高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数本章综合与测试学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数本章综合与测试学案，共9页。




[巩固层·知识整合]





[提升层·题型探究]


【例1】 计算：(1)2lg32－lg3eq \f(32,9)＋lg38－5eq \s\up12(lg53)；


(2)1.5eq \s\up12(－)eq \s\up12(eq \f(1,3))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,6)))eq \s\up12(0)＋80.25×eq \r(4,2)＋(eq \r(3,2)×eq \r(3))6－.


[解] (1)原式＝lg3eq \f(22×8,\f(32,9))－3＝2－3＝－1.


(2)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(eq \f(1,3))＋2eq \s\up12(eq \f(3,4))×2eq \s\up12(eq \f(1,4))＋22×33－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(eq \f(1,3))＝21＋4×27＝110.





指数、对数的运算应遵循的原则


指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的.对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧.





eq \([跟进训练])


1．设3x＝4y＝36，则eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)的值为( )


A．6 B．3


C．2 D．1


D [由3x＝4y＝36得x＝lg336，y＝lg436，


∴eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)＝2lg363＋lg364＝lg369＋lg364＝lg3636＝1.]





【例2】 (1)若函数y＝lgax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列图像函数正确的是( )








A B C D


(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x).


①如图，画出函数f(x)的图象；





②根据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域．


(1)B [由已知函数图象可得，lga3＝1，所以a＝3.A项，函数解析式为y＝3－x，在R上单调递减，与图象不符；C项中函数的解析式为y＝(－x)3＝－x3，当x>0时，y<0，这与图象不符；D项中函数解析式为y＝lg3(－x)，在(－∞，0)上为单调递减函数，与图象不符；B项中对应函数解析式为y＝x3，与图象相符．故选B.]


(2)[解] ①先作出当x≥0时，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)的图象，利用偶函数的图象关于y轴对称，再作出f(x)在x∈(－∞，0)时的图象．





②函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0,1]．





1．识别函数的图象从以下几个方面入手：


(1)单调性：函数图象的变化趋势；


(2)奇偶性：函数图象的对称性；


(3)特殊点对应的函数值．


2．指数函数与对数函数图象经过定点的实质是a0＝1，lga1＝0.





eq \([跟进训练])


2．函数y＝1＋lgeq \s\d12(eq \f(1,2)) (x－1)的图象一定经过点( )


A．(1,1) B．(1,0)


C．(2,1) D．(2,0)


C [把y＝lgeq \s\d12(eq \f(1,2))x的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位即可得到y＝1＋lgeq \s\d12(eq \f(1,2)) (x－1)的图象，故其经过点(2,1)．]





【例3】 若0

A．3y<3x


B．lgx3

C．lg4x

D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(x)

C [因为0

对于A，函数y＝3x在R上单调递增，故3x<3y，A错误．


对于B，根据底数a对对数函数y＝lgax的影响：当0lgy3，B错误．


对于C，函数y＝lg4x在(0，＋∞)上单调递增，故lg4x

对于D，函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(x)在R上单调递减，故eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(x) >eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(y)，D错误．]





1．比较两数大小常用的方法有单调性法、图象法、中间值法等．


2．当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．


3．比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后在各部分内再利用函数性质比较大小．


4．含参数的问题，要根据参数的取值进行分类讨论．





eq \([跟进训练])


3．设a＝lg2π，b＝lgeq \f(1,2)π，c＝π－2，则( )


A．a>b>c B．b>a>c


C．a>c>b D．c>b>a


C [∵a＝lg2π>lg22＝1，b＝lgeq \f(1,2)πc>b，故选C.]





【例4】 (1)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( )


A．奇函数，且在(0,1)上是增函数


B．奇函数，且在(0,1)上是减函数


C．偶函数，且在(0,1)上是增函数


D．偶函数，且在(0,1)上是减函数


(2)已知a>0，a≠1且lga3>lga2，若函数f(x)＝lgax在区间[a,3a]上的最大值与最小值之差为1.


①求a的值；


②若1≤x≤3，求函数y＝(lgax)2－lgaeq \r(x)＋2的值域．


(1)A [由题意可得，函数f(x)的定义域为(－1,1)，且f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．又f(x)＝lneq \f(1＋x,1－x)＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,1－x)－1))，易知y＝eq \f(2,1－x)－1在(0,1)上为增函数，故f(x)在(0,1)上为增函数．]


(2)[解] ①因为lga3>lga2，所以f(x)＝lgax在[a,3a]上为增函数．


又f(x)在[a,3a]上的最大值与最小值之差为1，


所以lga(3a)－lgaa＝1，即lga3＝1，所以a＝3.


②函数y＝(lg3x)2－lg3eq \r(x)＋2＝(lg3x)2－eq \f(1,2)lg3x＋2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg3x－\f(1,4)))eq \s\up12(2)＋eq \f(31,16).


令t＝lg3x，因为1≤x≤3，


所以0≤lg3x≤1，即0≤t≤1.


所以y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,4)))eq \s\up12(2)＋eq \f(31,16)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(31,16)，\f(5,2)))，


所以所求函数的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(31,16)，\f(5,2))).





