2020高考数学（理）新创新大一轮复习通用版讲义：第二章第一节函数及其表示

第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ
第一节函数及其表示


1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．
2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段).
突破点一　函数的定义域


1．函数与映射的概念

函数
映射
两集合A，B
设A，B是两个非空的数集
设A，B是两个非空的集合
对应关系f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
y＝f(x)，x∈A
对应f：A→B
2.函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)函数是特殊的映射．(　　)
(2)与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点．(　　)
(3)函数y＝1与y＝x0是同一个函数．(　　)
答案：(1)√　(2)√　(3)×
二、填空题
1．函数f(x)＝＋的定义域为______________．
解析：由题意得解得x≥0且x≠2.
答案：[0,2)∪(2，＋∞)
2．已知函数f(x)＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，则函数f(x)的值域为____________．
解析：∵x＝1,2,3,4,5，∴f(x)＝2x－3＝－1,1,3,5,7.∴f(x)的值域为{－1,1,3,5,7}．
答案：{－1,1,3,5,7}
3．下列f(x)与g(x)表示同一函数的是________．
(1)f(x)＝与g(x)＝·；
(2)f(x)＝x与g(x)＝；
(3)y＝x与y＝()2；
(4)f(x)＝与g(x)＝.
答案：(2)


考法一　求函数的定义域　
常见基本初等函数定义域的基本要求
(1)分式函数中分母不等于零．
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.
(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}．
(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R.
(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．
(7)y＝tan x的定义域为.
[例1]　(1)(2019·合肥八中期中)函数f(x)＝的定义域是(　　)
A．(－3,0)　　　　　　　 B．(－3,0]
C．(－∞，－3)∪(0，＋∞) D．(－∞，－3)∪(－3,0)
(2)(2019·东北师大附中摸底)已知函数f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f＋f的定义域是(　　)
A. B.
C. D.
[解析]　(1)∵f(x)＝，∴要使函数f(x)有意义，需使解得－3 (2)由题意得∴
∴≤x≤.故选C.
[答案]　(1)A　(2)C
[方法技巧]
1．根据具体的函数解析式求定义域的策略
已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可．
2．求抽象函数的定义域的策略
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；
(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．
3．求函数定义域应注意的问题
(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化；
(2)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．　　
考法二　已知函数的定义域求参数　
[例2]　(2019·安阳模拟)若函数f(x)＝的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是(　　)
A．[0,4) B．(0,4)
C．[4，＋∞) D．[0,4]

[解析]　由题意可得mx2＋mx＋1≥0恒成立．当m＝0时，1≥0恒成立；当m≠0时，则解得0 [答案]　D
[方法技巧]
已知函数的定义域求参数问题的解题步骤
(1)调整思维方向，根据已知函数，将给出的定义域问题转化为方程或不等式的解集 问题．
(2)根据方程或不等式的解集情况确定参数的取值或范围．　　

1.函数f(x)＝－的定义域为(　　)
A．[1,10] B．[1,2)∪(2,10]
C．(1,10] D．(1,2)∪(2,10]
解析：选D　要使原函数有意义，则解得1 2.若函数f(x＋1)的定义域是[－1,1]，则函数f(logx)的定义域为________．
解析：∵f(x＋1)的定义域是[－1,1]，∴f(x)的定义域是[0,2]．
令0≤logx≤2，解得≤x≤1，∴函数f(logx)的定义域为.
答案：
3.已知函数y＝的定义域为R，则实数k的取值范围是________．
解析：当k＝0时，y＝，满足条件；
当k≠0时，由得0 答案：[0,3)
突破点二　函数的表示法


1．函数的表示方法
函数的表示方法有三种，分别为解析法、列表法和图象法．同一个函数可以用不同的方法表示．
2．应用三种方法表示函数的注意事项
方法
注意事项
解析法
一般情况下，必须注明函数的定义域
列表法
选取的自变量要有代表性，能反映定义域的特征
图象法
注意定义域对图象的影响：与x轴垂直的直线与其最多有一个公共点

