高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）课后练习题

课时作业54　函数y＝Asin(ωx＋φ)

——基础巩固类——

一、选择题

1．要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin4x的图象(　B　)

A．向左平移个单位   B．向右平移个单位

C．向左平移个单位    D．向右平移个单位

解析：

y＝sin

＝sin.故选B.

2．将函数y＝sin2x的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数是(　A　)

A．奇函数   B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数    D．非奇非偶函数

解析：y＝sin2x的图象向右平移个单位长度得到函数y＝sin＝sin(2x－π)＝－sin(π－2x)＝－sin2x的图象．因为－sin(－2x)＝sin2x，所以是奇函数．

3．函数y＝sin在区间上的简图是(　A　)

解析：当x＝0时，y＝sin＝－<0，故可排除B，D.

当x＝时，y＝sin＝sin0＝0，排除C，故选A.

4．将函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数(　B　)

A．在区间上单调递减

B．在区间上单调递增

C．在区间上单调递减

D．在区间上单调递增

解析：函数图象右移个单位后得到函数解析式为y＝3sin＝3sin，把选项逐一代入验证可得，x∈时，2x－∈，函数单调递增，选B.

5．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式为(　A　)

A．f(x)＝sin   B．f(x)＝sin

C．f(x)＝sin    D．f(x)＝sin

解析：T＝×4＝π，由T＝得ω＝2，由题图象知A＝1，又由2×＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)，|φ|<得φ＝.所以f(x)＝sin.故选A.

6．将函数f(x)＝sinωx(其中ω>0)的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则ω的最小值是(　D　)

A.   B．1

C.    D．2

解析：把f(x)＝sinωx的图象向右平移个单位长度得y＝sin的图象．

∵所得图象过点，∴sin＝0.

∴sin＝0，∴＝kπ(k∈Z)．

∴ω＝2k(k∈Z)．

∵ω>0，∴ω的最小值为2.

二、填空题

7．y＝－2sin的振幅为2，周期为，初期φ＝.

解析：y＝－2sin＝2sin

＝2sin.

∴振幅A＝2，周期T＝，初相φ＝.

8．若将函数f(x)＝sin的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是.

解析：把函数f(x)＝sin的图象向右平移φ个单位，得到f(x)＝sin＝sin的图象．

由于f(x)＝sin的图象关于y轴对称，所以－2φ＋＝kπ＋，k∈Z.即φ＝－－，k∈Z.

当k＝－1时，φ的最小正值是.

9．已知f(x)＝2sin(ωx＋φ)在上单调，且f＝0，f＝2，则f(0)＝－1.

解析：由题意知·＝－，所以ω＝.

由f＝0，得×＋φ＝kπ，k∈Z.

所以φ＝－＋kπ，k∈Z.

又因为|φ|≤，

所以φ＝－.f(0)＝2sin＝－1.

三、解答题

10．已知函数f(x)＝3sin(2x＋φ)，其图象向左平移个单位长度后，关于y轴对称．

(1)求函数f(x)的解析式．

(2)说明其图象是由y＝sinx的图象经过怎样的变换得到的．

解：(1)将函数f(x)＝3sin(2x＋φ)图象上的所有点向左平移个单位长度后，所得图象的函数解析式为

y＝3sin[2(x＋)＋φ]＝3sin(2x＋＋φ)．

因为图象平移后关于y轴对称，

所以2×0＋＋φ＝kπ＋(k∈Z)，

所以φ＝kπ＋(k∈Z)．

因为φ∈(0，)，所以φ＝.

所以f(x)＝3sin(2x＋)．

(2)将函数y＝sinx的图象上的所有点向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式为y＝sin(x＋)，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得函数y＝sin(2x＋)的图象，再把图象上各点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，即得函数y＝3sin(2x＋)的图象．

11．已知函数f(x)＝sin＋1.

(1)求函数y＝f(x)的周期、最大值和对称中心；

(2)在直角坐标系中画出y＝f(x)在上的图象．

解：(1)周期T＝＝＝π，∵－1≤sin≤1，∴f(x)的最大值是1＋.由2x－＝kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，∴对称中心为(＋，1)(k∈Z)．

(2)列表如下：

函数y＝f(x)在上的图象如图所示．

——能力提升类——

12．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　C　)

A．5   B．6

C．8    D．10

解析：由题图可知－3＋k＝2，k＝5，y＝3sin＋5，∴ymax＝3＋5＝8.

13．将函数f(x)＝sin2x的图象向右平移φ

个单位后得到函数g(x)的图象．若对满足|f(x1)－g(x2)|＝2的x1，x2，有|x1－x2|min＝，则φ＝(　D　)

A.   B.

C.    D．

解析：由已知得g(x)＝sin(2x－2φ)，满足|f(x1)－g(x2)|＝2，不妨设此时y＝f(x)和y＝g(x)分别取得最大值与最小值，又|x1－x2|min＝，令2x1＝，2x2－2φ＝－，此时|x1－x2|＝|－φ|＝，又0<φ<，故φ＝，选D.

14．函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移个单位后，与函数y＝sin的图象重合，则φ＝.

解析：y＝cos(2x＋φ)的图象向右平移个单位后得到y＝cos[2(x－)＋φ]的图象，化简得y＝－cos(2x＋φ)，又可变形为y＝sin(2x＋φ－)．由题意可知φ－＝＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝＋2kπ(k∈Z)，结合－π≤φ<π知φ＝.

15．某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；

(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象．若y＝g(x)图象的一个对称中心为，求θ的最小值．

解：(1)根据题表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如下表：

且函数表达式为f(x)＝5sin(2x－)．

(2)由(1)知f(x)＝5sin(2x－)，

得g(x)＝5sin(2x＋2θ－)．

因为y＝sinx的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.

令2x＋2θ－＝kπ(k∈Z)，

解得x＝＋－θ，k∈Z.

由于函数y＝g(x)的图象关于点成中心对称，令＋－θ＝(k∈Z)，

解得θ＝－，k∈Z.

由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值.