2020版新设计一轮复习数学（理）通用版讲义：第二章第一节函数及其表示

第一节函数及其表示

1．函数与映射

2．函数的有关概念

(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域❶；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域❷.显然，值域是集合B的子集．

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．

(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．

(4)函数的表示法：解析法、图象法、列表法．

3．分段函数❸

若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．,(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．

(2)如果函数y＝f(x)用表格给出，则表格中x的集合即为定义域．

(3)如果函数y＝f(x)用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域.

值域是一个数集，由函数的定义域和对应关系共同确定．

(1)分段函数虽由几个部分构成，但它表示同一个函数．

(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．

(3)各段函数的定义域不可以相交.

[熟记常用结论]

(1)若f(x)为整式，则函数的定义域为R；

(2)若f(x)为分式，则要求分母不为0；

(3)若f(x)为对数式，则要求真数大于0；

(4)若f(x)为根指数是偶数的根式，则要求被开方式非负；

(5)若f(x)描述实际问题，则要求使实际问题有意义．

如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，求定义域常常等价于解不等式(组)．

[小题查验基础]

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)对于函数f：A→B，其值域是集合B.(　　)

(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．(　　)

(3)函数是一种特殊的映射．(　　)

(4)若A＝R，B＝(0，＋∞)，f：x→y＝|x|，则对应f可看作从A到B的映射．(　　)

(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×

二、选填题

1．下列图形中可以表示为以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的是(　　)

解析：选C　A选项，函数定义域为M，但值域不是N，B选项，函数定义域不是M，值域为N，D选项，集合M中存在x与集合N中的两个y对应，不能构成函数关系．故选C.

2．下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是(　　)

A．y＝()2　　　　　 B．y＝＋1

C．y＝＋1  D．y＝＋1

解析：选B　对于A，函数y＝()2的定义域为{x|x≥－1}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C，函数y＝＋1的定义域为{x|x≠0}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数，故选B.

3．函数f(x)＝＋的定义域为________．

解析：由题意得解得x≥0且x≠2.

答案：[0,2)∪(2，＋∞)

4．若函数f(x)＝则f(f(2))＝________.

解析：由题意知，f(2)＝5－4＝1，f(1)＝e0＝1，

所以f(f(2))＝1.

答案：1

5．已知函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)，则f(2)＝________.

解析：∵函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)

∴4＝－a＋2，∴a＝－2，即f(x)＝－2x3－2x，

∴f(2)＝－2×23－2×2＝－20.

答案：－20

[典例精析]

(1)已知f＝lg x，求f(x)的解析式．

(2)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式．

(3)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式．

[解]　(1)(换元法)令＋1＝t，得x＝，

代入得f(t)＝lg，又x>0，所以t>1，

故f(x)的解析式是f(x)＝lg，x∈(1，＋∞)．

(2)(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，

由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，

又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，

得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，

即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，

所以

解得a＝b＝.

所以f(x)＝x2＋x，x∈R.

(3)(解方程组法)由f(－x)＋2f(x)＝2x，①

得f(x)＋2f(－x)＝2－x，②

①×2－②，得3f(x)＝2x＋1－2－x.

即f(x)＝.

故f(x)的解析式是f(x)＝，x∈R.

[解题技法]

求函数解析式的3种方法及口诀记忆

 [过关训练]

1．[口诀第3句]已知函数f(x－1)＝，则函数f(x)的解析式为(　　)

A．f(x)＝　　　　　　 B．f(x)＝

C．f(x)＝  D．f(x)＝

解析：选A　令x－1＝t，则x＝t＋1，∴f(t)＝，

即f(x)＝.故选A.

2．[口诀第2句]若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)＝________.

解析：设g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，

∵g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，

∴解得∴g(x)＝3x2－2x.

答案：3x2－2x

3．[口诀第4句]已知f(x)满足2f(x)＋f＝3x，则f(x)＝________.

解析：∵2f(x)＋f＝3x，①

把①中的x换成，得2f＋f(x)＝.②

联立①②可得

解此方程组可得f(x)＝2x－(x≠0)．

答案：2x－(x≠0)

[考法全析]

考法(一)　已知函数解析式求定义域

[例1]　求下列函数的定义域：

(1)f(x)＝；(2)f(x)＝.

[解]　(1)要使函数f(x)有意义，则

解不等式组得x≥3.