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)若f(x)满足f＝x－1，则f(x)＝－1.(　　)
(2)若f(x)＝2x＋1，x∈[1,3]，则f(x－1)＝2x－1，x∈[2,4]．(　　)
答案：(1)×　(2)√
二、填空题
1．已知f(x)是一次函数，满足3f(x＋1)＝6x＋4，则f(x)＝________.
解析：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(x＋1)＝a(x＋1)＋b＝ax＋a＋b，
依题设得3ax＋3a＋3b＝6x＋4，
∴∴则f(x)＝2x－.
答案：2x－
2．已知x≠0，函数f(x)满足f＝x2＋，则f(x)＝________.
解析：f＝x2＋＝2＋2，
所以f(x)＝x2＋2.
答案：x2＋2
3．已知函数f(2x＋1)＝3x＋2，且f(a)＝4，则a＝________.
解析：因为f(2x＋1)＝(2x＋1)＋，所以f(x)＝x＋.又f(a)＝4，所以a＋＝4，a＝.
答案：


1．已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝4x＋3，则f(x)的解析式为________________．
解析：由题意设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋3，
∴解得或
故所求解析式为f(x)＝－2x－3或f(x)＝2x＋1.
答案：f(x)＝－2x－3或f(x)＝2x＋1
2．已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)的解析式为________________．
解析：法一：设t＝＋1(t≥1)，则x＝(t－1)2，
∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1，
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
法二：∵x＋2＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1，
∴f(＋1)＝(＋1)2－1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
答案：f(x)＝x2－1(x≥1)
3．已知f(0)＝1，对任意的实数x，y，都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，则f(x)的解析式为________________．
解析：令x＝0，得f(－y)＝f(0)－y(－y＋1)＝1＋y2－y，
∴f(y)＝y2＋y＋1，
即f(x)＝x2＋x＋1.
答案：f(x)＝x2＋x＋1

求函数解析式的3种方法
待定系数法
当函数的特征已经确定时，一般用待定系数法来确定函数解析式
换元法
如果给定复合函数的解析式，求外函数的解析式，通常用换元法将内函数先换元，然后求出外函数的解析式
解方程组法
如果给定两个函数的关系式，可以通过变量代换建立方程组，再通过方程组求出函数解析式

1．下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是(　　)
A．f(x)＝|x|　　　　　 B．f(x)＝x－|x|
C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x
解析：选C　选项A，f(2x)＝|2x|＝2|x|,2f(x)＝2|x|，故f(2x)＝2f(x)；选项B，f(2x)＝2x－|2x|＝2x－2|x|，2f(x)＝2x－2|x|，故f(2x)＝2f(x)；选项C，f(2x)＝2x＋1,2f(x)＝2x＋2，故f(2x)≠2f(x)；选项D，f(2x)＝－2x，2f(x)＝－2x，故f(2x)＝2f(x)．故选C.

2．(2019·南阳第一中学模拟)已知f(1－cos x)＝sin2x，则f(x2)的解析式为________________________．
解析：因为f(1－cos x)＝sin2x＝1－cos2x，令1－cos x＝t，t∈[0,2]，则cos x＝1－t，所以f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0,2]．则f(x2)＝－x4＋2x2，x∈[－，]．
答案：f(x2)＝－x4＋2x2，x∈[－，]
3．已知函数f(x)满足f(x)＝2f＋x，则f(x)的解析式为________________．
解析：由f(x)＝2f＋x，得f＝2f(x)＋，
联立得
①＋②×2得f(x)＝x＋4f(x)＋，
则f(x)＝－－x.
答案：f(x)＝－－x
突破点三　分段函数


1．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
2．分段函数的相关结论
(1)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)分段函数是两个或多个函数．(　　)
(2)若f(x)＝f(a)＋f(－1)＝2，则a＝1.(　　)
答案：(1)×　(2)×


二、填空题
1．若f(x)＝则f(－5)＝________.
解析：f(－5)＝f(－5＋2)＝f(－3)＝f(－3＋2)＝f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)＝2×1＝2.
答案：2
2．(2019·西安质检)已知函数f(x)＝则f的值是________．
解析：由题意可得f＝log2＝－2，
∴f＝f(－2)＝3－2＋1＝.
答案：
3．函数f(x)＝若f(x0)＝8，则x0＝________.
解析：当x0≤2时，f(x0)＝x＋2＝8，即x＝6，∴x0＝－或x0＝(舍去)；
当x0>2时，f(x0)＝x0＝8，∴x0＝10.
综上可知，x0＝－或x0＝10.
答案：－或10


