2020版一轮复习数学（理）江苏专版学案：第二章第一节函数及其表示

第一节函数及其表示


1．函数的概念
(1)定义：
设A，B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，记为y＝f(x)，x∈A.
(2)函数的定义域、值域：
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
(5)函数的表示法
表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．
2．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
[小题体验]
1．(2019·无锡一中期中测试)函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为________．
解析：由题意知，x2－x＞0，即x＜0或x＞1.
则函数的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞)．
答案：(－∞，0)∪(1，＋∞)
2．已知f()＝x－1，则f(2)＝________.
解析：令＝2，则x＝4，所以f(2)＝3.
答案：3
3．(2019·海头高级中学高三期中)若函数f(x)＝则f()＋f(－)＝________.
答案：5
4．已知函数f(x)＝若f(x)＝2，则x＝________.
解析：依题意得当x≤1时，3x＝2，所以x＝log32；
当x＞1时，－x＝2，x＝－2(舍去)．故x＝log32.
答案：log32

1．求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法，同时要注意函数的定义域．
2．分段函数无论分成几段，都是一个函数，不要误解为是“由几个函数组成”．求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论．
[小题纠偏]
1．(2019·常州一中检测)若函数f(x)＝则f＝________.
解析：因为＞1，所以f＝log2，
又因为log2＜1，所以f＝2－2＝－.
答案：－
2．(2018·苏州中学测试)已知f(x)的定义域为{x|x≠0}，满足3f(x)＋5f＝＋1，则函数f(x)的解析式为________．
解析：用代替3f(x)＋5f＝＋1中的x，
得3f＋5f(x)＝3x＋1，
所以
②×5－①×3得f(x)＝x－＋(x≠0)．
答案：f(x)＝x－＋(x≠0)


