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初中人教版24.2.2 直线和圆的位置关系优秀同步达标检测题
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这是一份初中人教版24.2.2 直线和圆的位置关系优秀同步达标检测题，共24页。试卷主要包含了2=12秒，，解得x=8等内容，欢迎下载使用。
24.2.2《直线和圆的位置关系》随堂练习
第1课时 直线和圆的位置关系
基础题
知识点1 直线和圆的位置关系
1．已知半径为5的圆，其圆心到直线的距离是3，此时直线和圆的位置关系为( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．无法确定
2．已知一条直线与圆有公共点，则这条直线与圆的位置关系是( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．相切或相交
3．如图，∠O=30°，C为OB上一点，且OC=6，以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是( )
A．相离 B．相交
C．相切 D．以上三种情况均有可能
4．在平面直角坐标系中，以点(3，2)为圆心，3为半径的圆，一定( )
A．与x轴相切，与y轴相切
B．与x轴相切，与y轴相交
C．与x轴相交，与y轴相切
D．与x轴相交，与y轴相交
5．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，⊙O是以AB为直径的圆，则直线DC与⊙O的位置关系是 ．
6．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4 cm，BC=2 cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有何种位置关系？请你写出判断过程．
(1)r=1.5 cm；(2)r=eq \r(3) cm；(3)r=2 cm.
知识点2 直线和圆的位置关系的性质
7．直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l距离为5，则半径r取值范围是( )
A．r>5 B．r=5
C．0
8．设⊙O的半径为4，点O到直线a的距离为d，若⊙O与直线a至多只有一个公共点，则d的取值范围为( )
A．d≤4 B．d＜4
C．d≥4 D．d=4
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(－3，0)，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为( )
A．1 B．1或5 C．3 D．5
10．⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是方程x2－4x＋m=0的两根，当直线l与⊙O相切时，m的值为 ．
11．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠C=60°，BO=x，⊙O的半径为2，当AB所在的直线与⊙O相交，相切，相离时，求x的取值范围．
易错点 题意理解不清
12．已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO=2，则直线l与⊙O位置关系是 ．
中档题
13．以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y=－x＋b与⊙O相交，则b的取值范围是( )
A．0≤b<2eq \r(2) B．－2eq \r(2)≤b≤2eq \r(2)
C．－2eq \r(3)
14．在△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，以点C为圆心，R为半径画圆，若⊙C与边AB只有一个公共点，则R的取值范围是( )
A．R=eq \f(12,5) B．3≤R≤4
C．04 D．3
15．如图，⊙P的圆心P(－3，2)，半径为3，直线MN过点M(5，0)且平行于y轴，点N在点M的上方．
(1)在图中作出⊙P关于y轴对称的⊙P′，根据作图直接写出⊙P′与直线MN的位置关系；
(2)若点N在(1)中的⊙P′上，求PN的长．
16．如图，有两条公路OM，ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以点P为圆心，50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车与学校A的距离越近噪声影响越大，若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时．
(1)求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；
(2)求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间．
综合题
17．如图，给定一个半径长为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，即OM=d.我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m.如d=0时，l为经过圆心O的一条直线，此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点，即m=4，由此可知：
(1)当d=3时，m= ；
(2)当m=2时，d的取值范围是 ．
第2课时 切线的判定和性质
基础题
知识点1 切线的判定
1．下列说法中，正确的是( )
A．AB垂直于⊙O的半径，则AB是⊙O的切线
B．经过半径外端的直线是圆的切线
C．经过切点的直线是圆的切线
D．圆心到直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线
2．如图，△ABC的一边AB是圆O的直径，请你添加一个条件，使BC是圆O的切线，你所添加的条件为 ．
3．如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，C为eq \(BE,\s\up8(︵))的中点，过点C作直线CD⊥AE于点D，连接AC，BC.试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．
知识点2 切线的性质
4．(吉林中考)如图，直线l是⊙O的切线，A为切点，B为直线l上一点，连接OB交⊙O于点C.若AB=12，OA=5，则BC的长为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
5．如图，AB是⊙O的直径，直线DA与⊙O相切于点A，DO交⊙O于点C，连接BC.若∠ABC=21°，则∠ADC的度数为( )
A．46° B．47°
C．48° D．49°
6．(永州中考)如图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切，切点为A.若∠MAB=30°，则∠B= ．
7．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC，若∠A=30°，PC=3，则BP的长为 ．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，点O在AB上，OB=2，以OB为半径的⊙O与AC相切于点D，交BC于点E，求弦BE的长．
易错点 判断圆和各边相切时考虑不全面而漏解
9．如图，在平面直角坐标系第一象限内有一矩形OABC，B(4，2)，现有一圆同时和这个矩形的三边都相切，则此圆的圆心P的坐标为 ．
中档题
10．如图，两个同心圆的半径分别为4 cm和5 cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为( )
A．3 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm
11．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于( )
A．40° B．50° C．60° D．70°
12．如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M.若∠ABC=55°，则∠ACD等于( )
A．20° B．35° C．40° D．55°
13．如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A(8，0)，与y轴分别交于点B(0，4)与点C(0，16)，则圆心M到坐标原点O的距离是( )
A．10 B．8eq \r(2)
C．4eq \r(13) D．2eq \r(41)
14．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若CF=2，DF=4，求⊙O直径的长．
15．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接OA并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D.
(1)求证：PO平分∠APC；
(2)连接DB，若∠C=30°，求证：DB∥AC.
综合题
16．如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF.