考法一　分段函数求值问题　
[例1]　(2019·石家庄模拟)已知f(x)＝(0 A．－2　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．－3
[解析]　由题意得，f(－2)＝a－2＋b＝5，①
f(－1)＝a－1＋b＝3， ②
联立①②，结合0 则f(－3)＝－3＋1＝9，f(f(－3))＝f(9)＝log39＝2，故选B.
[答案]　B
[方法技巧]
分段函数求值的解题思路
求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．　　
考法二　分段函数与方程、不等式问题　
[例2]　(1)(2019·长春模拟)已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于(　　)
A．－3 B．－1
C．1 D．3
(2)函数f(x)＝若f(a)≤a，则实数a的取值范围是________．
[解析]　(1)当a>0时，由f(a)＋f(1)＝0得2a＋2＝0，无实数解；当a≤0时，由f(a)＋f(1)＝0得a＋1＋2＝0，解得a＝－3，满足条件，故选A.
(2)当a≥0时，由f(a)＝a－1≤a，解得a≥－2，即a≥0；当a<0时，由f(a)＝≤a，解得－1≤a≤1，即－1≤a<0.综上所述，实数a的取值范围是[－1，＋∞)．
[答案]　(1)A　(2)[－1，＋∞)
[方法技巧]
解分段函数与方程或不等式问题的策略
求解与分段函数有关的方程或不等式问题，主要表现为解方程或不等式．应根据每一段的解析式分别求解．若自变量取值不确定，则要分类讨论求解；若自变量取值确定，则只需依据自变量的情况直接代入相应的解析式求解．解得值(范围)后一定要检验是否符合相应段的自变量的取值范围．　　

1.已知函数f(x)＝则f(f(3))＝(　　)
A. B.
C．－ D．－3
解析：选A　因为f(3)＝1－log23＝log2<0，所以f(f(3))＝f＝2＝2＝，故选A.
2.设函数f(x)＝若f(m)＝7，则实数m的值为(　　)
A．0 B．1
C．－3 D．3
解析：选D　①当m≥2时，由f(m)＝7得m2－2＝7，解得m＝3或m＝－3(舍去)，则m＝3；②当m<2时，由f(m)＝7得log2m＝7，解得m＝27>2，舍去．综上可得，实数m的值是3.故选D.
3.已知函数f(x)＝若a[f(a)－f(－a)]>0，则实数a的取值范围为(　　)
A．(1，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
解析：选D　当a≥0时，不等式可化为a(a2＋a－3a)>0，
即a2＋a－3a>0，即a2－2a>0，解得a>2或a<0(舍去)；
当a<0时，不等式可化为a(－3a－a2＋a)>0，
即－3a－a2＋a<0，即a2＋2a>0，
解得a<－2或a>0(舍去)．
综上，实数a的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
[课时跟踪检测]
[A级　基础题——基稳才能楼高]
1．(2019·重庆五校联考)下列函数中，与y＝x相同的函数是(　　)
A．y＝　　　　　　　 B．y＝lg 10x
C．y＝ D．y＝()2＋1
解析：选B　选项A，y＝＝|x|与y＝x的对应法则和值域不同，不是相同函数；选项B，y＝lg 10x＝x，是相同函数；选项C，y＝＝x(x≠0)与y＝x的定义域不同；选项D，函数的定义域不相同，不是相同函数．故选B.
2．(2019·山西名校联考)若函数f(x)＝则f(f(2))＝(　　)
A．1 B．4
C．0 D．5－e2
解析：选A　由题意知，f(2)＝5－4＝1，f(1)＝e0＝1，所以f(f(2))＝1.
3．(2019·马鞍山质量检测)已知函数f(x)＝则f(1)＋f()＋f()＋…＋f()＝(　　)
A．44 B．45
C．1 009 D．2 018
解析：选A　由442＝1 936,452＝2 025可得，，，…，中的有理数共有44个，其余均为无理数，所以f(1)＋f()＋f()＋…＋f()＝44.
4．(2019·邯郸调研)函数y＝的定义域为(　　)
A．(－∞，1]
B．[－1,1]
C.∪
D.∪
解析：选C　要使函数有意义，需即所以函数y＝的定义域为.
5．(2019·衡阳县联考)若函数f(x)＝＋ln(b－x)的定义域为[2,4)，则a＋b＝(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：选B　要使函数有意义，则解不等式组得∵函数f(x)＝＋ln(b－x)的定义域为[2,4)，∴∴∴a＋b＝1＋4＝5.故选B.
6．(2019·乌鲁木齐一诊)函数f(x)＝则不等式f(x)>1的解集为(　　)
A．(1,2) B.
C. D．[2，＋∞)
解析：选A　当x<2时，不等式f(x)>1即ex－1>1，∴x－1>0，∴x>1，则11即－log3(x－1)>1，∴0 [B级　保分题——准做快做达标]
1．(2019·玉溪模拟)与函数y＝10lg(x－1)的图象相同的函数是(　　)
A．y＝x－1 B．y＝|x－1|
C．y＝2 D．y＝
解析：选C　函数y＝10lg(x－1)的定义域为{x|x>1}．y＝x－1与y＝|x－1|的定义域都为R，故排除A，B；y＝的定义域为{x|x≠－1}，故排除D；y＝2的定义域为{x|x>1}，解析式可化简为y＝x－1，因此正确，故选C.
2．(2019·全国名校联考)设函数f(x)＝且f(1)＝6，则f(2)＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．6
解析：选C　由题意，得f(1)＝3a＝6，解得a＝2，所以f(2)＝log2(2×2＋4)＝log28＝3，故选C.
3．(2019·山西名校联考)若函数f(x)满足f(3x＋2)＝9x＋8，则f(x)的解析式是(　　)
A．f(x)＝9x＋8
B．f(x)＝3x＋2
C．f(x)＝－3x－4
D．f(x)＝3x＋2或f(x)＝－3x－4
解析：选B　令t＝3x＋2，则x＝，所以f(t)＝9×＋8＝3t＋2.所以f(x)＝3x＋2，故选B.
4．(2019·郑州外国语学校月考)若函数f(1－2x)＝(x≠0)，则f＝(　　)
A．1 B．3
C．15 D．30
解析：选C　由于f(1－2x)＝(x≠0)，则当1－2x＝时，x＝，所以f＝＝15.故选C.
5．(2019·福州检测)已知函数f(x)＝若f(a)＝3，则f(a－2)＝(　　)
A．－ B．3
C．－或3 D．－或3
解析：选A　若a>0，则f(a)＝log2a＋a＝3，解得a＝2，则f(a－2)＝f(0)＝4－2－1＝－；若a≤0，则4a－2－1＝3，解得a＝3，不合题意．综上f(a－2)＝－.故选A.
6．(2019·邵阳检测)设函数f(x)＝log2(x－1)＋，则函数f的定义域为(　　)
A．[1,2] B．(2,4]
C．[1,2) D．[2,4)
解析：选B　∵函数f(x)＝log2(x－1)＋有意义，∴解得1 7．设函数f(x)＝若函数f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1] B．[1,4]
C．[4，＋∞) D．(－∞，1]∪[4，＋∞)

