高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数本章综合与测试巩固练习

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数本章综合与测试巩固练习，共9页。

A组


1.为了得到函数y=sin 3x+cs 3x的图象,可以将函数y=2cs 3x的图象( )


A.向右平移π12个单位长度


B.向右平移π4个单位长度


C.向左平移π12个单位长度


D.向左平移π4个单位长度


2.若函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则f11π24的值为( )





A.-62B.-32C.-22D.-1


3.函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,-π2<φ<π2的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是( )





A.2,-π3


B.2,-π6


C.4,-π6


D.4,π3


4.若将函数y=2sin 2x的图象向左平移π12个单位长度,则平移后的图象的对称轴为直线( )


A.x=kπ2-π6(k∈Z)B.x=kπ2+π6(k∈Z)


C.x=kπ2-π12(k∈Z)D.x=kπ2+π12(k∈Z)


5.如图,有一块半圆形钢板,计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状,它的下底AB是☉O的直径,上底CD的端点在圆周上.为研究这个梯形周长的变化情况,设∠BAD=θ,周长为L(x),当θ在定义域内增大时( )





A.L(θ)先减小后增大B.L(θ)减小


C.L(θ)先增大后减小D.L(θ)增大


6.将函数f(x)=cs2x-π2+3cs 2x的图象平移后,得到函数g(x)的图象.若函数g(x)为奇函数,则可以将函数f(x)的图象( )


A.向右平移π12个单位长度B.向右平移π6个单位长度


C.向左平移π12个单位长度D.向左平移π6个单位长度


7.若函数f(x)=Acs(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则f5π6= .





8.某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:





(1)请将上表数据补充完整,并求出函数f(x)的解析式;


(2)根据表格中的数据作出f(x)在一个周期内的图象;


(3)求函数f(x)在区间-π2,0上的最大值和最小值.





























B组


1.函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示,为了得到y=sin 2x的图象,只需将f(x)的图象( )





A.向右平移π3个单位长度B.向右平移π6个单位长度


C.向左平移π3个单位长度D.向左平移π6个单位长度


2.已知函数f(x)=sin(ωx+θ)ω>0,-π2≤θ≤π2的图象相邻的两个对称中心之间的距离为π2.若将函数f(x)的图象向左平移π6个单位长度后得到偶函数g(x)的图象,则函数f(x)的一个单调递减区间为( )


A.-π8,π6B.π4,7π12C.0,π3D.π2,5π6


3.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,且f(α)=1,α∈0,π3,则cs2α+5π6等于( )





A.±223B.223C.-223D.13


4.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y=a+Acsπ6(x-6)(x=1,2,3,…,12)来表示.已知6月份的月平均气温最高,为28 ℃,12月份的月平均气温最低,为18 ℃,则10月份的平均气温值为 ℃.


5.若函数y=cs 2x+3sin 2x+a在区间0,π2上有两个不同的零点,则实数a的取值范围为 .


6.已知函数f(x)=sinωx-π6-cs ωx,其中0<ω<3,函数f(x)图象的一个对称中心为π6,0.


(1)求f(x)的单调递增区间;


(2)将函数f(x)的图象向左平移π24个单位长度,再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象.若g(α)=-335,其中α∈0,π2,求sin α的值.


ωx+φ
0
π2
π
3π2
2π
x
π3
5π6
y=Asin(ωx+φ)
0
3
0
0
参考答案


A组


1.为了得到函数y=sin 3x+cs 3x的图象,可以将函数y=2cs 3x的图象( )


A.向右平移π12个单位长度


B.向右平移π4个单位长度


C.向左平移π12个单位长度


D.向左平移π4个单位长度


解析:因为y=sin 3x+cs 3x=2sin3x+π4,y=2cs 3x=2sin3x+π2,所以只需将y=2cs 3x的图象向右平移π12个单位长度,即可得到y=2sin3x-π12+π2=2sin3x+π4的图象.


答案:A


2.若函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则f11π24的值为( )





A.-62B.-32C.-22D.-1


解析:由题中图象可得A=2,最小正周期T=47π12-π3=π,则ω=2πT=2.


又f7π12=2sin7π6+φ=-2,


解得φ=π3+2kπ(k∈Z).


所以f(x)=2sin2x+π3.


所以f11π24=2sin11π12+π3=2sin5π4=-1,


故选D.


答案:D


3.函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,-π2<φ<π2的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是( )





A.2,-π3


B.2,-π6


C.4,-π6


D.4,π3


解析:由题图可知T2=11π12-5π12,即T=π.


