥c.

(A)①②③ (B)②④

(C)③④ (D)②③

解析:①错,两条直线不相交,则它们可能平行,也可能异面;②显然正确;③错,若一条直线和两条平行直线中的一条相交,则它和另一条直线可能相交,也可能异面;④由平行直线的传递性可知正确.故选B.

4.下列命题中正确的个数是(　B　)

①若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α;

②若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都平行;

③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行;

④若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点.

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

解析:①l与α可能相交,错误;②可能异面,错误;③另一条可能在平面内,错误;④正确.故选B.

考点一　平面的基本性质及应用

[例1] (1)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB和AA1的中点.求证:

①E,C,D1,F四点共面;

②CE,D1F,DA三线共点;

(2)如图所示,ABCD-A1B1C1D1是正方体,在图②中F是B1B的中点,在图①中画出平面BC1D与平面ACD1的交线,在图②中画出平面AD1F与平面ABCD的交线,在图③中画出平面A1BC1与平面ABCD的交线.

(1)证明:

①连接EF,CD1,A1B,

因为E,F分别是AB,AA1的中点,

所以EF∥BA1.

又因为A1B∥D1C,

所以EF∥CD1,

所以E,C,D1,F四点共面.

证明:

②因为EF∥CD1,EF<CD1,

所以CE与D1F必相交,设交点为P,

则由P∈CE,CE⊂平面ABCD,得P∈平面ABCD.

同理P∈平面ADD1A1.

又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA,

所以P∈直线DA,所以CE,D1F,DA三线共点.

(2)解:作法:在图①中连接AC,CD1,分别交BD,C1D于点O,E,连接AD1,OE,则OE是平面BC1D与平面ACD1的交线;

在图②中,延长D1F交DB的延长线于G,连接AG,则AG是平面AD1F与平面ABCD的交线;

在图③中,延长DC使得CH=DC,连接BH,则BH是平面A1BC1与平面ABCD的交线.

共面、共线、共点问题的证明

(1)证明点或线共面问题,一般有两种途径:①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后再证其余的线(或点)在这个平面内;②将所有条件分为两部分,然后分别确定平面,再证两平面重合.

(2)证明点共线问题,一般有两种途径:①先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上;②直接证明这些点都在同一条特定的直线上.

(3)证明线共点问题,常用的方法是:先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点.

(4)画几何体的截面,关键是画截面与几何体各面的交线,此交线只需两个公共点即可确定,作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件,可以更快地确定交线的位置.

以下四个命题中,正确命题的个数是(　B　)

①不共面的四点中,其中任意三点不共线;

②若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则A,B,C,D,E共面;

③若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面;

④依次首尾相接的四条线段必共面.

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

解析:

①显然是正确的,可用反证法证明;②中若A,B,C三点共线,则A,B,C,D,E五点不一定共面;③构造长方体或正方体,如图,显然b,c异面,故不正确;④中空间四边形中四条线段不共面.故正确的个数为1.故选B.

考点二　空间两直线的位置关系

[例2] 关于直线m,n与平面α,β,有以下四个命题:

①若m∥α,n∥β且α∥β,则m∥n;

②若m⊥α,n⊥β且α⊥β,则m⊥n;

③若m⊥α,n∥β且α∥β,则m⊥n;

④若m∥α,n⊥β且α⊥β,则m∥n;

其中正确命题的序号是　　　　　.(把你认为正确命题的序号都填上) 

解析:①错,m,n可能相交,也可能异面.

②正确,是利用向量法求二面角的依据.

③正确,因为m⊥α,n∥β且α∥β,所以m⊥β,m⊥n.

④错,m与n可能异面或相交.

答案:②③

空间中两直线位置关系的判定,主要是异面、平行和垂直的判定,对于异面直线,可采用直接法或反证法;对于平行直线,可利用三角形(梯形)中位线的性质、平行公理及线面平行与面面平行的性质定理;对于垂直关系,往往利用线面垂直的性质来解决.

过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作直线l,使l与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,这样的直线l可以作(　D　)

(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条

解析:

如图,连接体对角线AC1,显然AC1与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,所成角的正切值都为.联想正方体的其他体对角线,如连接BD1,则BD1与棱BC,BA,BB1所成的角都相等,因为BB1∥AA1,BC∥AD,所以体对角线BD1与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,同理,体对角线A1C,DB1也与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,过A点分别作BD1,A1C,DB1的平行线都满足题意,故这样的直线l可以作4条.故选D.

考点三　异面直线所成的角

[例3] 如图所示,三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,E是PC的中点.

(1)求证AE与PB是异面直线;

(2)求异面直线AE和PB所成角的余弦值.

(1)证明:假设AE与PB共面,

设平面为α,

因为A∈α,B∈α,E∈α,

所以平面α即为平面ABE,

所以P∈平面ABE,

这与P∉平面ABE矛盾,

所以AE与PB是异面直线.

(2)解:取BC的中点F,

连接EF,AF,

则EF∥PB,

所以∠AEF(或其补角)就是异面直线AE和PB所成的角.

