2020版新设计一轮复习数学（文）通用版讲义：第二章第一节函数及其表示

第一节函数及其表示

一、基础知识批注——理解深一点

1．函数与映射的概念

2．函数的有关概念

(1)函数的定义域、值域：

在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．

(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据.

两函数值域与对应关系相同时，两函数不一定相同．

(4)函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．

3．分段函数

若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．

二、基础小题强化——功底牢一点

(1)对于函数f：A→B，其值域是集合B.(　　)

(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．(　　)

(3)函数是一种特殊的映射．(　　)

(4)若A＝R，B＝(0，＋∞)，f：x→y＝|x|，则对应f可看作从A到B的映射．(　　)

(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×

(二)选一选

1．函数y＝log2(2x－4)＋的定义域是(　　)

A．(2,3)　　　　　　　 　B．(2，＋∞)

C．(3，＋∞)   D．(2,3)∪(3，＋∞)

解析：选D　由题意，得解得x>2且x≠3，所以函数y＝log2(2x－4)＋的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．

2．下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是(　　)

A．y＝()2   B．y＝＋1

C．y＝＋1   D．y＝＋1

解析：选B　对于A，函数y＝()2的定义域为{x|x≥－1}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C，函数y＝＋1的定义域为{x|x≠0}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数，故选B.

3．函数y＝＋1的值域为(　　)

A．(0，＋∞)   B．(1，＋∞)

C．[0，＋∞)   D．[1，＋∞)

解析：选D　函数y＝＋1的定义域为[1，＋∞)，且在[1，＋∞)上为增函数，所以当x＝1时，y取得最小值1.故函数的值域为[1，＋∞)．

(三)填一填

4．设函数f(x)＝若f(a)＋f(－1)＝2，则a＝________.

解析：若a≥0，则＋1＝2，得a＝1；

若a<0，则＋1＝2，得a＝－1.

故a＝±1.

答案：±1

5．已知f＝x2＋5x，则f(x)＝________.

解析：令t＝，则x＝(t≠0)，即f(t)＝＋，

∴f(x)＝(x≠0)．

答案：(x≠0)

[典例]　(1)(2019·长春质检)函数y＝＋的定义域是(　　)

A．[－1,0)∪(0,1)　　　 　B．[－1,0)∪(0,1]

C．(－1,0)∪(0,1]   D．(－1,0)∪(0,1)

(2)已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为(　　)

A．(－1,1)   B.

C．(－1,0)   D.

[解析]　(1)由题意得解得－1<x<0或0<x<1.

所以原函数的定义域为(－1,0)∪(0,1)．

(2)令u＝2x＋1，由f(x)的定义域为(－1,0)，可知－1<u<0，即－1<2x＋1<0，

得－1<x<－.

[答案]　(1)D　(2)B

[解题技法]

1．使函数解析式有意义的一般准则

(1)分式中的分母不为0；

(2)偶次根式的被开方数非负；

(3)y＝x0要求x≠0；

(4)对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1；

(5)正切函数y＝tan x，x≠kπ＋(k∈Z)；

(6)实际问题中除考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求．

2．抽象函数的定义域问题

(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；

(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．

定义域，是何意，自变量，有意义；

分式分母不为零，对数真数只取正；

偶次根式要非负，三者结合生万物；

和差积商定义域，不等式组求交集；

抽象函数定义域，对应法则内相同．

[题组训练]

1.函数f(x)＝＋的定义域为(　　)

A．[－2,0)∪(0,2]   B．(－1,0)∪(0,2]

C．[－2,2]   D．(－1,2]

解析：选B　由得－1<x≤2，且x≠0.

2.若函数y＝f(x)的定义域是[1,2 019]，则函数g(x)＝的定义域是________________．

解析：因为y＝f(x)的定义域是[1,2 019]，

所以若g(x)有意义，应满足

所以0≤x≤2 018，且x≠1.

因此g(x)的定义域是{x|0≤x≤2 018，且x≠1}．

答案：{x|0≤x≤2 018，且x≠1}

[典例]　(1)已知二次函数f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，求f(x)；

(2)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)．

[解]　(1)法一：待定系数法

因为f(x)是二次函数，所以设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(2x＋1)＝a(2x＋1)2＋b(2x＋1)＋c＝4ax2＋(4a＋2b)x＋a＋b＋c.

因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，

所以解得

所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．

法二：换元法

令2x＋1＝t(t∈R)，则x＝，

所以f(t)＝42－6·＋5＝t2－5t＋9(t∈R)，

所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．

法三：配凑法

因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5＝(2x＋1)2－10x＋4＝(2x＋1)2－5(2x＋1)＋9，

所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．

(2)解方程组法

由f(－x)＋2f(x)＝2x， ①

得f(x)＋2f(－x)＝2－x，②

①×2－②，得3f(x)＝2x＋1－2－x.