因此函数f(x)的定义域为[3，＋∞)．

(2)要使函数f(x)有意义，则

即解不等式组得－1＜x＜1.

因此函数f(x)的定义域为(－1,1)．

考法(二)　求抽象函数的定义域

[例2]　已知函数f(x)的定义域为(－1,1)，则函数g(x)＝f＋f(x－1)的定义域为(　　)

A．(－2,0)　　　　　　 B．(－2,2)

C．(0,2)   D.

[解析]　由题意得∴

∴0＜x＜2，∴函数g(x)＝f＋f(x－1)的定义域为(0,2)，故选C.

[答案]　C

考法(三)　已知函数的定义域求参数的值(范围)

[例3]　(1)若函数y＝的定义域为R，则实数m的取值范围是(　　)

A.  B.

C.  D.

(2)若函数f(x)＝的定义域为{x|1≤x≤2}，则a＋b的值为________．

[解析]　(1)∵函数y＝的定义域为R，

∴mx2＋4mx＋3≠0，

∴m＝0或

即m＝0或0＜m＜，

∴实数m的取值范围是.

(2)∵函数f(x)＝的定义域为{x|1≤x≤2}，

∴解得∴a＋b＝－.

[答案]　(1)D　(2)－

[规律探求]

[过关训练]

1．[口诀第1、2、3、4句]y＝ －log2(4－x2)的定义域是(　　)

A．(－2,0)∪(1,2)　　　 B．(－2,0]∪(1,2)

C．(－2,0)∪[1,2)  D．[－2,0]∪[1,2]

解析：选C　要使函数有意义，则

解得x∈(－2,0)∪[1,2)，

即函数的定义域是(－2,0)∪[1,2)．

2．[口诀第1句]已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－， ]，则函数y＝f(x)的定义域为________．

解析：因为y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，所以x∈[－， ]，x2－1∈[－1,2]，所以y＝f(x)的定义域为[－1，2]．

答案：[－1,2]

3．[口诀第1、3句]若函数f(x)＝的定义域为实数集R，则实数a的取值范围为________________．

解析：若函数f(x)＝的定义域为实数集R，

则x2＋ax＋1≥0恒成立，即Δ＝a2－4≤0，解得－2≤a≤2，

即实数a的取值范围是[－2,2]．

答案：[－2,2]

[全析考法过关]

[考法全析]

考法(一)　分段函数求值

[例1]　(1)(2019·石家庄模拟)已知f(x)＝则f＝________.

(2)已知f(x)＝则f(7)＝__________________________________.

[解析]　(1)∵f＝log3＝－2，

∴f＝f(－2)＝－2＝9.

(2)∵7＜9，

∴f(7)＝f(f(7＋4))＝f(f(11))＝f(11－3)＝f(8)．

又∵8＜9，

∴f(8)＝f(f(12))＝f(9)＝9－3＝6.

即f(7)＝6.

[答案]　(1)9　(2)6

考法(二)　求参数或自变量的值(范围)

[例2]　(1)(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝则满足f(x＋1)＜f(2x)的x的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1]　　　　　　 B．(0，＋∞)

C．(－1,0)  D．(－∞，0)

(2)(2019·长春模拟)已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a＝________.

[解析]　(1)∵f(x)＝

∴函数f(x)的图象如图所示．

结合图象知，要使f(x＋1)＜f(2x)，

则需或

∴x＜0，故选D.

(2)当a>0时，由f(a)＋f(1)＝0得2a＋2＝0，无实数解；当a≤0时，由f(a)＋f(1)＝0得a＋1＋2＝0，解得a＝－3，满足条件．

[答案]　(1)D　(2)－3

[规律探求]

 [过关训练]

1．已知函数f(x)＝则f(1＋log25)＝________.

解析：因为2＜log25＜3，所以3＜1＋log25＜4，则4＜2＋log25＜5，则f(1＋log25)＝f(1＋1＋log25)＝f(2＋log25)＝＝×＝.

答案：

2．(2018·衡阳模拟)已知函数f(x)＝(a∈R)，若f(f(－1))＝1，则a＝________.

解析：∵f(－1)＝2－(－1)＝2，∴f(f(－1))＝f(2)＝4a＝1，解得a＝.