　
[题组练透]
1．(2018·常州期末)函数y＝＋lg(x＋2)的定义域为________．
解析：由题意可得解得－2＜x≤1，故所求函数的定义域为(－2,1]．
答案：(－2,1]
2．(2018·南通中学高三测试)函数y＝的定义域为________________．
解析：由函数y＝得
解得即－1≤x≤1且x≠－，
所以所求函数的定义域为∪.
答案：∪
3．若函数y＝f(x)的定义域是[1,2 019]，则函数g(x)＝的定义域是________．
解析：令t＝x＋1，由已知函数的定义域为[1,2 019]，可知1≤t≤2 019.要使函数f(x＋1)有意义，则有1≤x＋1≤2 019，解得0≤x≤2 018，故函数f(x＋1)的定义域为[0，2 018]．所以使函数g(x)有意义的条件是解得0≤x＜1或1＜x≤2 018.故函数g(x)的定义域为[0,1)∪(1，2 018]．
答案：[0,1)∪(1,2 018]
4．(2018·南京师范大学附中模拟)函数f(x)＝的定义域是________．
解析：由题意得log (2x－3)≥0⇒0＜2x－3≤1⇒＜x≤2，即函数f(x)的定义域是.
答案：
[谨记通法]
函数定义域的求解策略
(1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解．
(2)实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．
(3)抽象函数：
①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；
②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
　
[典例引领]
(1)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)；
(2)已知f＝x2＋，求f(x)的解析式；
(3)已知f＝lg x，求f(x)的解析式；
(4)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式；
(5)已知f(0)＝1，对任意的实数x，y都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求f(x)的解析式．
解：(1)(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，
又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，
得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，
即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
所以解得a＝b＝.
所以f(x)＝x2＋x，x∈R.
(2)(配凑法)由于f＝x2＋＝2－2，
所以f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2，
故f(x)的解析式是f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2.
(3)(换元法)令＋1＝t得x＝，代入得f(t)＝lg，
又x＞0，所以t＞1，
故f(x)的解析式是f(x)＝lg，x＞1.
(4)(解方程组法)由f(－x)＋2f(x)＝2x，①
得f(x)＋2f(－x)＝2－x，②
①×2－②，得，3f(x)＝2x＋1－2－x.
即f(x)＝.
所以f(x)的解析式是f(x)＝.
(5)(赋值法)令x＝0，得f(－y)＝f(0)－y(－y＋1)＝1＋y2－y，
所以f(y)＝y2＋y＋1，即f(x)＝x2＋x＋1.
[由题悟法]
求函数解析式的5种方法
配凑法
由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式
换元法
对于形如y＝f(g(x))的函数解析式，令t＝g(x)，从中求出x＝φ(t)，然后代入表达式求出f(t)，再将t换成x，得到f(x)的解析式，要注意新元的取值范围
待定系数法
先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的系数
解方程组法
已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f(x)
赋值法
给变量赋予某些特殊值，从而求出其解析式
[即时应用]
1．(2019·如皋测试)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝x＋2，则f(x)＝________.
解析：设f(x)＝kx＋b，
由f(f(x))＝x＋2，可得k(kx＋b)＋b＝x＋2，即k2x＋kb＋b＝x＋2，
所以k2＝1，kb＋b＝2，解得k＝1，b＝1，即f(x)＝x＋1.
答案：x＋1
2．已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式．
解：法一：(换元法)设t＝＋1，则x＝(t－1)2，t≥1，代入原式有
f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.
故f(x)＝x2－1，x≥1.
法二：(配凑法)因为x＋2＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1，
所以f(＋1)＝(＋1)2－1，＋1≥1，
即f(x)＝x2－1，x≥1.
　
[锁定考向]
分段函数作为考查函数知识的最佳载体，一直是高考命题的热点，解题过程中常渗透着分类讨论的数学思想，高考对分段函数的常见的命题角度有：
(1)分段函数的求值问题；
(2)求参数或自变量的值与范围；
(3)分段函数与不等式问题．　　　 　
[题点全练]
角度一：分段函数的求值问题
1．设函数f(x)＝则f＝________.
解析：因为－1＜－1≤0，所以f＝＝，
则f＝f＝tan ＝1.
答案：1
角度二：求参数或自变量的值与范围
2．已知f(x)＝若f(a)＝，则a＝________.
解析：若a≥0，由f(a)＝得，a＝，
解得a＝；
若a＜0，则|sin a|＝，a∈，
解得a＝－.综上可知，a＝或－.
答案：或－
角度三：分段函数与不等式问题
3．(2018·如东期末)设函数f(x)＝则使得f(2x＋1)＞f(x－1)成立的x的取值范围是________．
解析：当x＞0时，f(－x)＝x2ex＝f(x)，且为增函数，同理当x＜0时，f(－x)＝＝f(x)，且为减函数，所以f(x)关于y轴对称，且左减右增．要使f(2x＋1)＞f(x－1)，则需|2x＋1|＞|x－1|，两边平方化简得x2＋2x＞0，解得x＜－2或x＞0，故所求x的取值范围是(－∞， －2)∪(0，＋∞)．
答案：(－∞，－2)∪(0，＋∞)

[通法在握]
1．分段函数的求值问题的解题思路
(1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．
2．分段函数与不等式问题的求解思路
依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．
[演练冲关]
1．(2019·姜堰中学测试)已知函数f(x)的定义域为实数集R，∀x∈R，f(x－90)＝则f(10)－f(－100)的值为________．
解析：因为f(10)＝f(100－90)＝lg 100＝2，f(－100)＝f(－10－90)＝－(－10)＝10，
所以f(10)－f(－100)＝2－10＝－8.
答案：－8
2．(2018·无锡高三第一学期期末)已知函数f(x)＝g(x)＝－x2－2x－2.若存在a∈R，使得f(a)＋g(b)＝0，则实数b的取值范围是________．
解析：当x≤－时，f(x)＝1＋＜1，
此时f(x)＝1＋＝1＋－在上单调递减，易求得f(x)∈[－7,1)；
当x＞－时，f(x)＝log，
此时f(x)在上单调递减，易求得f(x)∈(－∞，2)，
∴f(x)的值域为(－∞，2)．
故存在a∈R，使得f(a)＋g(b)＝0⇒－g(b)＝f(a)∈(－∞，2)⇒b2＋2b＋2＜2⇒b∈(－2,0)．
答案：(－2,0)
3．(2018·南通期末)已知函数f(x)＝则不等式f(x2－2)＋f(x)＜0的解集为__________．
解析：函数f(x)＝的图象如图所示，
所以f(x)是定义域为R的奇函数也是增函数，
所以不等式f(x2－2)＋f(x)＜0⇔ f(x2－2)＜f(－x)⇔x2－2＜－x，解得－2＜x＜1，
所以原不等式的解集为(－2,1)．
答案：(－2,1)

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1．(2019·淮安调研)函数f(x)＝的定义域是________．
解析：由lg(5－x2)≥0，得5－x2≥1，
即x2≤4，解得－2≤x≤2.
∴函数f(x)＝的定义域是[－2,2]．
答案：[－2,2]
2．(2018·苏州高三期中调研)函数y＝的定义域为________．
解析：由解得x＞1，且x≠2，所以函数的定义域为(1,2)∪(2，＋∞)．
答案：(1,2)∪(2，＋∞)
3．已知f＝2x－5，且f(a)＝6，则a＝________.
解析：令t＝x－1，则x＝2t＋2，f(t)＝2(2t＋2)－5＝4t－1，则4a－1＝6，解得a＝.
答案：
4．已知f(x)是一次函数，满足3f(x＋1)＝6x＋4，则f(x)＝________.
解析：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f(x＋1)＝a(x＋1)＋b＝ax＋a＋b，
依题设，3ax＋3a＋3b＝6x＋4，
∴∴
则f(x)＝2x－.
答案：2x－
5．(2019·盐城模考)已知函数f(x)＝若f(0)＝3，则f(a)＝________.
解析：因为f(0)＝3，所以a－2＝3，即a＝5，所以f(a)＝f(5)＝9.
答案：9
6．设函数f(x)＝则f(f(2))＝________，函数f(x)的值域是________．
解析：因为f(2)＝，所以f(f(2))＝f＝－.
当x＞1时，f(x)∈(0,1)，当x≤1时，f(x)∈[－3，＋∞)，
所以f(x)∈[－3，＋∞)．
答案：－　[－3，＋∞)
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1．(2019·如东高级中学高三学情调研)设函数f(x)＝则f(－2)＋f(log212)＝________.
解析：因为f(－2)＝1＋log24＝3，f(log212)＝2log212－1＝6，所以f(－2)＋f(log212)＝9.
答案：9
2．(2018·苏州期末)函数f(x)＝的值域为________．

解析：画出f(x)的图象如图所示，可看出函数的值域为(－∞，1]．
答案：(－∞，1]

3．(2018·南京名校联考)f(x)＝则f＝________.
解析：因为f＝log3＝－2，
所以f＝f(－2)＝－2＝9.
答案：9
4．(2019·南通调研)函数f(x)＝＋lg(x＋1)的定义域是________．
解析：由题意得⇒x＞－1且x≠1，所以函数f(x)的定义域是(－1,1)∪(1，＋∞)．
答案：(－1,1)∪(1，＋∞)
5．(2018·启东中学检测)已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，则函数y＝f(x)的定义域为________．
解析：因为y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，所以x∈[－，]，x2－1∈[－1,2]，所以y＝f(x)的定义域为[－1，2]．
答案：[－1,2]
6．已知具有性质：f＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：
①y＝x－；②y＝x＋；③y＝
其中满足“倒负”变换的函数的序号是________．
解析：对于①，f(x)＝x－，f＝－x＝－f(x)，满足；对于②，f＝＋x＝f(x)，不满足；对于③，f＝即f＝故f＝－f(x)，满足．
综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.
答案：①③
7．(2019·扬州一模)若函数f(x)＝为奇函数，则f(g(2))＝________.
解析：因为函数f(x)＝为奇函数，所以当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝2x－2＝－f(x)，所以f(x)＝－2x＋2，即g(x)＝－2x＋2.所以g(2)＝－22＋2＝－2，f(g(2))＝f(－2)＝22－2＝2.
答案：2
8．已知函数f(x)＝若f(1)＝，则f(3)＝________.
解析：由f(1)＝，可得a＝，
所以f(3)＝2＝.
答案：
9．(2019·泰州一调)设函数f(x)＝若f(x)＞2，则x的取值范围是________．
解析：不等式f(x)＞2可化为或解得x＞或x＜－1.
答案：(－∞，－1)∪

10．(2019·无锡一中月考) 已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝logf(x)的定义域是________．
解析：要使函数g(x)有意义，需f(x)＞0，由f(x)的图象可知，当x∈(2,8]时，f(x)＞0.
答案：(2,8]
11．(2019·南京金陵中学月考)二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若在区间[－1,1]上，函数y＝f(x)的图象恒在直线y＝2x＋m的上方，试确定实数m的取值范围．
解：(1)由f(0)＝1，可设f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)，故f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2ax＋a＋b，由题意得解得
故f(x)＝x2－x＋1.
(2)由题意，得x2－x＋1＞2x＋m，即x2－3x＋1＞m，对x∈[－1,1]恒成立．令g(x)＝x2－3x＋1，则问题可转化为g(x)min＞m，又因为g(x)在[－1,1]上递减，所以g(x)min＝g(1)＝－1，故m＜－1，即实数m的取值范围为(－∞，－1)．
12．(2018·南京期末)已知二次函数f(x)满足f(1)＝1，f(－1)＝5，且图象过原点．
(1)求二次函数f(x)的解析式；
(2)已知集合U＝[1,4]，B＝，求∁UB.
解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
因为f(1)＝1，f(－1)＝5，且图象过原点，
所以解得a＝3，b＝－2，
所以f(x)＝3x2－2x.
(2)y＝＝3－，
当x∈[1,4]时，函数y＝3－是增函数，
当x＝1时，y取得最小值1；当x＝4时，y取得最大值，所以B＝，又集合U＝[1,4]，故∁UB＝.
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1．已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a＝________.
解析：当a＞0时，1－a＜1,1＋a＞1.
由f(1－a)＝f(1＋a)得2－2a＋a＝－1－a－2a，解得a＝－，不合题意；
当a＜0时，1－a＞1,1＋a＜1，
由f(1－a)＝f(1＋a)得－1＋a－2a＝2＋2a＋a，
解得a＝－，所以a的值为－.
答案：－
2．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝2f(x)，若当0≤x≤2时，f(x)＝x(2－x)，则当 －4≤x≤－2时，f(x)＝________.
解析：由题意知f(x＋4)＝2f(x＋2)＝4f(x)，当－4≤x≤－2时，0≤x＋4≤2，所以f(x)＝f(x＋4)＝(x＋4)[2－(x＋4)]＝－(x＋4)(x＋2)，所以当－4≤x≤－2时，f(x)＝－(x＋4)(x＋2)．
答案：－(x＋4)(x＋2)
3．行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(米)与汽车的车速x(千米/时)满足下列关系：y＝＋mx＋n(m，n是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y(米)与汽车的车速x(千米/时)的关系图．
(1)求出y关于x的函数表达式；
(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．
解：(1)由题意及函数图象，得
解得m＝，n＝0，
所以y＝＋(x≥0)．
(2)令＋≤25.2，
得－72≤x≤70.
因为x≥0，所以0≤x≤70.
故行驶的最大速度是70千米/时．