初中数学人教版九年级上册24.1.1 圆同步测试题

弧、弦、圆心角

1．若，是同一圆上的两段弧，且＝，则弦AB与弦CD之间的关系是(　C　)

A．AB＜CD　　 　 　　B．AB＞CD

C．AB＝CD  D．不能确定

【解析】 同圆或等圆中等弧所对的弦相等．

2．如图24－1－27所示，AB是⊙O的直径，C，D是上的三等分点，∠AOE＝60°，则∠COE为(　C　)

A．40°　 　B．60°　 　 C．80°　 　D．120°

【解析】 易知∠EOB＝180°－60°＝120°.∵C，D是的三等分点，∴＝＝，∴∠BOC＝∠COD＝∠DOE，∴∠COE＝∠EOB，∴∠COE＝×120°＝80°.故选C.

图24－1－27

图24－1－28

图24－1－29

3．如图24－1－28，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于D，延长OD交⊙O于E，则下列说法错误的是(　D　)

A．AD＝BD　　　　　　B．∠AOE＝∠BOE

C.＝  D．OD＝DE

【解析】 由垂径定理得A，C正确．又由＝得∠AOE＝∠BOE，故B正确，故选D.

4．如图24－1－29，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠BOC＝110°，AD∥OC，则∠AOD＝(　D　)

A．70°  B．60°

C．50°  D．40°

【解析】 ∠AOC＝180°－∠BOC＝180°－110°＝70°.∵AD∥OC，∴∠A＝∠AOC＝70°.∵OA＝OD，

∴∠A＝∠D＝70°.∴∠AOD＝180°－∠A－∠D＝180°－70°×2＝40°.故选D.

5．已知，是同圆的两段弧，且＝2，则弦AB与2CD之间的关系为(　B　)

A．AB＝2CD  B．AB＜2CD

C．AB＞2CD  D．不能确定

【解析】 如图，在圆上截取＝，则有＝，∴AB＝CE.∵CD＋DE＝2CD＞CE＝AB，∴AB＜2CD.

6．如图24－1－30，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD＝(　B　)

A．105°  B．120°

C．135°  D．150°

图24－1－30

图24－1－31

7．如图24－1－31所示，AB是⊙O的直径，如果∠COA＝∠DOB＝60°，那么与线段OA相等的线段有__OC，OD，OB，AC，CD，DB__；与相等的弧有__和__．

8．如图24－1－32，在⊙O中，＝，∠A＝42°，则∠B＝__69°__．

【解析】 ∵＝，∴AB＝AC，∴∠B＝∠C＝(180°－∠A)＝×(180°－42°)＝69°.

图24－1－32

图24－1－33

9．如图24－1－33，AB为半圆O的直径，OC⊥AB，OD平分∠BOC，交半圆于点D，AD交OC于点E，则∠AEO的度数是__67.5°__．

【解析】 因为OD平分∠BOC，所以∠BOD＝∠BOC＝×90°＝45°.因为OA＝OD，所以∠A＝∠D.又因为∠BOD＝∠A＋∠D＝2∠A，所以∠A＝∠BOD＝×45°＝22.5°，所以∠AEO＝90°－22.5°＝67.5°.

10．如图24－1－34所示，D，E分别是⊙O的半径OA，OB上的点，CD⊥OA，CE⊥OB，CD＝CE，则AC与CB的大小关系是__AC＝CB__．　

图24－1－34

图24－1－35

11．如图24－1－35，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝35°，以C为圆心、CA为半径的圆交AB于D点，则弧AD为__70__度．

【解析】 连接CD，∵∠ACB＝90°，∠B＝35°，

∴∠A＝90°－∠B＝55°.∵CA＝CD，

∴∠A＝∠CDA＝55°，∴∠ACD＝180°－2∠A＝70°.

12．如图24－1－36，AB，BC，AC都是⊙O的弦，且∠AOB＝∠BOC.求证：(1)∠BAC＝∠BCA；

(2)∠ABO＝∠CBO.