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为3，∠EAC=60°，求AD的长．
第3课时 切线长定理和三角形的内切圆
基础题
知识点1 切线长定理
1．如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.如果∠APB=60°，PA=8，那么弦AB的长是( )
A．4 B．8
C．4eq \r(3) D．8eq \r(3)
2．如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA，CD是⊙O的切线，A，D为切点，连接BD，AD.若∠ACD=30°，则∠DBA的大小是( )
A．15° B．30°
C．60° D．75°
3．把直尺和圆形螺母按如图所示放置在桌面上，∠CAB=60°，若量出AD=6 cm，则圆形螺母的外直径是( )
A．12 cm B．24 cm C．6eq \r(3) cm D．12eq \r(3) cm
4．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是A，B.若PA=6 cm，则PB= _cm．
5．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是A，B.若∠APB=60°，OA=2 cm，则OP= cm．
6．如图，PA，PB切⊙O于点A，B，点C是⊙O上的一点，且∠ACB=65°，则∠P= ．
知识点2 三角形的内切圆
7．如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的( )
A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条高的交点
8．如图，△ABC的内切圆的三个切点分别为D，E，F，∠A=75°，∠B=45°，
则圆心角∠EOF= .
9．如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，且AC=13，AB=12，∠ABC=90°，则⊙O的半径为 ．
10．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=18 cm，BC=28 cm，CA=26 cm，求AF，BD，CE的长．
易错点 内心与外心概念混淆不清
11．如图，△ABC是圆的内接三角形，点P是△ABC的内心，∠A=50°，
则∠BPC的度数为 ．
中档题
12．如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径半圆O与梯形上底AD，下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E.若半圆O半径为2，梯形腰AB为5，则该梯形周长是( )
A．9 B．10 C．12 D．14
13．如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，OP交⊙O于点C，点D是优弧eq \(ABC,\s\up8(︵))上不与点A，点C重合的一个动点，连接AD，CD.若∠APB=80°，则∠ADC的度数是( )
A．15° B．20° C．25° D．30°
14．如图，菱形ABCD的边长为10，⊙O分别与AB，AD相切于E，F两点，且与BG相切于点G.若AO=5，且圆O的半径为3，则BG的长度为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
15．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为( )
A.eq \f(13,3) B.eq \f(9,2)
C.eq \f(4\r(13),3) D．2eq \r(5)
16．如图，△ABC中，AB=AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，点O为△ACD的内切圆圆心，则∠AOB= ．
17．如图，已知在△ABC中，∠A=90°.
(1)请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切；(保留作图痕迹，不写作法和证明)
(2)若∠B=60°，AB=3，求⊙P的面积．
综合题
18．如图，以AB为直径的⊙O分别与四边形ABCD的边切于点A，E，B，DB=DC.
(1)求证：CE=2DE；
(2)若⊙O的半径为2eq \r(2)，求S四边形ABCD.
参考答案
第1课时 直线和圆的位置关系
01 基础题
知识点1 直线和圆的位置关系
1．(梧州中考)已知半径为5的圆，其圆心到直线的距离是3，此时直线和圆的位置关系为(C)
A．相离 B．相切
C．相交 D．无法确定
2．已知一条直线与圆有公共点，则这条直线与圆的位置关系是(D)
A．相离 B．相切
C．相交 D．相切或相交
3．(张家界中考)如图，∠O=30°，C为OB上一点，且OC=6，以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是(C)
A．相离 B．相交
C．相切 D．以上三种情况均有可能
4．在平面直角坐标系中，以点(3，2)为圆心，3为半径的圆，一定(C)
A．与x轴相切，与y轴相切
B．与x轴相切，与y轴相交
C．与x轴相交，与y轴相切
D．与x轴相交，与y轴相交
5．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，⊙O是以AB为直径的圆，则直线DC与⊙O的位置关系是相离．
6．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4 cm，BC=2 cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有何种位置关系？请你写出判断过程．
(1)r=1.5 cm；(2)r=eq \r(3) cm；(3)r=2 cm.
解：过点C作CD⊥AB，垂足为D.
在Rt△ABC中，
∵AB=4，BC=2，∴AC=2eq \r(3).
又∵S△ABC=eq \f(1,2)AB·CD=eq \f(1,2)BC·AC，
∴CD=eq \f(BC·AC,AB)=eq \r(3).
(1)r=1.5 cm时，相离；
(2)r=eq \r(3) cm时，相切；
(3)r=2 cm时，相交．
知识点2 直线和圆的位置关系的性质
7．直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为5，则半径r的取值范围是(A)
A．r>5 B．r=5
C．0
8．设⊙O的半径为4，点O到直线a的距离为d，若⊙O与直线a至多只有一个公共点，则d的取值范围为(C)
A．d≤4 B．d＜4
C．d≥4 D．d=4
9．(山西第二次质量评估)如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(－3，0)，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为(B)
A．1 B．1或5 C．3 D．5
10．(西宁中考)⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是方程x2－4x＋m=0的两根，当直线l与⊙O相切时，m的值为4．
11．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠C=60°，BO=x，⊙O的半径为2，当AB所在的直线与⊙O相交，相切，相离时，求x的取值范围．
解：过点O作OD⊥AB.
∵∠A=90°，∠C=60°，∴∠B=30°.
∴OD=eq \f(1,2)OB=eq \f(1,2)x.
当AB所在的直线与⊙O相交时，0≤eq \f(1,2)x<2，解得0≤x<4.
当AB所在的直线与⊙O相切时，eq \f(1,2)x=2，
解得x=4.
当AB所在的直线与⊙O相离时，eq \f(1,2)x>2，
解得x>4.
易错点 题意理解不清
12．已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO=2，则直线l与⊙O的位置关系是相切或相交．
02 中档题
13．(百色中考)以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y=－x＋b与⊙O相交，则b的取值范围是(D)
A．0≤b<2eq \r(2) B．－2eq \r(2)≤b≤2eq \r(2)
C．－2eq \r(3)
14．在△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，以点C为圆心，R为半径画圆，若⊙C与边AB只有一个公共点，则R的取值范围是(D)
A．R=eq \f(12,5) B．3≤R≤4
C．04 D．3
15．如图，⊙P的圆心P(－3，2)，半径为3，直线MN过点M(5，0)且平行于y轴，点N在点M的上方．
(1)在图中作出⊙P关于y轴对称的⊙P′，根据作图直接写出⊙P′与直线MN的位置关系；
(2)若点N在(1)中的⊙P′上，求PN的长．
解：(1)如图，⊙P′与直线MN相交．
(2)连接PP′并延长交MN于点Q，连接PN，P′N.