由T=2πω=π,得ω=2.


由题中图象过点5π12,2,


可得5π12×2+φ=π2+2kπ,k∈Z,


解得φ=-π3+2kπ,k∈Z.


又φ∈-π2,π2,故φ=-π3.


答案:A


4.若将函数y=2sin 2x的图象向左平移π12个单位长度,则平移后的图象的对称轴为直线( )


A.x=kπ2-π6(k∈Z)B.x=kπ2+π6(k∈Z)


C.x=kπ2-π12(k∈Z)D.x=kπ2+π12(k∈Z)


解析:将函数y=2sin 2x的图象向左平移π12个单位长度,得到函数y=2sin 2x+π12=2sin2x+π6的图象.由2x+π6=kπ+π2(k∈Z),得x=kπ2+π6(k∈Z),即平移后图象的对称轴为直线x=kπ2+π6(k∈Z).


答案:B


5.如图,有一块半圆形钢板,计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状,它的下底AB是☉O的直径,上底CD的端点在圆周上.为研究这个梯形周长的变化情况,设∠BAD=θ,周长为L(x),当θ在定义域内增大时( )





A.L(θ)先减小后增大B.L(θ)减小


C.L(θ)先增大后减小D.L(θ)增大


解析:连接BD.





∵∠BAD=θ,


∴AD=BC=2Rcs θ,θ∈0,π2.


作DE⊥AB于点E,CM⊥AB于点M,


得AE=BE=ADcs θ=2Rcs2θ.


∴DC=AB-2AE=2R-4Rcs2θ.


∴梯形ABCD的周长L(θ)=AB+2AD+DC=2R+4Rcs θ+2R-4Rcs2θ


=4R(-cs2θ+cs θ+1)


=4R-csθ-122+54,


可得L(θ)在区间0,π3内单调递减,在区间π3,π2内单调递增,故选A.


答案:A


6.将函数f(x)=cs2x-π2+3cs 2x的图象平移后,得到函数g(x)的图象.若函数g(x)为奇函数,则可以将函数f(x)的图象( )


A.向右平移π12个单位长度B.向右平移π6个单位长度


C.向左平移π12个单位长度D.向左平移π6个单位长度


解析:函数f(x)=cs2x-π2+3cs 2x


=sin 2x+3cs 2x=2sin2x+π3


=2sin 2x+π6.


将f(x)的图象向右平移π6个单位长度后,得到函数g(x)=2sin 2x的图象,可知函数g(x)为奇函数,满足条件,故选B.


答案:B


7.若函数f(x)=Acs(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则f5π6= .





解析:由函数f(x)=Acs(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象,可得A=2,


34T=34×2πω=5π12--π3,得ω=2.


再根据2×5π12+φ=2kπ,k∈Z,


求得φ=2kπ-5π6,k∈Z.又|φ|<π,


所以φ=-5π6.则f(x)=2cs2x-5π6.


故f5π6=2cs 5π6=-3.


答案:-3


8.某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:





(1)请将上表数据补充完整,并求出函数f(x)的解析式;


(2)根据表格中的数据作出f(x)在一个周期内的图象;


(3)求函数f(x)在区间-π2,0上的最大值和最小值.





解:(1)根据表中已知数据,


解得A=3,ω=2,φ=-π6,数据补全如下表:





所以函数f(x)的解析式为f(x)=3sin2x-π6.


(2)根据表格中的数据作出f(x)在一个周期内的图象如图所示.





(3)令t=2x-π6,x∈-π2,0,


则t∈-7π6,-π6.


故f(x)=3sin2x-π6,x∈-π2,0可转化为y=3sin t,t∈-7π6,-π6.


因为y=sin x在区间-3π2,-π2上单调递减,在区间-π2,π2上单调递增,


所以y=3sin t在区间-7π6,-π2上单调递减,在区间-π2,-π6上单调递增.


所以y=3sin t的最小值为3sin-π2=-3,最大值为3sin-7π6=32.当t=-π2时,x=-π6;当t=-7π6时,x=-π2.


故当x=-π2时,f(x)max=32;


当x=-π6时,f(x)min=-3.


B组


1.函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示,为了得到y=sin 2x的图象,只需将f(x)的图象( )





A.向右平移π3个单位长度B.向右平移π6个单位长度


C.向左平移π3个单位长度D.向左平移π6个单位长度


解析:由题中图象,可知A=1,34T=7π12--π6=3π4.


又T=2πω,故ω=2.所以f(x)=sin(2x+φ).


