2020版新设计一轮复习数学（理）通用版讲义：第二章第四节函数的图象

第四节函数的图象

1．描点法作函数图象

通过列表、描点、连线三个步骤，画出函数图象．用描点法在选点时往往选取特殊点，有时也可利用函数的性质(如单调性、奇偶性、周期性)画出图象．

 “左加右减，上加下减”．左加右减只针对x本身，与x的系　 数无关；上加下减指的是在f(x) 整体上加减.

2．函数图象的变换

(1)平移变换

(2)对称变换

y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象；

y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象；

y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象；

y＝ax(a>0，且a≠1)的图象y＝logax(a>0，且a≠1)的图象．

(3)翻折变换

y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象；

y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象．

图象变换的注意点

在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，写出每一次变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．

[熟记常用结论]

1．对于函数y＝f(x)定义域内任意一个x的值，若f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝对称．

2．对于函数y＝f(x)定义域内任意一个x的值，若f(a＋x)＝－f(b－x)，则函数f(x)的图象关于点中心对称．

[小题查验基础]

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位得到．(　　)

(2)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称．(　　)

(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝f(|x|)的图象与y＝|f(x)|的图象相同．(　　)

(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

二、选填题

1．下列图象是函数y＝的图象的是(　　)

答案：C

2．如图，四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的个数为(　　)

A．1　　　　　　　　 B．2

C．3  D．4

解析：选A　将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来．图①应该是匀速的，故下面的图象不正确；②中的变化率应该是越来越慢的，正确；③中的变化率是先快后慢再快，正确；④中的变化率是先慢后快再慢，也正确，故只有①是错误的．

3．函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝(　　)

A．ex＋1  B．ex－1

C．e－x＋1  D．e－x－1

解析：选D　与曲线y＝ex关于y轴对称的图象对应的解析式为y＝e－x，将函数y＝e－x的图象向左平移1个单位长度即得y＝f(x)的图象，∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1，故选D.

4．已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝log f(x)的定义域是________．

解析：当f(x)>0时，函数g(x)＝log f(x)有意义，由函数f(x)的图象知满足f(x)>0时，x∈(2,8]．

答案：(2,8]

5．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________．

解析：由题意得a＝|x|＋x，令y＝|x|＋x＝其图象如图所示，故要使a＝|x|＋x只有一个解，则a>0.

答案：(0，＋∞)

[考法全析]

考法(一)　知式选图

[例1]　(2018·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝的图象大致为(　　)

[解析]　∵y＝ex－e－x是奇函数，y＝x2是偶函数，

∴f(x)＝是奇函数，图象关于原点对称，排除A选项．

当x＝1时，f(1)＝e－>0，排除D选项．

又e>2，∴＜，∴e－>1，排除C选项．故选B.

[答案]　B

[例2]　(2018·全国卷Ⅲ)函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为(　　)

[解析]　令f(x)＝－x4＋x2＋2，

则f′(x)＝－4x3＋2x，

令f′(x)＝0，得x＝0或x＝±，

则f′(x)>0的解集为∪，

f(x)在，上单调递增；f′(x)＜0的解集为∪，f(x)在，上单调递减，结合图象知选D.

[答案]　D

考法(二)　借助动点探究函数图象

[例3]　广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”．如图，是由一个半径为2的大圆和两个半径为1的半圆组成的“阴阳鱼太极图”，圆心分别为O，O1，O2，若一动点P从点A出发，按路线A→O→B→C→A→D→B运动(其中A，O，O1，O2，B五点共线)，设P的运动路程为x，y＝|O1P|2，y与x的函数关系式为y＝f(x)，则y＝f(x)的大致图象为(　　)

[解析]　根据题图中信息，可将x分为4个区间，即[0，π)，[π，2π)，[2π，4π)，[4π，6π]，当x∈[0，π)时，函数值不变，y＝f(x)＝1；当x∈[π，2π)时，设与的夹角为θ，∵||＝1，| |＝2，θ＝x－π，∴y＝(－)2＝5－4cos θ＝5＋4cos x，∴y＝f(x)的图象是曲线，且单调递增；当x∈[2π，4π)时，＝－，设与的夹角为α，||＝2，||＝1，α＝π－＝2π－x，∴y＝|O1P|2＝(－)2＝5－4cos α＝5－4cos ，函数y＝f(x)的图象是曲线，且单调递减．结合选项知选A.

[答案]　A

考法(三)　图象变换问题

[例4]　已知函数y＝f(1－x)的图象如图，则y＝|f(x＋2)|的图象是(　　)

[解析]　(1)把函数y＝f(1－x)的图象向左平移1个单位得y＝f(－x)的图象；(2)作出f(－x)关于y轴对称的函数图象得y＝f(x)的图象；(3)将f(x)向左平移2个单位得y＝f(x＋2)的图象；(4)将y＝f(x＋2)的图象在x轴下方的部分关于x轴对称翻折到x轴上方得到|f(x＋2)|的图象．

[答案]　A

[规律探求]

[过关训练]

1．函数y＝(x3－x)2|x|的图象大致是(　　)

解析：选B　易判断函数为奇函数，由y＝0得x＝±1或x＝0.当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0.故选B.

2.如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为(　　)

解析：选B　当x∈时，f(x)＝tan x＋，图象不会是直线段，从而排除A、C.

当x∈时，f＝f＝1＋，f＝2.∵2＜1＋，∴f＜f＝f，从而排除D，故选B.

3．已知函数f(x)＝logax(0＜a＜1)，则函数y＝f(|x|＋1)的图象大致为(　　)

解析：选A　先作出函数f(x)＝logax(0＜a＜1)的图象，当x>0时，y＝f(|x|＋1)＝f(x＋1)，其图象由函数f(x)的图象向左平移1个单位得到，又函数y＝f(|x|＋1)为偶函数，所以再将函数y＝f(x＋1)(x>0)的图象关于y轴对称翻折到y轴左边，得到x＜0时的图象，故选A.

[考法全析]

考法(一)　研究函数的性质

[例1]　已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)

A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)

B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)

C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1)

D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)

[解析]　将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝

画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．

[答案]　C

考法(二)　研究不等式的求解问题

[例2]　(1)设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式＜0的解集为(　　)

A．(－1,0)∪(1，＋∞)　　 B．(－∞，－1)∪(0,1)

C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)  D．(－1,0)∪(0,1)

(2)若不等式(x－1)2＜logax(a>0，且a≠1)在x∈(1,2)内恒成立，则实数a的取值范围为(　　)

A．(1,2]   B.

C．(1，)  D．(，2)

[解析]　(1)因为f(x)为奇函数，所以不等式＜0可化为＜0，即xf(x)＜0，f(x)的大致图象如图所示．所以xf(x)＜0的解集为(－1,0)∪(0,1)．

(2)要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2＜logax恒成立，只需函数y＝(x－1)2在(1,2)上的图象在y＝logax的图象的下方即可．

当0＜a＜1时，显然不成立；当a>1时，如图，要使x∈(1,2)时，y＝(x－1)2的图象在y＝logax的图象的下方，只需(2－1)2≤loga2，即loga2≥1，解得1＜a≤2，故实数a的取值范围是(1,2]．故选A.

[答案]　(1)D　(2)A

考法(三)　研究方程根的问题

[例3]　(2019·沈阳质量监测)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(2－x)，当x∈[－2,0]时，f(x)＝x－1，则关于x的方程f(x)－log8(x＋2)＝0在区间(－2,6)上根的个数为(　　)

A．1　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4

[解析]　因为对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x＋2)＝f(2－x)＝f(x－2)，f(x＋4)＝f(x)，函数f(x)是周期为4的函数，则函数y＝f(x)的图象与y＝log8(x＋2)的图象交点的个数即方程f(x)－log8(x＋2)＝0根的个数．作出y＝f(x)与y＝log8(x＋2)在区间(－2,6)上的图象如图所示，易知两个函数在区间(－2,6)上的图象有3个交点，所以方程f(x)－log8(x＋2)＝0在区间(－2,6)上有3个根，故选C.

[答案]　C

[规律探求]

 [过关训练]

1．(2019·昆明检测)已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|＜g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)(　　)

A．有最小值－1，最大值1   B．有最大值1，无最小值

C．有最小值－1，无最大值  D．有最大值－1，无最小值

解析：选C　如图，画出y＝|f(x)|＝|2x－1|与y＝g(x)＝1－x2的图象，它们交于A，B两点．由“规定”，在A，B两侧，|f(x)|≥g(x)，故h(x)＝|f(x)|；在A，B之间，|f(x)|＜g(x)，故h(x)＝－g(x)．

综上可知，y＝h(x)的图象是图中的实线部分，因此h(x)有最小值－1，无最大值．

2．已知函数f(x)＝则对任意x1，x2∈R，若0＜|x1|＜|x2|，下列不等式成立的是(　　)

A．f(x1)＋f(x2)＜0   B．f(x1)＋f(x2)＞0

C．f(x1)－f(x2)＞0  D．f(x1)－f(x2)＜0

解析：选D　函数f(x)的图象如图所示．

f(－x)＝f(x)，则函数f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数．又0＜|x1|＜|x2|，则f(x2)＞f(x1)，即f(x1)－f(x2)＜0.

3．已知直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是________．

解析：y＝作出其图象，如图所示．此曲线与y轴交于点(0，a)，最小值为a－，要使直线y＝1与其有四个交点，只需a－＜1＜a，

所以1＜a＜.

答案：

一、题点全面练

1．函数f(x)＝xe－|x|的图象可能是(　　)

解析：选C　因为函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，排除A、B；当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝xe－x，因为e－x＞0，所以f(x)＞0，即f(x)在x∈(0，＋∞)时，其图象恒在x轴上方，排除D，故选C.

2.若函数f(x)＝的图象如图所示，则f(－3)等于(　　)

A．－　　　　　　　 B．－

C．－1  D．－2

解析：选C　由图象可得－a＋b＝3，ln(－1＋a)＝0，得a＝2，b＝5，∴f(x)＝故f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1，故选C.

3．(2018·全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是(　　)

A．y＝ln(1－x)　　　　　 B．y＝ln(2－x)

C．y＝ln(1＋x)  D．y＝ln(2＋x)

解析：选B　函数y＝f(x)的图象与函数y＝f(a－x)的图象关于直线x＝对称，令a＝2可得与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是函数y＝ln(2－x)的图象．故选B.

4．已知f(x)＝则下列函数的图象错误的是(　　)

解析：选D　在坐标平面内画出函数y＝f(x)的图象，将函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度，得到函数y＝f(x－1)的图象，因此A正确；作函数y＝f(x)的图象关于y轴的对称图形，得到y＝f(－x)的图象，因此B正确；y＝f(x)在[－1,1]上的值域是[0,2]，因此y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象重合，C正确；y＝f(|x|)的定义域是[－1,1]，且是偶函数，当0≤x≤1时，y＝f(|x|)＝，这部分的图象不是一条线段，因此选项D不正确．故选D.

5．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为(　　)

解析：选C　要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y＝f(x)的图象关于x轴对称得到y＝－f(x)的图象，然后向左平移一个单位长度得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确．

6．(2019·汉中模拟)函数f(x)＝·sin x的图象大致为(　　)

解析：选A　∵f(x)＝·sin x，∴f(－x)＝·sin(－x)＝－·sin x＝·sin x＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数，故排除C、D；当x＝2时，f(2)＝·sin 2＜0，故排除B，选A.

7.若函数f(x)＝(ax2＋bx)ex的图象如图所示，则实数a，b的值可能为(　　)

A．a＝1，b＝2

B．a＝1，b＝－2

C．a＝－1，b＝2

D．a＝－1，b＝－2

解析：选B　令f(x)＝0，则(ax2＋bx)ex＝0，解得x＝0或x＝－，由图象可知，－＞1，又当x＞－时，f(x)＞0，故a＞0，结合选项知a＝1，b＝－2满足题意，故选B.

8．定义max{a，b，c}为a，b，c中的最大值，设M＝max{2x,2x－3,6－x}，则M的最小值是(　　)

A．2  B．3

C．4  D．6

解析：选C　画出函数M＝max{2x,2x－3,6－x}的图象如图中实线部分所示，由图可得，函数M在点A(2,4)处取得最小值，最小值为4，故选C.

9.已知在函数y＝|x|(x∈[－1,1])的图象上有一点P(t，|t|)，该函数的图象与x轴、直线x＝－1及x＝t围成图形(如图阴影部分)的面积为S，则S与t的函数关系图可表示为(　　)

解析：选B　由题意知，当－1＜t＜0时，S越来越大，但增长的速度越来越慢．当t＞0时，S的增长速度会越来越快，故在S轴右侧图象的切线斜率逐渐增大，选B.

10.如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为________．

解析：令y＝log2(x＋1)，作出函数y＝log2(x＋1)图象如图．

由得∴结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1＜x≤1}．

答案：{x|－1＜x≤1}

11．设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．

解析：如图，作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知：当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)．

答案：[－1，＋∞)

12．已知函数f(x)＝|x|(x－a)，a＞0.

(1)作出函数f(x)的图象；

(2)写出函数f(x)的单调区间；

(3)当x∈[0,1]时，由图象写出f(x)的最小值．

解：(1)f(x)＝其图象如图所示．

(2)由图知，f(x)的单调递增区间是(－∞，0)，；单调递减区间是.

(3)由图象知，当＞1，即a＞2时，f(x)min＝f(1)＝1－a；

当0＜≤1，即0＜a≤2时，f(x)min＝f＝－.

综上，f(x)min＝

二、专项培优练

(一)易错专练——不丢怨枉分

1．(2019·大同质检)已知函数f(2x＋1)是奇函数，则函数y＝f(2x)的图象关于下列哪个点成中心对称(　　)

A．(1,0)   B．(－1,0)

C.   D.

解析：选C　因为f(2x＋1)是奇函数，所以图象关于原点成中心对称，而f(2x)的图象是由f(2x＋1)的图象向右平移个单位得到的，故f(2x)关于成中心对称．

2．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在(－1,3)上的解集为(　　)

A．(1,3)   B．(－1,1)

C．(－1,0)∪(1,3)  D．(－1,0)∪(0,1)

解析：选C　作出函数f(x)的图象如图所示．

当x∈(－1,0)时，由xf(x)>0得x∈(－1,0)；

当x∈(0,1)时，由xf(x)>0得x∈∅；

当x∈(1,3)时，由xf(x)>0得x∈(1,3)．

故x∈(－1,0)∪(1,3)．

3．(2019·合肥质检)对于函数f(x)，如果存在x0≠0，使得f(x0)＝－f(－x0)，则称(x0，f(x0))与(－x0，f(－x0))为函数图象的一组奇对称点．若f(x)＝ex－a(e为自然对数的底数)的图象上存在奇对称点，则实数a的取值范围是________．

解析：依题意，知f(x)＝－f(－x)有非零解，由f(x)＝－f(－x)得，ex－a＝－(e－x－a)，即a＝＞1(x≠0)，所以当f(x)＝ex－a存在奇对称点时，实数a的取值范围是(1，＋∞)．

答案：(1，＋∞)

(二)素养专练——学会更学通

4．[数学建模]如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆．垂直于x轴的直线l：x＝t(0≤t≤a)经过原点O向右平行移动，l在移动过程中扫过平面图形的面积为y(图中阴影部分)，若函数y＝f(x)的大致图象如右图所示，那么平面图形的形状不可能是(　　)

解析：选C　由y＝f(x)的图象可知面积递增的速度先快后慢，对于选项C，后半程是匀速递增，所以平面图形的形状不可能是C.

5．[直观想象]已知函数f(x)＝若方程f(x)＝x＋a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为(　　)

A．(－∞，0]  B．[0,1)

C．(－∞，1)  D．[0，＋∞)

解析：选C　当x＞0时，f(x)＝f(x－1)，所以f(x)是以1为周期的函数．又当0＜x≤1时，x－1≤0，所以f(x)＝f(x－1)＝21－x－1＝2x－1.方程f(x)＝x＋a的根的个数可看成是两个函数y＝f(x)与y＝x＋a的图象的交点个数，画出函数的图象，如图所示，由图象可知实数a的取值范围是(－∞，1)．

(三)难点专练——适情自主选

6．已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋＋2的图象关于点A(0,1)对称．

(1)求f(x)的解析式；

(2)若g(x)＝f(x)＋，且g(x)在区间(0,2]上为减函数，求实数a的取值范围．

解：(1)设f(x)图象上任一点P(x，y)，则点P关于(0,1)点的对称点P′(－x,2－y)在h(x)的图象上，

即2－y＝－x－＋2，∴y＝f(x)＝x＋(x≠0)．

(2)g(x)＝f(x)＋＝x＋，∴g′(x)＝1－.

∵g(x)在(0,2]上为减函数，∴1－≤0在(0,2]上恒成立，即a＋1≥x2在(0,2]上恒成立，∴a＋1≥4，即a≥3，

故实数a的取值范围是[3，＋∞)．

7．若关于x的不等式4ax－1＜3x－4(a>0，且a≠1)对于任意的x>2恒成立，求a的取值范围．

解：不等式4ax－1＜3x－4等价于ax－1＜x－1.

令f(x)＝ax－1，g(x)＝x－1，

当a>1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图(1)所示，由图知不满足条件；

当0＜a＜1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图(2)所示，当x≥2时，f(2)≤g(2)，

即a2－1≤×2－1，

解得a≤，所以a的取值范围是.