即f(x)＝.

故f(x)的解析式是f(x)＝(x∈R)．

[解题技法]　求函数解析式的4种方法及适用条件

(1)待定系数法

先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数．

(2)换元法

对于形如y＝f(g(x))的函数解析式，令t＝g(x)，从中求出x＝φ(t)，然后代入表达式求出f(t)，再将t换成x，得到f(x)的解析式，要注意新元的取值范围．

(3)配凑法

由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式．

(4)解方程组法

已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．

解析式，如何定，待定换元解方程；

已知函数有特征，待定系数来确定；

复合函数问根源，内函数，先换元；

两个函数有关系，方程组中破玄机．

[提醒]　由于函数的解析式相同，定义域不同，则为不相同的函数，因此求函数的解析式时，如果定义域不是R，一定要注明函数的定义域．

[题组训练]

1.已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，则f(x)＝________________.

解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，

由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx.

又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，

得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，

即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，

所以解得a＝b＝.

所以f(x)＝x2＋x(x∈R)．

答案：x2＋x(x∈R)

2.已知f＝lg x，则f(x)＝________________.

解析：令＋1＝t，得x＝，则f(t)＝lg，又x>0，所以t>1，故f(x)的解析式是f(x)＝lg(x>1)．

答案：lg(x>1)

3.已知f(x)满足2f(x)＋f＝3x，则f(x)＝________.

解析：∵2f(x)＋f＝3x，①

把①中的x换成，得2f＋f(x)＝.②

联立①②可得

解此方程组可得f(x)＝2x－(x≠0)．

答案：2x－(x≠0)

考法(一)　求函数值

[典例]　(2019·石家庄模拟)已知f(x)＝(0<a<1)，且f(－2)＝5，f(－1)＝3，则f(f(－3))＝(　　)

A．－2　　　　　　　　 　B．2

C．3   D．－3

[解析]　由题意得，f(－2)＝a－2＋b＝5，①

f(－1)＝a－1＋b＝3，②

联立①②，结合0<a<1，得a＝，b＝1，

所以f(x)＝

则f(－3)＝－3＋1＝9，f(f(－3))＝f(9)＝log39＝2.

[答案]　B

[解题技法]　求分段函数的函数值的策略

(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值；

(2)当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值；

(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．

考法(二)　求参数或自变量的值(或范围)

[典例]　(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝则满足f(x＋1)<f(2x)的x的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1]   B．(0，＋∞)

C．(－1,0)   D．(－∞，0)

[解析]　法一：分类讨论法

①当即x≤－1时，

f(x＋1)<f(2x)，即为2－(x＋1)<2－2x，

即－(x＋1)<－2x，解得x<1.

因此不等式的解集为(－∞，－1]．

②当时，不等式组无解．

③当即－1<x≤0时，

f(x＋1)<f(2x)，即为1<2－2x，解得x<0.

因此不等式的解集为(－1,0)．

④当即x>0时，f(x＋1)＝1，f(2x)＝1，不合题意．

综上，不等式f(x＋1)<f(2x)的解集为(－∞，0)．

法二：数形结合法

∵f(x)＝

∴函数f(x)的图象如图所示．

结合图象知，要使f(x＋1)<f(2x)，

则需或

∴x<0，故选D.

[答案]　D

[解题技法]

已知函数值(或范围)求自变量的值(或范围)的方法

(1)根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围，最后将各段的结果合起来(求并集)即可；

(2)如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解．

[题组训练]

1．设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f＝(　　)

A．2   B．4

C．6   D．8

解析：选C　当0＜a＜1时，a＋1＞1，f(a)＝，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，

∵f(a)＝f(a＋1)，∴＝2a，

解得a＝或a＝0(舍去)．

∴f＝f(4)＝2×(4－1)＝6.

当a≥1时，a＋1≥2，f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，

∵f(a)＝f(a＋1)，∴2(a－1)＝2a，无解．

综上，f＝6.

2．已知函数f(x)＝则f(f(3))＝________.

解析：由题意，得f(3)＝f(2)＝f(1)＝21＝2，

∴f(f(3))＝f(2)＝2.

答案：2

3．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝则满足f(x)＋f>1的x的取值范围是________．

解析：由题意知，可对不等式分x≤0,0<x≤，x>讨论．

①当x≤0时，原不等式为x＋1＋x＋>1，解得x>－，

故－<x≤0.

②当0<x≤时，原不等式为2x＋x＋>1，显然成立．

③当x>时，原不等式为2x＋2x－>1，显然成立．

综上可知，所求x的取值范围是.