在Rt△P′QN中，P′Q=2，P′N=3，由勾股定理可求出QN=eq \r(5).
在Rt△PQN中，PQ=3＋5=8，QN=eq \r(5)，
由勾股定理可求出PN=eq \r(82＋（\r(5)）2)=eq \r(69).
16．如图，有两条公路OM，ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以点P为圆心，50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车与学校A的距离越近噪声影响越大，若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时．
(1)求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；
(2)求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间．
解：(1)过点A作AP⊥ON于点P，
在Rt△AOP中，∠APO=90°，∠POA=30°，OA=80米，
所以AP=80×eq \f(1,2)=40(米)，即对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是40米．
(2)以A为圆心，50米长为半径画弧，交ON于点D，E，
在Rt△ADP中，∠APD=90°，AP=40米，AD=50米，
所以DP=eq \r(AD2－AP2)=eq \r(502－402)=30(米)．
同理可得EP=30米，所以DE=60米．
又因为18千米/时=300米/分，
所以eq \f(60,300)=0.2(分)=12秒，
即卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间为12秒．
03 综合题
17．(永州中考)如图，给定一个半径长为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，即OM=d.我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m.如d=0时，l为经过圆心O的一条直线，此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点，即m=4，由此可知：
(1)当d=3时，m=1；
(2)当m=2时，d的取值范围是1＜d＜3．
第2课时 切线的判定和性质
01 基础题
知识点1 切线的判定
1．下列说法中，正确的是(D)
A．AB垂直于⊙O的半径，则AB是⊙O的切线
B．经过半径外端的直线是圆的切线
C．经过切点的直线是圆的切线
D．圆心到直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线
2．如图，△ABC的一边AB是圆O的直径，请你添加一个条件，使BC是圆O的切线，你所添加的条件为∠ABC=90°或AB⊥BC．
3．(漳州中考改编)如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，C为eq \(BE,\s\up8(︵))的中点，过点C作直线CD⊥AE于点D，连接AC，BC.试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．
解：直线CD与⊙O相切，理由：连接OC.
∵C为eq \(BE,\s\up8(︵))的中点，∴eq \(BC,\s\up8(︵))=eq \(EC,\s\up8(︵)).
∴∠DAC=∠BAC.
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA.
∴∠DAC=∠OCA.∴OC∥AD.
∵AD⊥CD，∴OC⊥CD.
∴CD是⊙O的切线．
知识点2 切线的性质
4．(吉林中考)如图，直线l是⊙O的切线，A为切点，B为直线l上一点，连接OB交⊙O于点C.若AB=12，OA=5，则BC的长为(D)
A．5 B．6
C．7 D．8
5．(莱芜中考)如图，AB是⊙O的直径，直线DA与⊙O相切于点A，DO交⊙O于点C，连接BC.若∠ABC=21°，则∠ADC的度数为(C)
A．46° B．47°
C．48° D．49°
6．(永州中考)如图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切，切点为A.若∠MAB=30°，则∠B=60°．
7．(包头中考)如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC，若∠A=30°，PC=3，则BP的长为eq \r(3)．
8．(南通中考)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，点O在AB上，OB=2，以OB为半径的⊙O与AC相切于点D，交BC于点E，求弦BE的长．
解：连接OD，作OF⊥BE于点F.
∴BF=eq \f(1,2)BE.
∵AC是圆的切线，
∴OD⊥AC.
∴∠ODC=∠C=∠OFC=90°.
∴四边形ODCF是矩形．
∵OD=OB=FC=2，BC=3，
∴BF=BC－FC=BC－OD=3－2=1.
∴BE=2BF=2.
易错点 判断圆和各边相切时考虑不全面而漏解
9．如图，在平面直角坐标系第一象限内有一矩形OABC，B(4，2)，现有一圆同时和这个矩形的三边都相切，则此圆的圆心P的坐标为(1，1)或(3，1)或(2，0)或(2，2)．
02 中档题
10．(教材P101习题T5变式)如图，两个同心圆的半径分别为4 cm和5 cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为(C)
A．3 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm
11．(山西中考)如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于(B)
A．40° B．50° C．60° D．70°
12．(泰安中考)如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M.若∠ABC=55°，则∠ACD等于(A)
A．20° B．35° C．40° D．55°
13．(潍坊中考)如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A(8，0)，与y轴分别交于点B(0，4)与点C(0，16)，则圆心M到坐标原点O的距离是(D)
A．10 B．8eq \r(2)
C．4eq \r(13) D．2eq \r(41)
14．(南充中考)如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若CF=2，DF=4，求⊙O直径的长．
解：(1)证明：连接OD、CD，
∵AC为⊙O的直径，
∴△BCD是直角三角形．
∵E为BC的中点，
∴BE=CE=DE.
∴∠CDE=∠DCE.
∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD.
∵∠ACB=90°，∴∠OCD＋∠DCE=90°.
∴∠ODC＋∠CDE=90°，即OD⊥DE.
∵OD为⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线．
(2)设⊙O的半径为r，
∵∠ODF=90°，
∴OD2＋DF2=OF2，即r2＋42=(r＋2)2.
解得r=3.
∴⊙O的直径为6.
15．(南京中考)如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接OA并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D.
(1)求证：PO平分∠APC；
(2)连接DB，若∠C=30°，求证：DB∥AC.
证明：(1)连接OB，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP.
又OA=OB，
∴PO平分∠APC.