解析：选D　作出函数f(x)的图象如图所示，
由图象可知，若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，
需满足a≥4或a＋1≤2，
即a≤1或a≥4，故选D.
8．(2019·山东省实验中学段考)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，则函数y＝的定义域是________．
解析：∵函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，∴f(x＋1)的定义域为(－1，＋∞)，要使函数y＝有意义，则－x2－3x＋4>0，∴－4 答案：(－1,1)
9.若函数f(x)在闭区间[－1,2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为________．

解析：由题图可知，当－1≤x<0时，f(x)＝x＋1；当0≤x≤2时，f(x)＝－x，
所以f(x)＝
答案：f(x)＝
10．已知函数f(x)＝若f(f(1))>3a2，则a的取值范围是________．
解析：由题知，f(1)＝2＋1＝3，f(f(1))＝f(3)＝32＋6a，若f(f(1))>3a2，则9＋6a>3a2，即a2－2a－3<0，解得－1 答案：(－1,3)
11．设函数f(x)＝且f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)画出f(x)的图象．

解：(1)由得
解得所以f(x)＝
(2)f(x)的图象如图：

12．设函数f(x)＝已知f(a)>1，
求a的取值范围．
解：法一：(数形结合)

画出f(x)的图象，如图所示，作出直线y＝1，由图可见，符合f(a)>1的a的取值范围为(－∞，－2)∪.
法二：(分类讨论)
①当a≤－1时，由(a＋1)2>1，得a＋1>1或a＋1<－1，得a>0或a<－2，
又a≤－1，∴a<－2；
②当－11，得a>－，
又∵－1 ③当a≥1时，由－1>1，得0 又∵a≥1，∴此时a不存在．
综上可知，a的取值范围为(－∞，－2)∪.