所以f7π12=sin2×7π12+φ=-1,


所以2×7π12+φ=2kπ+3π2(k∈Z),


解得φ=2kπ+π3(k∈Z).


因为|φ|<π2,所以φ=π3.


所以f(x)=sin2x+π3,


所以f(x)的图象向右平移π6个单位长度可以得到y=sin2x-2π6+π3=sin 2x的图象.


答案:B


2.已知函数f(x)=sin(ωx+θ)ω>0,-π2≤θ≤π2的图象相邻的两个对称中心之间的距离为π2.若将函数f(x)的图象向左平移π6个单位长度后得到偶函数g(x)的图象,则函数f(x)的一个单调递减区间为( )


A.-π8,π6B.π4,7π12C.0,π3D.π2,5π6


解析:因为函数f(x)=sin(ωx+θ)ω>0,-π2≤θ≤π2的图象相邻的两个对称中心之间的距离为π2,所以T=π.所以ω=2.


因为将函数f(x)的图象向左平移π6个单位长度后,得到图象对应的函数g(x)=sin2x+π3+θ是偶函数,


所以π3+θ=kπ+π2(k∈Z),


解得θ=kπ+π6(k∈Z).


因为-π2≤θ≤π2,所以θ=π6.


所以f(x)=sin2x+π6.


令π2+2kπ≤2x+π6≤2kπ+3π2(k∈Z),


解得π6+kπ≤x≤kπ+2π3(k∈Z).


当k=0时,可知函数f(x)的一个单调递减区间为π6,2π3.


因为π4,7π12⊂π6,2π3,所以选B.


答案:B


3.





已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,且f(α)=1,α∈0,π3,则cs2α+5π6等于( )


A.±223B.223C.-223D.13


解析:由题图可知A=3,T=7π12-π3×4=π=2πω,故ω=2.


∴f(x)=3sin(2x+φ).又fπ3=-3,


∴3sin2π3+φ=-3.∵0<φ<π,∴φ=5π6.


∴f(x)=3sin2x+5π6,


∵f(α)=1,∴sin2α+5π6=13.


∵0<α<π3,∴5π6<2α+5π6<3π2,


∴cs2α+5π6=-1-132=-223.


答案:C


4.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y=a+Acsπ6(x-6)(x=1,2,3,…,12)来表示.已知6月份的月平均气温最高,为28 ℃,12月份的月平均气温最低,为18 ℃,则10月份的平均气温值为 ℃.


解析:依题意可知a=28+182=23,A=28-182=5,


故y=23+5csπ6(x-6).


当x=10时,y=23+5csπ6×4=20.5.


答案:20.5


5.若函数y=cs 2x+3sin 2x+a在区间0,π2上有两个不同的零点,则实数a的取值范围为 .


解析:由题意可知y=2sin2x+π6+a,该函数在区间0,π2上有两个不同的零点,即直线y=-a与曲线y=2sin2x+π6在区间0,π2上有两个不同的交点.





结合函数的图象可知1≤-a<2,故-2

答案:(-2,-1]


6.已知函数f(x)=sinωx-π6-cs ωx,其中0<ω<3,函数f(x)图象的一个对称中心为π6,0.


(1)求f(x)的单调递增区间;


(2)将函数f(x)的图象向左平移π24个单位长度,再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象.若g(α)=-335,其中α∈0,π2,求sin α的值.


解:(1)因为函数f(x)=sinωx-π6-cs ωx=32sin ωx-32cs ωx=3sinωx-π3,


又函数f(x)图象的一个对称中心为π6,0,


所以ωπ6-π3=kπ(k∈Z),即ω=6k+13(k∈Z).


因为0<ω<3,所以ω=2,即f(x)=3sin2x-π3.


令2kπ-π2≤2x-π3≤2kπ+π2(k∈Z),


得kπ-π12≤x≤kπ+5π12(k∈Z),


可得函数f(x)的单调递增区间为[kπ-π12,kπ+5π12](k∈Z).


(2)将函数f(x)的图象向左平移π24个单位长度,再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)=3sinx-π4的图象.


因为g(α)=-335,所以sinα-π4=-35.


又因为α∈0,π2,所以csα-π4=45.


所以sin α=sinα-π4+π4=sinα-π4cs π4+csα-π4sin π4=-35×22+45×22=210.ωx+φ
0
π2
π
3π2
2π
x
π3
5π6
y=Asin(ωx+φ)
0
3
0
0
ωx+φ
0
π2
π
3π2
2π
x
π12
π3
7π12
5π6
13π12
y=Asin(ωx+φ)
0
3
0
-3
0