(2)∵OA⊥AP，OB⊥BP，
∴∠CAP=∠OBP=90°.∵∠C=30°，
∴∠APC=90°－∠C=90°－30°=60°.
∵PO平分∠APC，
∴∠OPC=eq \f(1,2)∠APC=eq \f(1,2)×60°=30°.
∴∠POB=90°－∠OPC=90°－30°=60°.
又OD=OB，
∴△ODB是等边三角形．∴∠OBD=60°.
∴∠DBP=∠OBP－∠OBD=90°－60°=30°.
∴∠DBP=∠C.∴DB∥AC.
03 综合题
16．如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF.
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为3，∠EAC=60°，求AD的长．
解：(1)证明：连接FO，易证OF∥AB.
∵AC是⊙O的直径，∴CE⊥AE.
∵OF∥AB，∴OF⊥CE.
∴OF所在直线垂直平分CE.
∴FC=FE，OE=OC.
∴∠FEC=∠FCE，∠OEC=∠OCE.
∵∠ACB=90°.
∴∠OCE＋∠FCE=90°.
∴∠OEC＋∠FEC=90°，即∠FEO=90°.
∴EF⊥OE.又OE为⊙O的半径，
∴EF为⊙O的切线．
(2)∵⊙O的半径为3，∴AO=CO=EO=3.
∵∠EAC=60°，OA=OE，
∴△AOE是等边三角形．
∴∠EOA=60°.∴∠COD=∠EOA=60°.
∵在Rt△OCD中，∠COD=60°，OC=3，
∴CD=3eq \r(3).
∵在Rt△ACD中，∠ACD=90°，CD=3eq \r(3)，AC=6，
∴AD=3eq \r(7).
第3课时 切线长定理和三角形的内切圆
01 基础题
知识点1 切线长定理
1．如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.如果∠APB=60°，PA=8，那么弦AB的长是(B)
A．4 B．8
C．4eq \r(3) D．8eq \r(3)
2．(邵阳中考)如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA，CD是⊙O的切线，A，D为切点，连接BD，AD.若∠ACD=30°，则∠DBA的大小是(D)
A．15° B．30°
C．60° D．75°
3．(济南中考)把直尺和圆形螺母按如图所示放置在桌面上，∠CAB=60°，若量出AD=6 cm，则圆形螺母的外直径是(D)
A．12 cm B．24 cm
C．6eq \r(3) cm D．12eq \r(3) cm
4．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是A，B.若PA=6 cm，则PB=6__cm．
5．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是A，B.若∠APB=60°，OA=2 cm，则OP=4__cm．
6．(忻州中考)如图，PA，PB切⊙O于点A，B，点C是⊙O上的一点，且∠ACB=65°，则∠P=50°．
知识点2 三角形的内切圆
7．(广州中考)如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的(B)
A．三条边的垂直平分线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高的交点
8．(株洲中考)如图，△ABC的内切圆的三个切点分别为D，E，F，∠A=75°，∠B=45°，则圆心角∠EOF=120°.
9．如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，且AC=13，AB=12，∠ABC=90°，则⊙O的半径为2．
10．(教材P100例2变式)如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=18 cm，BC=28 cm，CA=26 cm，求AF，BD，CE的长．
解：根据切线长定理，得
AE=AF，BF=BD，CE=CD.
设AF=AE=x cm，
则CE=CD=(26－x)cm，
BF=BD=(18－x)cm.
∵BC=28 cm，
∴(18－x)＋(26－x)=28.解得x=8.
∴AF=8 cm，BD=10 cm，CE=18 cm.
易错点 内心与外心概念混淆不清
11．(教材P100练习T1变式)如图，△ABC是圆的内接三角形，点P是△ABC的内心，∠A=50°，则∠BPC的度数为115°．
02 中档题
12．如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD，下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E.若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是(D)
A．9 B．10 C．12 D．14
13．(荆州中考)如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，OP交⊙O于点C，点D是优弧eq \(ABC,\s\up8(︵))上不与点A，点C重合的一个动点，连接AD，CD.若∠APB=80°，则∠ADC的度数是(C)
A．15° B．20°
C．25° D．30°
14．如图，菱形ABCD的边长为10，⊙O分别与AB，AD相切于E，F两点，且与BG相切于点G.若AO=5，且圆O的半径为3，则BG的长度为(C)
A．4 B．5 C．6 D．7
15．(南京中考)如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为(A)
A.eq \f(13,3) B.eq \f(9,2)
C.eq \f(4\r(13),3) D．2eq \r(5)
16．如图，△ABC中，AB=AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，点O为△ACD的内切圆圆心，则∠AOB=135°．
17．(武威中考)如图，已知在△ABC中，∠A=90°.
(1)请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切；(保留作图痕迹，不写作法和证明)
(2)若∠B=60°，AB=3，求⊙P的面积．
解：(1)如图所示．
(2)∵∠ABC=60°，BP平分∠ABC，∴∠ABP=30°.
∴BP=2AP.
设AP=x，则BP=2x.由勾股定理，得
AB=eq \r(BP2－AP2)=eq \r(（2x）2－x2)=eq \r(3)x.
∵AB=3，
∴eq \r(3)x=3.
解得x=eq \r(3).
∴AP=eq \r(3).
∴S⊙P=3π.
03 综合题
18．如图，以AB为直径的⊙O分别与四边形ABCD的边切于点A，E，B，DB=DC.
(1)求证：CE=2DE；
(2)若⊙O的半径为2eq \r(2)，求S四边形ABCD.
解：(1)作DF⊥BC于点F，易证
CF=BF=AD=DE，
∵BC=CE，
∴CE=2DE.
(2)设CF=x，
则DE=x，CE=2x，
∴CD=3x.
∵DF=AB=4eq \r(2)，
在Rt△DCF中，有(4eq \r(2))2＋x2=(3x)2.
解得x=2.