答案：

一、题点全面练

1．(2019·重庆调研)函数y＝log2(2x－4)＋的定义域是(　　)

A．(2,3)　　　　　　　 B．(2，＋∞)

C．(3，＋∞)  D．(2,3)∪(3，＋∞)

解析：选D　由题意，得解得x>2且x≠3，所以函数y＝log2(2x－4)＋的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)，故选D.

2．(2018·合肥质量检测)已知函数f(x)＝则f(f(1))＝(　　)

A．－  B．2

C．4  D．11

解析：选C　∵f(1)＝12＋2＝3，∴f(f(1))＝f(3)＝3＋＝4.故选C.

3．已知函数f(x)＝5|x|，g(x)＝ax2－x(a∈R)．若f(g(1))＝1，则a＝(　　)

A．1  B．2

C．3  D．－1

解析：选A　由已知条件可知f(g(1))＝f(a－1)＝5|a－1|＝1，∴|a－1|＝0，得a＝1.故选A.

4．(2018·荆州联考)若函数f(x)的定义域是[1,2 019]，则函数g(x)＝的定义域是(　　)

A．[0,2 018]  B．[0,1)∪(1,2 018]

C．(1,2 019]  D．[－1,1)∪(1,2 018]

解析：选B　由题知，1≤x＋1≤2 019，解得0≤x≤2 018，又x≠1，所以函数g(x)＝的定义域是[0,1)∪(1，2 018]．

5．已知f＝2x－5，且f(a)＝6，则a等于(　　)

A.  B．－

C.  D．－

解析：选A　令t＝x－1，则x＝2t＋2，f(t)＝2(2t＋2)－5＝4t－1，故f(x)＝4x－1，则f(a)＝4a－1＝6，解得a＝.

6．(2019·石家庄模拟)已知f(x)＝(0＜a＜1)，且f(－2)＝5，f(－1)＝3，则f(f(－3))＝(　　)

A．－2  B．2

C．3  D．－3

解析：选B　由题意得，f(－2)＝a－2＋b＝5，①

f(－1)＝a－1＋b＝3，②

联立①②，结合0＜a＜1，得a＝，b＝1，

所以f(x)＝

则f(－3)＝－3＋1＝9，f(f(－3))＝f(9)＝log39＝2.

7．(2018·福州二模)已知函数f(x)＝若f(a)＝3，则f(a－2)＝(　　)

A．－  B．3

C．－或3  D．－或3

解析：选A　当a>0时，若f(a)＝3，则log2a＋a＝3，解得a＝2(满足a>0)；当a≤0时，若f(a)＝3，则4a－2－1＝3，解得a＝3，不满足a≤0，舍去．于是，可得a＝2.故f(a－2)＝f(0)＝4－2－1＝－.故选A.

8．(2019·合肥质检)已知函数f(x)满足f(2x)＝2f(x)，且当1≤x＜2时，f(x)＝x2，则f(3)＝(　　)

A.  B.

C.  D．9

解析：选C　∵f(2x)＝2f(x)，且当1≤x＜2时，f(x)＝x2，∴f(3)＝2f＝2×2＝.

9．(2019·合肥模拟)已知f(x)的定义域为{x|x≠0}，且3f(x)＋5f＝＋1，则函数f(x)的解析式为________________________．

解析：用代替3f(x)＋5f＝＋1中的x，得3f＋5f(x)＝3x＋1，

∴

①×3－②×5得f(x)＝x－＋(x≠0)．

答案：f(x)＝x－＋(x≠0)

10．设函数f(x)＝若f(m)>f(－m)，则实数m的取值范围是________．

解析：函数f(x)＝当m>0时，f(m)>f(－m)，即－ln m>ln m，即ln m＜0，解得0＜m＜1；

当m＜0时，f(m)>f(－m)，即ln(－m)>－ln(－m)，

即ln(－m)>0，解得m＜－1.

综上可得，m＜－1或0＜m＜1.

答案：(－∞，－1)∪(0,1)

二、专项培优练

(一)易错专练——不丢怨枉分

1．若函数y＝f(x＋1)的值域为[－1,1]，则函数y＝f(3x＋2)的值域为(　　)

A．[－1,1]  B．[－1,0]

C．[0,1]  D．[2,8]

解析：选A　函数y＝f(x＋1)的值域为[－1,1]，由于函数中的自变量取定义域内的任意数时，函数的值域都为[－1,1]，故函数y＝f(3x＋2)的值域为[－1,1]．故选A.