1．把本例(1)的函数f(x)改为“f(x)＝ln(x＋eq \r(1＋x2))”，判断其奇偶性．


[解] ∵f(x)＝ln(x＋eq \r(1＋x2))，∴其定义域为R，


又f(－x)＝ln(－x＋eq \r(1＋x2))，


∴f(x)＋f(－x)＝ln(x＋eq \r(1＋x2))＋ln(－x＋eq \r(1＋x2))＝ln 1＝0，


∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．


2．把本例(2)②中的函数改为“y＝a2x＋ax－1”，求其最小值．


[解] 由题意可知y＝32x＋3x－1，令3x＝t，则t∈[3,27]，


∴f(t)＝t2＋t－1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(5,4)，t∈[3,27]，


∴当t＝3时，f(t)最小值＝f(3)＝9＋3－1＝11.





1．研究函数的性质要树立定义域优先的原则．


2．换元法的作用是利用整体代换，将问题转化为常见问题．该类问题中，常设u＝lgax或u＝ax，转化为一元二次方程、二次函数等问题．要注意换元后u的取值范围．








【例5】 一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减．


(1)求t年后，这种放射性元素的质量w的表达式；


(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到0.1)．


[解] (1)最初的质量为500 g.


经过1年，w＝500(1－10%)＝500×0.9；


经过2年，w＝500×0.92；


由此推知，t年后，w＝500×0.9t.


(2)由题意得500×0.9t＝250，即


0．9t＝0.5，两边同时取以10为底的对数，得


lg 0.9t＝lg 0.5，即tlg 0.9＝lg 0.5，


所以t＝eq \f(lg 0.5,lg 0.9)≈6.6.


即这种放射性元素的半衰期约为6.6年．





指数函数模型的应用


在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．





eq \([跟进训练])


4．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少eq \f(1,3)，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)


[解] 设过滤n次能使产品达到市场要求，依题意，得eq \f(2,100)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(n)≤eq \f(1,1 000)，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(n)≤eq \f(1,20).


则n(lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，故n≥eq \f(1＋lg 2,lg 3－lg 2)≈7.4，考虑到n∈N，故n≥8，即至少要过滤8次才能达到市场要求．


[培优层·素养升华]


【例】 电子工业部扬声器材厂在生产扬声器的过程中，有一道重要的工序：使用AB胶粘合扬声器中的磁钢与夹板．长期以来，由于对AB胶的用量没有一个确定的标准，经常出现用胶过多，胶水外溢；或用胶过少，产生脱胶，影响产品质量．经过试验，已有一些恰当用胶量的具体数据，见下表：


现在需要提出一个既科学又简便的方法来确定磁钢面积与用胶量的关系．


[思路分析] 画出散点图，利用散点图确定函数模型，再利用待定系数法求出关系式．


[解] 将磁钢面积x作为横坐标，用胶量y作为纵坐标，建立平面直角坐标系，根据上表数据在坐标系中描点，得散点图如图所示．





从图中可以看出这些点基本上在一条直线附近，画出一条直线，使图上的点比较均匀地分布在直线两侧．用函数y＝kx＋b(k≠0)表示用胶量与磁钢面积的关系．取点(56.6,0.812)，(189.0,2.86)，将它们的坐标分别代入直线方程y＝kx＋b(k≠0)，得方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0.812＝56.6k＋b，,2.86＝189.0k＋b，))


解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k≈0.015 47，,b≈－0.063 60.))


所以用胶量与磁钢面积的函数关系可表示为y＝0.015 47x－0.063 60.





1．数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养．数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数，计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题．


2．本例通过一些数据寻求事物的规律，先画出这些数据的散点图，然后利用散点图的整体特征，选择我们熟悉的函数模型，将一些数据代入求得表达式，进而使例题得以求解，很好地考查了学生的数学建模的核心素养．





eq \([素养提升])


18世纪70年代，德国科学家提丢斯发现金星、地球、火星、木星、土星离太阳的平均距离(天文单位)如下表：


他研究行星排列规律后预测在火星与木星之间应该有一颗大的行星，后来果然发现了谷神星，但不算大行星，它可能是一颗大行星爆炸后的产物，请你推测谷神星的位置．在土星外面是什么星？它与太阳的距离大约是多少？


[解] 根据题意画出散点图如图所示，由此图知宜采用指数型函数做模型．





设f(x)＝a·bx＋c，


代入前三组数据，得a＝eq \f(3,20)，b＝2，c＝eq \f(2,5).


所以f(x)＝eq \f(3,20)×2x＋eq \f(2,5).


把x＝5和x＝6分别代入检验，得f(5)＝eq \f(26,5)＝5.2，f(6)＝10，刚好符合．


所以f(4)＝2.8，f(7)＝19.6.


所以谷神星大约在离太阳2.8天文单位处．在土星外面是天王星，它与太阳的距离大约是19.6天文单位．指数与对数的运算
指数函数、对数函数的图象及应用
比较大小
指数函数、对数函数的性质
函数的应用
序号
1
2
3
4
5
磁钢面积/cm2
11.0
19.4
26.2
46.6
56.6
用胶量/g
0.164
0.396
0.404
0.664
0.812
序号
6
7
8
9
10
磁钢面积/cm2
67.2
125.2
189.0
247.1
443.4
用胶量/g
0.972
1.688
2.86
4.076
7.332
行星
1(金星)
2(地球)
3(火星)
4( )
5(木星)
6(土星)
7( )
距离
0.7
1.0
1.6
5.2
10.0