∴S四边形ABCD=eq \f(1,2)·AB·(AD＋BC)=eq \f(1,2)×4eq \r(2)×(2＋4)=12eq \r(2).
24.2.2《直线和圆的位置关系》随堂练习
第1课时 直线和圆的位置关系
基础题
知识点1 直线和圆的位置关系
1．已知半径为5的圆，其圆心到直线的距离是3，此时直线和圆的位置关系为( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．无法确定
2．已知一条直线与圆有公共点，则这条直线与圆的位置关系是( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．相切或相交
3．如图，∠O=30°，C为OB上一点，且OC=6，以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是( )
A．相离 B．相交
C．相切 D．以上三种情况均有可能
4．在平面直角坐标系中，以点(3，2)为圆心，3为半径的圆，一定( )
A．与x轴相切，与y轴相切
B．与x轴相切，与y轴相交
C．与x轴相交，与y轴相切
D．与x轴相交，与y轴相交
5．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，⊙O是以AB为直径的圆，则直线DC与⊙O的位置关系是 ．
6．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4 cm，BC=2 cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有何种位置关系？请你写出判断过程．
(1)r=1.5 cm；(2)r=eq \r(3) cm；(3)r=2 cm.
知识点2 直线和圆的位置关系的性质
7．直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l距离为5，则半径r取值范围是( )
A．r>5 B．r=5
C．0
8．设⊙O的半径为4，点O到直线a的距离为d，若⊙O与直线a至多只有一个公共点，则d的取值范围为( )
A．d≤4 B．d＜4
C．d≥4 D．d=4
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(－3，0)，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为( )
A．1 B．1或5 C．3 D．5
10．⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是方程x2－4x＋m=0的两根，当直线l与⊙O相切时，m的值为 ．
11．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠C=60°，BO=x，⊙O的半径为2，当AB所在的直线与⊙O相交，相切，相离时，求x的取值范围．
易错点 题意理解不清
12．已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO=2，则直线l与⊙O位置关系是 ．
中档题
13．以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y=－x＋b与⊙O相交，则b的取值范围是( )
A．0≤b<2eq \r(2) B．－2eq \r(2)≤b≤2eq \r(2)
C．－2eq \r(3)
14．在△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，以点C为圆心，R为半径画圆，若⊙C与边AB只有一个公共点，则R的取值范围是( )
A．R=eq \f(12,5) B．3≤R≤4
C．0
15．如图，⊙P的圆心P(－3，2)，半径为3，直线MN过点M(5，0)且平行于y轴，点N在点M的上方．
(1)在图中作出⊙P关于y轴对称的⊙P′，根据作图直接写出⊙P′与直线MN的位置关系；
(2)若点N在(1)中的⊙P′上，求PN的长．
16．如图，有两条公路OM，ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以点P为圆心，50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车与学校A的距离越近噪声影响越大，若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时．
(1)求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；
(2)求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间．
综合题
17．如图，给定一个半径长为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，即OM=d.我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m.如d=0时，l为经过圆心O的一条直线，此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点，即m=4，由此可知：
(1)当d=3时，m= ；
(2)当m=2时，d的取值范围是 ．
第2课时 切线的判定和性质
基础题
知识点1 切线的判定
1．下列说法中，正确的是( )
A．AB垂直于⊙O的半径，则AB是⊙O的切线
B．经过半径外端的直线是圆的切线
C．经过切点的直线是圆的切线
D．圆心到直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线
2．如图，△ABC的一边AB是圆O的直径，请你添加一个条件，使BC是圆O的切线，你所添加的条件为 ．
3．如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，C为eq \(BE,\s\up8(︵))的中点，过点C作直线CD⊥AE于点D，连接AC，BC.试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．
知识点2 切线的性质
4．(吉林中考)如图，直线l是⊙O的切线，A为切点，B为直线l上一点，连接OB交⊙O于点C.若AB=12，OA=5，则BC的长为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
5．如图，AB是⊙O的直径，直线DA与⊙O相切于点A，DO交⊙O于点C，连接BC.若∠ABC=21°，则∠ADC的度数为( )
A．46° B．47°
C．48° D．49°
6．(永州中考)如图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切，切点为A.若∠MAB=30°，则∠B= ．
7．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC，若∠A=30°，PC=3，则BP的长为 ．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，点O在AB上，OB=2，以OB为半径的⊙O与AC相切于点D，交BC于点E，求弦BE的长．
易错点 判断圆和各边相切时考虑不全面而漏解
9．如图，在平面直角坐标系第一象限内有一矩形OABC，B(4，2)，现有一圆同时和这个矩形的三边都相切，则此圆的圆心P的坐标为 ．
中档题
10．如图，两个同心圆的半径分别为4 cm和5 cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为( )
A．3 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm
11．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于( )
A．40° B．50° C．60° D．70°
12．如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M.若∠ABC=55°，则∠ACD等于( )
A．20° B．35° C．40° D．55°
13．如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A(8，0)，与y轴分别交于点B(0，4)与点C(0，16)，则圆心M到坐标原点O的距离是( )
A．10 B．8eq \r(2)
C．4eq \r(13) D．2eq \r(41)
14．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若CF=2，DF=4，求⊙O直径的长．
15．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接OA并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D.
(1)求证：PO平分∠APC；
(2)连接DB，若∠C=30°，求证：DB∥AC.
综合题
16．如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF.
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为3，∠EAC=60°，求AD的长．
第3课时 切线长定理和三角形的内切圆
基础题
知识点1 切线长定理
1．如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.如果∠APB=60°，PA=8，那么弦AB的长是( )
A．4 B．8
C．4eq \r(3) D．8eq \r(3)
2．如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA，CD是⊙O的切线，A，D为切点，连接BD，AD.若∠ACD=30°，则∠DBA的大小是( )
A．15° B．30°
C．60° D．75°
3．把直尺和圆形螺母按如图所示放置在桌面上，∠CAB=60°，若量出AD=6 cm，则圆形螺母的外直径是( )
A．12 cm B．24 cm C．6eq \r(3) cm D．12eq \r(3) cm
4．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是A，B.若PA=6 cm，则PB= _cm．
5．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是A，B.若∠APB=60°，OA=2 cm，则OP= cm．
6．如图，PA，PB切⊙O于点A，B，点C是⊙O上的一点，且∠ACB=65°，则∠P= ．
知识点2 三角形的内切圆
7．如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的( )
A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条高的交点
8．如图，△ABC的内切圆的三个切点分别为D，E，F，∠A=75°，∠B=45°，
则圆心角∠EOF= .
9．如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，且AC=13，AB=12，∠ABC=90°，则⊙O的半径为 ．
10．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=18 cm，BC=28 cm，CA=26 cm，求AF，BD，CE的长．
易错点 内心与外心概念混淆不清
11．如图，△ABC是圆的内接三角形，点P是△ABC的内心，∠A=50°，
则∠BPC的度数为 ．
中档题
12．如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径半圆O与梯形上底AD，下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E.若半圆O半径为2，梯形腰AB为5，则该梯形周长是( )
A．9 B．10 C．12 D．14
13．如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，OP交⊙O于点C，点D是优弧eq \(ABC,\s\up8(︵))上不与点A，点C重合的一个动点，连接AD，CD.若∠APB=80°，则∠ADC的度数是( )
A．15° B．20° C．25° D．30°
14．如图，菱形ABCD的边长为10，⊙O分别与AB，AD相切于E，F两点，且与BG相切于点G.若AO=5，且圆O的半径为3，则BG的长度为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
15．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为( )
A.eq \f(13,3) B.eq \f(9,2)
C.eq \f(4\r(13),3) D．2eq \r(5)
16．如图，△ABC中，AB=AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，点O为△ACD的内切圆圆心，则∠AOB= ．
17．如图，已知在△ABC中，∠A=90°.
(1)请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切；(保留作图痕迹，不写作法和证明)
(2)若∠B=60°，AB=3，求⊙P的面积．
综合题
18．如图，以AB为直径的⊙O分别与四边形ABCD的边切于点A，E，B，DB=DC.
(1)求证：CE=2DE；
(2)若⊙O的半径为2eq \r(2)，求S四边形ABCD.
参考答案
第1课时 直线和圆的位置关系
01 基础题
知识点1 直线和圆的位置关系
1．(梧州中考)已知半径为5的圆，其圆心到直线的距离是3，此时直线和圆的位置关系为(C)
A．相离 B．相切
C．相交 D．无法确定
2．已知一条直线与圆有公共点，则这条直线与圆的位置关系是(D)
A．相离 B．相切
C．相交 D．相切或相交
3．(张家界中考)如图，∠O=30°，C为OB上一点，且OC=6，以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是(C)
A．相离 B．相交
C．相切 D．以上三种情况均有可能
4．在平面直角坐标系中，以点(3，2)为圆心，3为半径的圆，一定(C)
A．与x轴相切，与y轴相切
B．与x轴相切，与y轴相交
C．与x轴相交，与y轴相切
D．与x轴相交，与y轴相交
5．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，⊙O是以AB为直径的圆，则直线DC与⊙O的位置关系是相离．
6．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4 cm，BC=2 cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有何种位置关系？请你写出判断过程．
(1)r=1.5 cm；(2)r=eq \r(3) cm；(3)r=2 cm.
解：过点C作CD⊥AB，垂足为D.
在Rt△ABC中，
∵AB=4，BC=2，∴AC=2eq \r(3).
又∵S△ABC=eq \f(1,2)AB·CD=eq \f(1,2)BC·AC，
∴CD=eq \f(BC·AC,AB)=eq \r(3).
(1)r=1.5 cm时，相离；
(2)r=eq \r(3) cm时，相切；
(3)r=2 cm时，相交．
知识点2 直线和圆的位置关系的性质
7．直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为5，则半径r的取值范围是(A)
A．r>5 B．r=5
C．0
8．设⊙O的半径为4，点O到直线a的距离为d，若⊙O与直线a至多只有一个公共点，则d的取值范围为(C)
A．d≤4 B．d＜4
C．d≥4 D．d=4
9．(山西第二次质量评估)如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(－3，0)，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为(B)
A．1 B．1或5 C．3 D．5
10．(西宁中考)⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是方程x2－4x＋m=0的两根，当直线l与⊙O相切时，m的值为4．
11．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠C=60°，BO=x，⊙O的半径为2，当AB所在的直线与⊙O相交，相切，相离时，求x的取值范围．
解：过点O作OD⊥AB.
∵∠A=90°，∠C=60°，∴∠B=30°.
∴OD=eq \f(1,2)OB=eq \f(1,2)x.
当AB所在的直线与⊙O相交时，0≤eq \f(1,2)x<2，解得0≤x<4.
当AB所在的直线与⊙O相切时，eq \f(1,2)x=2，
解得x=4.
当AB所在的直线与⊙O相离时，eq \f(1,2)x>2，
解得x>4.
易错点 题意理解不清
12．已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO=2，则直线l与⊙O的位置关系是相切或相交．
02 中档题
13．(百色中考)以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y=－x＋b与⊙O相交，则b的取值范围是(D)
A．0≤b<2eq \r(2) B．－2eq \r(2)≤b≤2eq \r(2)
C．－2eq \r(3)
14．在△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，以点C为圆心，R为半径画圆，若⊙C与边AB只有一个公共点，则R的取值范围是(D)
A．R=eq \f(12,5) B．3≤R≤4
C．0
15．如图，⊙P的圆心P(－3，2)，半径为3，直线MN过点M(5，0)且平行于y轴，点N在点M的上方．
(1)在图中作出⊙P关于y轴对称的⊙P′，根据作图直接写出⊙P′与直线MN的位置关系；
(2)若点N在(1)中的⊙P′上，求PN的长．
解：(1)如图，⊙P′与直线MN相交．
(2)连接PP′并延长交MN于点Q，连接PN，P′N.