答案：

4．设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是____________．

解析：若a<0，则f(a)<1⇔a－7<1⇔a<8，解得a>－3，故－3<a<0；

若a≥0，则f(a)<1⇔<1，解得a<1，故0≤a<1.

综上可得－3<a<1.

答案：(－3,1)

1．下列所给图象是函数图象的个数为(　　)

A．1 　B．2

C．3   D．4

解析：选B　①中当x＞0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象；②中当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象；③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象．故选B.

2．函数f(x)＝＋的定义域为(　　)

A．[0,2)   B．(2，＋∞)

C．[0,2)∪(2，＋∞)   D．(－∞，2)∪(2，＋∞)

解析：选C　由题意得解得x≥0，且x≠2.

3．已知f＝2x－5，且f(a)＝6，则a等于(　　)

A.   B．－

C.   D．－

解析：选A　令t＝x－1，则x＝2t＋2，f(t)＝2(2t＋2)－5＝4t－1，

则4a－1＝6，解得a＝.

4．(2019·贵阳检测)下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是(　　)

A．y＝   B．y＝ln x

C．y＝   D．y＝

解析：选D　对于A，定义域为[1，＋∞)，值域为[0，＋∞)，不满足题意；对于B，定义域为(0，＋∞)，值域为R，不满足题意；对于C，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，不满足题意；对于D，y＝＝1＋，定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，值域也是(－∞，1)∪(1，＋∞)．

5．(2018·福建期末)已知函数f(x)＝若f(a)＝3，则f(a－2)＝(　　)

A．－   B．3

C．－或3   D．－或3

解析：选A　当a>0时，若f(a)＝3，则log2a＋a＝3，解得a＝2(满足a>0)；当a≤0时，若f(a)＝3，则4a－2－1＝3，解得a＝3，不满足a≤0，所以舍去．于是，可得a＝2.故f(a－2)＝f(0)＝4－2－1＝－.

6．已知函数y＝f(2x－1)的定义域是[0,1]，则函数的定义域是(　　)

A．[1,2]   B．(－1,1]

C.   D．(－1,0)

解析：选D　由f(2x－1)的定义域是[0,1]，

得0≤x≤1，故－1≤2x－1≤1，

∴f(x)的定义域是[－1,1]，

∴要使函数有意义，

需满足解得－1<x<0.

7．下列函数中，不满足f(2 018x)＝2 018f(x)的是(　　)

A．f(x)＝|x|   B．f(x)＝x－|x|

C．f(x)＝x＋2   D．f(x)＝－2x

解析：选C　若f(x)＝|x|，则f(2 018x)＝|2 018x|＝2 018|x|＝2 018f(x)；若f(x)＝x－|x|，则f(2 018x)＝2 018x－|2 018x|＝2 018(x－|x|)＝2 018f(x)；若f(x)＝x＋2，则f(2 018x)＝2 018x＋2，而2 018f(x)＝2 018x＋2 018×2，故f(x)＝x＋2不满足f(2 018x)＝2 018f(x)；若f(x)＝－2x，则f(2 018x)＝－2×2 018x＝2 018×(－2x)＝2 018f(x)．故选C.

8．已知具有性质：f＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：

①f(x)＝x－；②f(x)＝x＋；③f(x)＝

其中满足“倒负”变换的函数是(　　)

A．①②   B．①③

C．②③   D．①

解析：选B　对于①，f(x)＝x－，f＝－x＝－f(x)，满足题意；对于②，f＝＋x＝f(x)，不满足题意；对于③，f＝即f＝故f＝－f(x)，满足题意．

综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.

9．(2019·青岛模拟)函数y＝ln＋的定义域为________．

解析：由⇒⇒0<x≤1.

所以该函数的定义域为(0,1]．

答案：(0,1]

10．(2019·益阳、湘潭调研)若函数f(x)＝则f(f(－9))＝________.

解析：∵函数f(x)＝∴f(－9)＝lg 10＝1，∴f(f(－9))＝f(1)＝－2.

答案：－2

11．(2018·张掖一诊)已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于________．

解析：∵f(1)＝2，且f(1)＋f(a)＝0，∴f(a)＝－2＜0，故a≤0.

依题知a＋1＝－2，解得a＝－3.

答案：－3

12．已知f(x)＝使f(x)≥－1成立的x的取值范围是________．

解析：由题意知或

解得－4≤x≤0或0＜x≤2，

故所求x的取值范围是[－4,2]．

答案：[－4,2]

13．设函数f(x)＝且f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)在如图所示的直角坐标系中画出f(x)的图象．

解：(1)由f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)，得

解得所以f(x)＝

(2)函数f(x)的图象如图所示．