图24－1－36

【解析】 (1)在⊙O中，有圆心角∠AOB＝∠BOC，则可知该圆心角所对的弦相等，即AB＝BC，在△ABC中，AB＝BC，则∠BAC＝∠BCA.(2)图中共有4个等腰三角形，根据它们的底角分别相等，可以得出结论．

证明：(1)∵∠AOB＝∠BOC，

∴AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA.

(2)∵OB＝OA，∴∠ABO＝∠BAO，

同理得∠CBO＝∠BCO，∠CAO＝∠ACO.

又∵∠BAC＝∠BCA，∴∠BAO＝∠BCO，

∴∠ABO＝∠CBO.

13．如图24－1－37所示，已知AB为⊙O的直径，M，N分别为OA，OB的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分别为M，N.求证：＝.

图24－1－37

第13题答图

【解析】 证两弧相等，可根据其定义和圆心角、弦、弧三者之间的关系定理与推论来证明．

证明：如图所示，连接OC，OD，则OC＝OD.

又OM＝OA，ON＝OB，OA＝OB，

∴OM＝ON，∴Rt△CMO≌Rt△DNO，

∴∠COA＝∠DOB，∴＝.

14．如图24－1－38所示，A，B，C为⊙O上的三点，且有＝＝，连接AB，BC，CA.

(1)试确定△ABC的形状；

(2)若AB＝a，求⊙O的半径．

图24－1－38

第14题答图

解： (1)∵＝＝(已知)，

∴AB＝BC＝CA(在同圆中相等的弧所对的弦相等)，∴△ABC为等边三角形．

(2)如图，连接OA，OB，OC，过O作OE⊥BC，垂足为E.∵＝＝(已知)，

∴∠AOB＝∠BOC＝∠COA(在同圆中相等的弧所对的圆心角相等)．

又∵∠AOB＋∠BOC＋∠COA＝360°(周角的定义)，

∴∠BOC＝120°.又∵OB＝OC，OE⊥BC，

∴∠BOE＝∠COE＝60°，BE＝EC＝BC＝AB＝a(等腰三角形三线合一)．

∴∠OBE＝90°－∠BOE＝30°.∴OE＝OB.

根据勾股定理得BE2＋OE2＝OB2，

∴＋＝OB2，

解得OB＝a(负值已舍)，即⊙O的半径为a.

15．如图24－1－39，A，B，C，D，E，F是⊙O的六等分点．连接AB，AD，AF，求证：AB＋AF＝AD.

【解析】 连接OB，OF，得到等边△AOB，△AOF，据此并结合圆的性质，即可推理出AB＝AF＝AO＝OD，从而得到AB＋AF＝AD.

图24－1－39

解：连接OB，OF.∵A，B，C，D，E，F是⊙O的六等分点，∴AD是⊙O的直径，且∠AOB＝∠AOF＝60°，又∵OA＝OB，OA＝OF，∴△AOB，△AOF是等边三角形，∴AB＝AF＝AO＝OD，∴AB＋AF＝AO＋OD＝AD.

16．已知如图24－1－40，A点是半圆上一个三等分点，B点是的中点，P是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，则AP＋BP的最小值为多少？

图24－1－40

第16题答图

【解析】 利用圆的对称性，找到AP＋BP取最小值时的P点，再结合弧与圆心角的关系得到直角三角形，运用勾股定理求解．

解：作A关于MN的对称点A′，根据圆的对称性，则A′必在圆上，

连接BA′交MN于P，连接PA，则PA＋PB最小，此时PA＋PB＝PA′＋PB＝A′B，连接OA，OA′，OB.

∵＝，∴∠AON＝∠A′ON＝60°.

∵＝，∴∠BON＝∠AON＝30°，

∴∠A′OB＝90°，

∴A′B＝＝＝，

即AP＋BP的最小值是.