在Rt△P′QN中，P′Q=2，P′N=3，由勾股定理可求出QN=eq \r(5).
在Rt△PQN中，PQ=3＋5=8，QN=eq \r(5)，
由勾股定理可求出PN=eq \r(82＋（\r(5)）2)=eq \r(69).
16．如图，有两条公路OM，ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以点P为圆心，50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车与学校A的距离越近噪声影响越大，若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时．
(1)求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；
(2)求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间．
解：(1)过点A作AP⊥ON于点P，
在Rt△AOP中，∠APO=90°，∠POA=30°，OA=80米，
所以AP=80×eq \f(1,2)=40(米)，即对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是40米．
(2)以A为圆心，50米长为半径画弧，交ON于点D，E，
在Rt△ADP中，∠APD=90°，AP=40米，AD=50米，
所以DP=eq \r(AD2－AP2)=eq \r(502－402)=30(米)．
同理可得EP=30米，所以DE=60米．
又因为18千米/时=300米/分，
所以eq \f(60,300)=0.2(分)=12秒，
即卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间为12秒．
03 综合题
17．(永州中考)如图，给定一个半径长为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，即OM=d.我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m.如d=0时，l为经过圆心O的一条直线，此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点，即m=4，由此可知：
(1)当d=3时，m=1；
(2)当m=2时，d的取值范围是1＜d＜3．
第2课时 切线的判定和性质
01 基础题
知识点1 切线的判定
1．下列说法中，正确的是(D)
A．AB垂直于⊙O的半径，则AB是⊙O的切线
B．经过半径外端的直线是圆的切线
C．经过切点的直线是圆的切线
D．圆心到直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线
2．如图，△ABC的一边AB是圆O的直径，请你添加一个条件，使BC是圆O的切线，你所添加的条件为∠ABC=90°或AB⊥BC．
3．(漳州中考改编)如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，C为eq \(BE,\s\up8(︵))的中点，过点C作直线CD⊥AE于点D，连接AC，BC.试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．
解：直线CD与⊙O相切，理由：连接OC.
∵C为eq \(BE,\s\up8(︵))的中点，∴eq \(BC,\s\up8(︵))=eq \(EC,\s\up8(︵)).
∴∠DAC=∠BAC.
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA.
∴∠DAC=∠OCA.∴OC∥AD.
∵AD⊥CD，∴OC⊥CD.
∴CD是⊙O的切线．
知识点2 切线的性质
4．(吉林中考)如图，直线l是⊙O的切线，A为切点，B为直线l上一点，连接OB交⊙O于点C.若AB=12，OA=5，则BC的长为(D)
A．5 B．6
C．7 D．8
5．(莱芜中考)如图，AB是⊙O的直径，直线DA与⊙O相切于点A，DO交⊙O于点C，连接BC.若∠ABC=21°，则∠ADC的度数为(C)
A．46° B．47°
C．48° D．49°
6．(永州中考)如图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切，切点为A.若∠MAB=30°，则∠B=60°．
7．(包头中考)如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC，若∠A=30°，PC=3，则BP的长为eq \r(3)．
8．(南通中考)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，点O在AB上，OB=2，以OB为半径的⊙O与AC相切于点D，交BC于点E，求弦BE的长．
解：连接OD，作OF⊥BE于点F.
∴BF=eq \f(1,2)BE.
∵AC是圆的切线，
∴OD⊥AC.
∴∠ODC=∠C=∠OFC=90°.
∴四边形ODCF是矩形．
∵OD=OB=FC=2，BC=3，
∴BF=BC－FC=BC－OD=3－2=1.
∴BE=2BF=2.
易错点 判断圆和各边相切时考虑不全面而漏解
9．如图，在平面直角坐标系第一象限内有一矩形OABC，B(4，2)，现有一圆同时和这个矩形的三边都相切，则此圆的圆心P的坐标为(1，1)或(3，1)或(2，0)或(2，2)．
02 中档题
10．(教材P101习题T5变式)如图，两个同心圆的半径分别为4 cm和5 cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为(C)
A．3 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm
11．(山西中考)如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于(B)
A．40° B．50° C．60° D．70°
12．(泰安中考)如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M.若∠ABC=55°，则∠ACD等于(A)
A．20° B．35° C．40° D．55°
13．(潍坊中考)如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A(8，0)，与y轴分别交于点B(0，4)与点C(0，16)，则圆心M到坐标原点O的距离是(D)
A．10 B．8eq \r(2)
C．4eq \r(13) D．2eq \r(41)
14．(南充中考)如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若CF=2，DF=4，求⊙O直径的长．
解：(1)证明：连接OD、CD，
∵AC为⊙O的直径，
∴△BCD是直角三角形．
∵E为BC的中点，
∴BE=CE=DE.
∴∠CDE=∠DCE.
∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD.
∵∠ACB=90°，∴∠OCD＋∠DCE=90°.
∴∠ODC＋∠CDE=90°，即OD⊥DE.
∵OD为⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线．
(2)设⊙O的半径为r，
∵∠ODF=90°，
∴OD2＋DF2=OF2，即r2＋42=(r＋2)2.
解得r=3.
∴⊙O的直径为6.
15．(南京中考)如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接OA并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D.
(1)求证：PO平分∠APC；
(2)连接DB，若∠C=30°，求证：DB∥AC.
证明：(1)连接OB，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP.
又OA=OB，
∴PO平分∠APC.
(2)∵OA⊥AP，OB⊥BP，
∴∠CAP=∠OBP=90°.∵∠C=30°，
∴∠APC=90°－∠C=90°－30°=60°.