因为∠BAC=60°,

PA=AB=AC=2,PA⊥平面ABC,

所以AF=,AE=,EF=,

cos∠AEF=

=

=,

所以异面直线AE和PB所成角的余弦值为.

(1)找异面直线所成的角的三种方法

①利用图中已有的平行线平移.

②利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移.

③补形平移.

(2)求异面直线所成角的三个步骤

①作:通过作平行线,得到相交直线.

②证:证明相交直线所成的角或其补角为异面直线所成的角.

③算:通过解三角形,求出该角.

如图是三棱锥D-ABC的三视图,点O在三个视图中都是所在边的中点,则异面直线DO和AB所成角的余弦值等于(　A　)

(A) (B) (C) (D)

解析:

由三视图及题意得如图所示的直观图,从A出发的三条线段AB,AC,AD两两垂直且AB=AC=2,AD=1,O是BC中点,取AC中点E,连接DE,DO,OE,则OE=1,又可知AE=1,由于OE∥AB,故∠DOE即为所求两异面直线所成的角或其补角.在直角三角形DAE中,DE=,由于O是BC的中点,在直角三角形ABC中可以求得AO=,在直角三角形DAO中可以求得DO=.在三角形DOE中,由余弦定理得cos∠DOE==,故选A.

考点四　易错辨析

[例4] 一个正方体的展开图如图所示,A,B,C,D为原正方体的顶点,则在原来的正方体中(　　)

(A)AB∥CD 

(B)AB与CD相交

(C)AB⊥CD 

(D)AB与CD所成的角为60°

解析:如图,把展开图中的各正方形按图1所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原,得到图2所示的直观图,可见选项A,B,C不正确.图2中,BE∥CD,∠ABE为AB与CD所成的角,△ABE为等边三角形.所以∠ABE=60°,所以正确选项为D.故选D.

侧面展开图问题应还原为原来的几何体,从直观图中观察或求值.

如图,侧棱长为2的正三棱锥V-ABC中,∠AVB=∠BVC=∠CVA=40°,过A作截面AEF,则截面△AEF周长的最小值为　　　　. 

解析:沿着侧棱VA把正三棱锥VABC展开在一个平面内,则AA′即为截面△AEF周长的最小值,且∠AVA′=3×40°=120°.

在△VAA′中,由余弦定理可得AA′=6.

答案:6

类型一　平面基本性质及应用

1.已知A,B,C,D,E是空间五个不同的点,若点E在直线BC上,则“AC与BD是异面直线”是“AD与BE是异面直线”的(　B　)

(A)充分不必要条件 (B)充分必要条件

(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

解析:若AC与BD是异面直线,则A,B,C,D四点不共面,

则AD与BC是异面直线,

而点E在BC上,所以AD与BE也是异面直线;

若AD与BE是异面直线,而点E在直线BC上,

所以AD与BC是异面直线,

所以A,B,C,D四点不共面,

所以AC与BD是异面直线,

所以是充分必要条件,故选B.

2.若平面α,β相交,在α,β内各取两点,这四点都不在交线上,这四点能确定　　　　　个平面. 

解析:如果这四点在同一平面内,那么确定一个平面;如果这四点不共面,则任意三点可确定一个平面,所以可确定四个.

答案:1或4

类型二　空间两直线的位置关系

3.已知直线a,b都与平面α相交,则a,b的位置关系是(　D　)

(A)相交 (B)平行

(C)异面 (D)以上都有可能

解析:a,b的位置关系三种情况都有可能.故选D.

4.如图为正方体表面的一种展开图,则图中的AB,CD,EF,GH在原正方体中互为异面直线的有　　　　　对. 

解析:平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化,则AB,CD,EF和GH在原正方体中,显然AB与CD,EF与GH,AB与GH都是异面直线,而AB与EF相交,CD与GH相交,CD与EF平行,故互为异面直线的有3对.

答案:3

类型三　异面直线所成的角

5.矩形ABCD中,AB=,BC=1,将△ABC与△ADC沿AC所在的直线进行随意翻折,在翻折过程中直线AD与直线BC所成的角的范围(包含初始状态)为(　C　)

(A)[0,] (B)[0,]

(C)[0,] (D)[0,]

解析:初始状态直线AD与直线BC成的角为0,翻折过程中当BC⊥BD时,直线AD与直线BC所成的角为直角,因此直线AD与直线BC所成的角范围为[0,],故选C.

6.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E是CC1的中点,那么异面直线EO和D1A所成的角的余弦值等于(　C　)

(A) (B)

(C) (D)

解析:

如图,取BC的中点F,

连接EF,OF,

∠OEF即为EO和D1A所成的角,

且△OEF为直角三角形,

设OF=1,则EF=,

故OE=,cos ∠OEF=.

7.在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形,PA=AB,M是PA的中点,DM和PC所成角的正切值是　　　　. 

解析:如图,连接AC,BD交于点O,

连接MO,O是AC的中点,

而M是PA的中点,

从而MO∥PC,

所以∠DMO(或其补角)是DM和PC所成角,设PA=2,

经计算得MO=,DO=,MD=,所以△MDO是直角三角形,从而tan ∠DMO==.

答案: