【精品讲义】 人教版 八年级上册数学 第16讲 期末复习一（讲义+练习）学生版

这是一份人教版八年级上册本册综合优质教案设计，共27页。教案主要包含了教学建议，知识导图，如图（1），总结与反思等内容，欢迎下载使用。



















期末复习一


















































概 述














【教学建议】


1.做好复习动员，向学生明确复习计划，指出复习重要性，鼓舞学生，激发学生自信。


2.根据学生各章掌握的具体情况与期末复习课的节数，制定具体的复习计划，落实每节课的复习任务。


3.指导学生自己总结、构建知识网络，明确每一章的知识要点，落实基本方法，基本计算，基本证明等。


4.例题及习题的选用应有明确的目的, 习题勿偏难繁，要回归基础，回归教材。例题的选择, 要明确针对学生易出现的错误类型, 使知识的复习达到再现和纠错的目的, 对再次出现的问题应重点巩固。


5.制定适用于不同层次学生的复习安排，使不同学习程度的学生通过复习都能有收获和提高。


























【知识导图】

















教学过程








一、导入








【教学建议】


导入是一节课必备的一个环节，是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生尽快进入学习状态。


导入的方法很多，仅举两种方法：


情境导入，比如讲一个和本讲内容有关的生活现象；


温故知新，在知识体系中，从学生已有知识入手，揭示本节知识与旧知识的关系，帮学生建立知识网络。





复习预习


1、复习三角形的相关性质


2、复习三角形全等的几种证明方法


3、复习角平分线的相关性质及判定方法


4、复习轴对称图形的性质


5、复习等腰三角形，等边三角形的相关性质


6、复习最短路径问题








二、知识讲解








考点1 三角形相关概念








【教学建议】通过前面的引导复习，形成基本框架，梳理填充。


不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形


组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点


三角形ABC用符号表示为△ABC。三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c 表示,顶点B所对的边AC可用b表示,顶点A所对的边BC可用a表示.


三角形的分类





三角形三边的关系


三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边











考点2 三角形的角








三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°


用平行线的性质证明内角和180°


已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°。


证明：过点C作CM∥AB，则∠A=∠ACM，∠B=∠DCM，


又∠ACB+∠ACM+∠DCM=180°


∴∠A+∠B+∠ACB=180°。


即：三角形的内角和等于180°。








三角形外角的概念





∠ACD叫做△ABC的外角。也就是，三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。


三角形的外角共有六个。


注意：每个顶点处有两个外角，它们是对顶角。研究与三角形外角有关的问题时，通常每个顶点处取一个外角





三角形的外角∠ACD与相邻的内角∠ACB是邻补角。


如图，这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线，你能就此图说明∠ACD与∠A、 ∠B的关系吗？





∵CM∥AB， ∴∠A=∠1，∠B=∠2，又∠ACD=∠1+∠2


∴∠ACD=∠A+∠B


三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。


三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。





考点3 三角形内的重要线段








从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高，表示为AD⊥BC于点D。


注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。


再画出这个三角形AB 、AC边上的高，三角形的三条高相交于一点。


现在我们来画钝角三角形三边上的高，如图。


A


B


C


O


D


E


F





再画出一个直角三角形三边上的高，上面的结论还成立。


请画出下列三角形的高


（1）


（2）


（3）





如图，我们把连结△ABC的顶点A和它的对边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线，表示为BD=DC或BD=DC＝BC或2BD=2DC=BC.


在图中画出△ABC的另两条边上的中线，三角的三条中线相交于一点。





三角形的三条中线相交于一点，交点叫做三角形的重心。


请画出下列三角形的中线


（1）


（2）


（3）





如图，画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线,表示为∠BAD=∠CAD或∠BAD=∠CAD＝∠BAC或2∠BAD=2∠CAD＝∠BAC。





三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线，是不一样的。三角形三个角的平分线相交于一点。


如果三角形是直角三角形、钝角三角形，上面的结论仍然成立。


请画出下列三角形的角平分线


（1）


（2）


（3）





角平分线性质及判定


角平分线上的点到角两边的距离相等。


角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。








考点4 多边形








多边形概念


在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形（p1ygn）


多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……三角形是最简单的多边形。如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形。如图7.3—2，螺母底面的边缘可以设计为六边形，也可以设计为八边形。





多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。图7.3—3中的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E是五边形ABCDE的5个内角。多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。图7.3－4中的∠l是五边形ABCDE的一个外角。





多边形的对角线


连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线（diagnal）。图7.3—5中，AC、AD是五边形ABCDE的两条对角线。


特别提醒：n边形（n≥3）从一个顶点可引出（n－3）条对角线，把n边形分割成（n－2）个三角形，共有对角线条。


例如：十边形有________条对角线。在这里n=10，就可套用对角线条数公式（条）。





多边形的内角和


从四边形的一个顶点出发可以引一条对角线，它们将四边形分成两个三角形，因此，四边形的内角和=△ABD的内角和+△BDC的内角和=2×180°=360°。


A


B


C


D





观察下面的图形





五边形 六边形


从五边形一个顶点出发可以引两条对角线，它们将五边形分成三个三角形，五边形的内角和等于540°；


从六边形一个顶点出发可以引三条对角线，它们将六边形分成四个三角形，六边形的内角和等于720°；


从n边形一个顶点出发，可以引（n-3）对角线，它们将n边形分成（n-2）三角形，n边形的内角和等于（n一2）·180°。


n边形的内角和等于（n一2）·180°．








考点5 三角形全等








全等三角形的判定


三角形全等的五种判定方法SAS、SSS、AAS、ASA、HL


判定三角形全等的基本思路：








……








考点6 线段垂直平分线








要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定定理，到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，又由两点确定一条直线这个公理，那么必须找到两个到线段两端点距离相等的点，这样才能确定已知线段的垂直平分线．


[例]如图（1），点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？





已知：线段AB【如图（1）】．


求作：线段AB的垂直平分线．


作法：如图（2）


(1)．分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C和D两点；


(2)．作直线CD．


直线CD就是线段AB的垂直平分线．





求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题


讲解内容：只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置。








考点7 特殊三角形








等腰三角形的概念


有两条边相等的三角形叫做等腰三角形


相等的两边叫做等腰三角形的腰，第三边叫做底边


腰与底边的夹角叫做底角


两腰的夹角叫做顶角


等腰三角形的特征


等腰三角形是轴对称图形


等腰三角形顶角的角平分线、底边的中线、底边上的高互相重合（也称等腰三角形三线合一），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴


等腰三角形的两个底角相等


等边三角形


（1）性质：①等边三角形各边都相等；②等边三角形各角都相等，并且都等于60°。


（2）判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形。②三个角都相等的三角形是等边三角形。③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形


特殊直角三角形


（1）含30°的直角三角形中，30°角所对的边等于斜边一半，且三边长度比为1：：2；


（2）等腰直角三角形各边长比为1：1：





三 、例题精析








类型一 三角形相关概念








例题1








如图所示，三角形的个数是（ ）





A．3个 B．4个 C．5个 D．6个





【解析】BD，BE，BC，DE，DC，EC六条线段分别和A组成6个三角形．故选D





【总结与反思】数三角形的个数，不要漏，不要重，同数角或线段的方法。





例题2








【教学建议】本题有一定难度，需要考虑等腰三角形边的分类。


用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形。


（1）如果腰长是底长的2倍，那么各边的长是多少？


（2）能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么？


【解析】（1）设底边长为xcm，


∵腰长是底边的2倍，∴腰长为2xcm，


∴2x+2x+x=18，解得，x=cm，


∴2x=2×=cm，∴各边长为：cm，cm，cm


（2）①当4cm为底时，腰长==7cm；


②当4cm为腰时，底边=18-4-4=10cm，


∵4+4＜10，


∴不能构成三角形，故舍去；


∴能构成有一边长为4cm的等腰三角形，另两边长为7cm，7cm．





【总结与反思】


本题考查的是等腰三角形的性质及三角形的三边关系，在解答此类题目时要注意分类讨论，不要漏解


（1）设底边长为xcm，则腰长为2xcm，根据周长公式列一元一次方程，解方程即可求得各边的长；


（2）题中没有指明4cm所在边是底还是腰，故应该分情况进行分析，注意利用三角形三边关系进行检验





类型二 三角形的高与中线





例题1








下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（ ）


A． B．C． D．











例题2








BM是△ABC中AC边上的中线，AB=5cm，BC=3cm，求△ABM与△BCM的周长之差





类型三 角平分线





例题1








如图，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则求∠AEC的度数？

















例题2








（1）如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于O．


①已知∠A=40°，求∠BOC的度数，∠A与∠BOC有怎样的数量关系？


②若∠A=n°，则∠A与∠BOC有怎样的数量关系？


（2）如图2，在△A′B′C′中，∠A′B′C′的平分线与∠A′C′B′的外角平分线相交于O′，请你探索∠A′与∠O′有怎样的数量关系？














类型四 多边形





例题1








如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角．若∠A=120°，则∠1+∠2+∠3+∠4= ．











类型五 全等





例题1








如图，小华不小心把一块三角形玻璃打碎为三块，他能否只带其中一块碎片到商店，就能配出一块和原来一样的三角形玻璃？如果能，带哪一块去？为什么？














例题2








已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E


求证：PD=PE．








类型六 轴对称与轴对称图形





例题1








下列图案属于轴对称图形的是（ ）




















四 、课堂运用








基础











用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是( ).