2．(2018·山西名校联考)设函数f(x)＝lg(1－x)，则函数f[f(x)]的定义域为(　　)

A．(－9，＋∞)  B．(－9,1)

C．[－9，＋∞)  D．[－9,1)

解析：选B　f[f(x)]＝f[lg(1－x)]＝lg[1－lg(1－x)]，其定义域为的解集，解得－9＜x＜1，所以f[f(x)]的定义域为(－9,1)．故选B.

3．(2018·安阳三校联考)若函数f(x)＝的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是(　　)

A．[0,4)  B．(0,4)

C．[4，＋∞)  D．[0,4]

解析：选D　由题意可得mx2＋mx＋1≥0恒成立．

当m＝0时，1≥0恒成立；

当m≠0时，则解得0＜m≤4.

综上可得，0≤m≤4.

4．(2019·珠海质检)已知函数f(x)＝

的值域为R，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1]  B.

C.  D.

解析：选C　由题意知y＝ln x(x≥1)的值域为[0，＋∞)，故要使f(x)的值域为R，则必有y＝(1－2a)x＋3a为增函数，且1－2a＋3a≥0，所以1－2a>0，且a≥－1，解得－1≤a＜.

5．(2018·合肥质检)已知函数f(x)＝的值域是[0，＋∞)，则实数m的取值范围是________．

解析：当m＝0时，函数f(x)＝的值域是[0，＋∞)，显然成立；当m>0时，Δ＝(m－3)2－4m≥0，解得0＜m≤1或m≥9.显然m＜0时不合题意．综上可知，实数m的取值范围是[0,1]∪[9，＋∞)．

答案：[0,1]∪[9，＋∞)

(二)技法专练——活用快得分

6．[排除法]设x∈R，定义符号函数sgn x＝则(　　)

A．|x|＝x|sgn x|  B．|x|＝xsgn|x|

C．|x|＝|x|sgn x  D．|x|＝xsgn x

解析：选D　当x＜0时，|x|＝－x，x|sgn x|＝x，xsgn|x|＝x，|x|sgn x＝(－x)·(－1)＝x，排除A、B、C，故选D.

7．[特殊值法]函数y＝(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则loga＋loga＝(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：选C　当x＝1时，y＝0，则函数y＝在[0,1]上为减函数，故a>1.∴当x＝0时，y＝1，则＝1，∴a＝2.∴log2＋log2＝log2＝log28＝3.

8．[数形结合法]设函数f(x)＝则满足f(x)＋f(x－1)>1的x的取值范围是________．

解析：画出函数f(x)的大致图象如图，易知函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．又因为x>x－1，且x－(x－1)＝1，f(0)＝1，所以要使f(x)＋f(x－1)>1成立，则结合函数f(x)的图象知只需x－1>－1，解得x>0.故所求x的取值范围是(0，＋∞)．

答案：(0，＋∞)

(三)素养专练——学会更学通

9．[逻辑推理]具有性质f＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，给出下列函数：①f(x)＝x－；②f(x)＝x＋；③f(x)＝其中满足“倒负”变换的函数是(　　)

A．①③  B．②③

C．①②③  D．①②

解析：选A　对于①，f＝－x＝－f(x)，满足题意；对于②，f＝＋x＝f(x)，不满足题意；对于③，f＝即f＝故f＝－f(x)，满足题意．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.故选A.

10．[数学运算]已知函数f(x)＝g(x)＝2x－1，则f(g(2))＝__________，f(g(x))的值域为________．

解析：g(2)＝22－1＝3，∴f(g(2))＝f(3)＝2.易得g(x)的值域为(－1，＋∞)，∴若－1＜g(x)≤0，f(g(x))＝[g(x)]2－1∈[－1,0)；若g(x)>0，f(g(x))＝g(x)－1∈(－1，＋∞)，∴f(g(x))的值域是[－1，＋∞)．

答案：2　[－1，＋∞)

11．[数学抽象]设函数f：R→R，满足f(0)＝1，且对任意x，y∈R都有f(xy＋1)＝f(x)f(y)－f(y)－x＋2，则f(2 018)＝________.

解析：令x＝y＝0，则f(1)＝f(0)·f(0)－f(0)－0＋2＝1×1－1－0＋2＝2.令y＝0，则f(1)＝f(x)f(0)－f(0)－x＋2，将f(0)＝1，f(1)＝2代入，可得f(x)＝1＋x，所以f(2 018)＝2 019.

答案：2 019