∵PO平分∠APC，
∴∠OPC=eq \f(1,2)∠APC=eq \f(1,2)×60°=30°.
∴∠POB=90°－∠OPC=90°－30°=60°.
又OD=OB，
∴△ODB是等边三角形．∴∠OBD=60°.
∴∠DBP=∠OBP－∠OBD=90°－60°=30°.
∴∠DBP=∠C.∴DB∥AC.
03 综合题
16．如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF.
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为3，∠EAC=60°，求AD的长．
解：(1)证明：连接FO，易证OF∥AB.
∵AC是⊙O的直径，∴CE⊥AE.
∵OF∥AB，∴OF⊥CE.
∴OF所在直线垂直平分CE.
∴FC=FE，OE=OC.
∴∠FEC=∠FCE，∠OEC=∠OCE.
∵∠ACB=90°.
∴∠OCE＋∠FCE=90°.
∴∠OEC＋∠FEC=90°，即∠FEO=90°.
∴EF⊥OE.又OE为⊙O的半径，
∴EF为⊙O的切线．
(2)∵⊙O的半径为3，∴AO=CO=EO=3.
∵∠EAC=60°，OA=OE，
∴△AOE是等边三角形．
∴∠EOA=60°.∴∠COD=∠EOA=60°.
∵在Rt△OCD中，∠COD=60°，OC=3，
∴CD=3eq \r(3).
∵在Rt△ACD中，∠ACD=90°，CD=3eq \r(3)，AC=6，
∴AD=3eq \r(7).
第3课时 切线长定理和三角形的内切圆
01 基础题
知识点1 切线长定理
1．如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.如果∠APB=60°，PA=8，那么弦AB的长是(B)
A．4 B．8
C．4eq \r(3) D．8eq \r(3)
2．(邵阳中考)如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA，CD是⊙O的切线，A，D为切点，连接BD，AD.若∠ACD=30°，则∠DBA的大小是(D)
A．15° B．30°
C．60° D．75°
3．(济南中考)把直尺和圆形螺母按如图所示放置在桌面上，∠CAB=60°，若量出AD=6 cm，则圆形螺母的外直径是(D)
A．12 cm B．24 cm
C．6eq \r(3) cm D．12eq \r(3) cm
4．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是A，B.若PA=6 cm，则PB=6__cm．
5．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是A，B.若∠APB=60°，OA=2 cm，则OP=4__cm．
6．(忻州中考)如图，PA，PB切⊙O于点A，B，点C是⊙O上的一点，且∠ACB=65°，则∠P=50°．
知识点2 三角形的内切圆
7．(广州中考)如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的(B)
A．三条边的垂直平分线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高的交点
8．(株洲中考)如图，△ABC的内切圆的三个切点分别为D，E，F，∠A=75°，∠B=45°，则圆心角∠EOF=120°.
9．如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，且AC=13，AB=12，∠ABC=90°，则⊙O的半径为2．
10．(教材P100例2变式)如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=18 cm，BC=28 cm，CA=26 cm，求AF，BD，CE的长．
解：根据切线长定理，得
AE=AF，BF=BD，CE=CD.
设AF=AE=x cm，
则CE=CD=(26－x)cm，
BF=BD=(18－x)cm.
∵BC=28 cm，
∴(18－x)＋(26－x)=28.解得x=8.
∴AF=8 cm，BD=10 cm，CE=18 cm.
易错点 内心与外心概念混淆不清
11．(教材P100练习T1变式)如图，△ABC是圆的内接三角形，点P是△ABC的内心，∠A=50°，则∠BPC的度数为115°．
02 中档题
12．如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD，下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E.若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是(D)
A．9 B．10 C．12 D．14
13．(荆州中考)如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，OP交⊙O于点C，点D是优弧eq \(ABC,\s\up8(︵))上不与点A，点C重合的一个动点，连接AD，CD.若∠APB=80°，则∠ADC的度数是(C)
A．15° B．20°
C．25° D．30°
14．如图，菱形ABCD的边长为10，⊙O分别与AB，AD相切于E，F两点，且与BG相切于点G.若AO=5，且圆O的半径为3，则BG的长度为(C)
A．4 B．5 C．6 D．7
15．(南京中考)如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为(A)
A.eq \f(13,3) B.eq \f(9,2)
C.eq \f(4\r(13),3) D．2eq \r(5)
16．如图，△ABC中，AB=AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，点O为△ACD的内切圆圆心，则∠AOB=135°．
17．(武威中考)如图，已知在△ABC中，∠A=90°.
(1)请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切；(保留作图痕迹，不写作法和证明)
(2)若∠B=60°，AB=3，求⊙P的面积．
解：(1)如图所示．
(2)∵∠ABC=60°，BP平分∠ABC，∴∠ABP=30°.
∴BP=2AP.
设AP=x，则BP=2x.由勾股定理，得
AB=eq \r(BP2－AP2)=eq \r(（2x）2－x2)=eq \r(3)x.
∵AB=3，
∴eq \r(3)x=3.
解得x=eq \r(3).
∴AP=eq \r(3).
∴S⊙P=3π.
03 综合题
18．如图，以AB为直径的⊙O分别与四边形ABCD的边切于点A，E，B，DB=DC.
(1)求证：CE=2DE；
(2)若⊙O的半径为2eq \r(2)，求S四边形ABCD.
解：(1)作DF⊥BC于点F，易证
CF=BF=AD=DE，
∵BC=CE，
∴CE=2DE.
(2)设CF=x，
则DE=x，CE=2x，
∴CD=3x.
∵DF=AB=4eq \r(2)，
在Rt△DCF中，有(4eq \r(2))2＋x2=(3x)2.
解得x=2.
∴S四边形ABCD=eq \f(1,2)·AB·(AD＋BC)=eq \f(1,2)×4eq \r(2)×(2＋4)=12eq \r(2).
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