A．SAS B．SSSC．ASA D．AAS


D


A


B


C


O


D’


A’


B’


C’


O’











下列说法中：


①P是线段AB上的一点，直线l经过点P且l⊥AB，则l是线段AB的垂直平分线；


②直线l经过线段AB的中点，则l是线段AB的垂直平分线；


③若AP=PB，且直线l垂直于线段AB，则l是线段AB的垂直平分线；


④经过线段AB的中点P且垂直于AB的直线l是线段AB的垂直平分线．


其中正确的个数有（ ）


A．1个 B．2个 C．3个 D．4个


如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D．若AC=9，则AE


的值是（ ）


A．63 B．43 C．6 D．4











如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线。求∠ADB得度数。














巩固








如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB外角的平分线相交于点F，连接AF，则下列结论正确的


有（ ）


AF平分BC B．AF平分∠BAC C．AF⊥BC D．以上结论都正确








若一个多边形截去一个角后，变成十五边形，则原来的多边形的边数可能为（ ）


A．14或15或16 B．15或16 C．14或16 D．15或16或17





如下图，Rt△ADC与Rt△BCD，AC=BD，求证AD=BC














拔高








如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DC=2，则D到AB边的距离是______








如图所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（ ）


A．ED=CD B．∠DAC=∠B C．∠C＞2∠B D．∠B+∠ADE=90°








如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AM+NB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）














五 、课堂小结








1、本次课主要针对期末考试前学习的几何内容进行综合复习：


复习三角形的相关性质


复习三角形全等的几种证明方法


复习角平分线的相关性质及判定方法


复习轴对称图形的性质


复习等腰三角形，等边三角形的相关性质


复习最短路径问题


六 、课后作业

















基础








已知MN是线段AB的垂直平分线，下列说法正确的是（ ）


A．与AB距离相等的点在MN上


B．与点A和点B距离相等的点在MN上


C．与MN距离相等的点在AB上


D．AB垂直平分MN





如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC．下列结论：①BE=CD；②∠BOD=60°；


③∠BDO=∠CEO，正确的是 ．








等边三角形ABC中BD是中线且为6cm，延长BC至E，使CE=CD，连接DE，则DE的长是


cm．








如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，若


△DEB的周长为10cm，求斜边AB的长














巩固











如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是（ ）


A．3 B．2 C． D．1











如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF=











如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求：△ABC各角的度数．

















拔高











如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在AC，AB上，且BC=BD=DE=EA，则∠A的度数


为








△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等；∠A=40°，则


∠BOC=_____.








如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.








七 、教学反


适用学科
初中数学
适用年级
初二
适用区域
人教版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
三角形的相关概念；与三角形有关的边；与三角形有关的角；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；等腰三角形的判定；等边三角形的判定与性质；轴对称：最短路径问题
教学目标
理解三角形三边不等的关系，会判断三条线段能否构成一个三角形,并能运用它解决有关的问题；


认识三角形的高、中线与角平分线；会画三角形的高、中线与角平分线；了解三角形的三条高所在的直线,三条中线,三条角平分线分别交于一点；掌握三角形内角和定理；理解三角形的外角；掌握三角形外角的性质，能利用三角形外角的性质解决问题


了解多边形及有关概念，理解正多边形的概念；了解多边形的内角、外角等概念；能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会应用它们进行有关计算．


全等三角形及全等三角形的对应元素；全等三角形的性质，掌握全等三角形的判定；应用角的平分线性质定理；


轴对称：最短路径问题
教学重点
三角形三边间的不等关系；三角形的高、中线与角平分线；三角形内角和定理；三角形的外角和三角形外角的性质


多边形及有关概念、正多边形的概念；多边形的内角和与多边形的外角和公式；应用角的平分线性质定理．


等腰三角形的判定；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质


轴对称：最短路径问题
教学难点
用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形；三角形的角平分线与角的平分线的区别；理解三角形的外角；


多边形的内角和定理的推导；应用角的平分线性质定理．等腰三角形的判定；等边三角形的判定与性质


轴对称：最短路径问题