2020版新设计一轮复习数学（理）通用版讲义：第一章第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

1．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断❶

2．全称量词与存在量词

3．全称命题与特称命题

4．含有一个量词的命题的否定

含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与綈p→真假相反．

“p∧q”⇔“p且q”，“且”的数学含义是几个条件同时满足，“且”在集合中解释为“交集”．

“p∨q”⇔“p或q”，“或”的数学含义有三层意思：要么只是p，要么只是q，要么是p和q，即两者中至少要有一个．“或”在集合中的解释为“并集”．

“綈p”⇔“非p”，“非”的含义有四条：

①“非p”只否定p的结论；

②p与“非p”的真假必须相反；

③“非p”必须包含p的所有对立面；

④“非p”必须使用否定词语．“非”在集合中的解释为“补集”.

区别一般命题的否定与全(特)称命题的否定，关键在于其否定的对象是不同的．全(特)称命题否定的对象也有量词．

[小题查验基础]

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)“全等三角形的面积相等”是特称命题．(　　)

(2)若命题p∧q为假命题，则命题p，q都是假命题．(　　)

(3)“p∨q”的否定是“(綈p)∧(綈q)”；“p∧q”的否定是“(綈p)∨(綈q)”．(　　)

(4)若命题p，q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√

二、选填题

1．若命题p：对任意的x∈R，都有x3－x2＋1＜0，则綈p为(　　)

A．不存在x0∈R，使得x－x＋1＜0

B．存在x0∈R，使得x－x＋1＜0

C．对任意的x∈R，都有x3－x2＋1≥0

D．存在x0∈R，使得x－x＋1≥0

解析：选D　命题p：对任意的x∈R，都有x3－x2＋1＜0的否定綈p：存在x0∈R，使得x－x＋1≥0.故选D.

2．下列命题中的假命题是(　　)

A．∃x0∈R，log2x0＝0　　　　 B．∀x∈R，x2>0

C．∃x0∈R，cos x0＝1  D．∀x∈R,2x>0

解析：选B　对于A，令x＝1，成立；对于B，x＝0时，不成立；对于C，令x＝0，成立；对于D，根据指数函数的性质知成立．故选B.

3．已知命题p：若x>y，则－x＜－y；命题q：若>，则x＜y.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是(　　)

A．①③  B．①④

C．②③  D．②④

解析：选C　由不等式的性质可知，命题p是真命题，命题q为假命题，故①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③綈q为真命题，则p∧(綈q)为真命题；④綈p为假命题，则(綈p)∨q为假命题．故②③是真命题．

4．命题“正方形都是矩形”的否定是______________________________________．

答案：存在一个正方形，这个正方形不是矩形

5．已知命题p：“∀x∈[0,1]，a≥ex”；命题q：“∃x0∈R，使得x＋4x0＋a＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为________．

解析：若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题．

由∀x∈[0,1]，a≥ex，得a≥e；

由∃x0∈R，使x＋4x0＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，a≤4，因此e≤a≤4.

则实数a的取值范围为[e,4]．

答案：[e,4]

[典例精析]

(1)设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是(　　)

A．p∨q　　　　　　　　　 B．p∧q

C．(綈p)∧(綈q)  D．p∨(綈q)

(2)已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，

p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数，

则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，真命题是(　　)

A．q1，q3  B．q2，q3

C．q1，q4  D．q2，q4

[解析]　(1)由题意知命题p为假命题，命题q为真命题，所以p∨q为真命题．故选A.

(2)∵y＝2x在R上是增函数，y＝2－x在R上是减函数，

∴y＝2x－2－x在R上是增函数，

∴p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数是真命题．

p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数是假命题，

故q1：p1∨p2是真命题，q2：p1∧p2是假命题，q3：(綈p1)∨p2是假命题，q4：p1∧(綈p2)是真命题．

故真命题是q1，q4，故选C.

[答案]　(1)A　(2)C

[解题技法]

判断含有逻辑联结词命题真假的3个步骤

[过关训练]

　(2019·荆州调研)已知命题p：方程x2－2ax－1＝0有两个实数根；命题q：函数f(x)＝x＋的最小值为4.给出下列命题：①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨(綈q)，则其中真命题的个数为(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：选C　在方程x2－2ax－1＝0中，由于Δ＝4a2＋4>0，所以方程x2－2ax－1＝0有两个实数根，即命题p是真命题；当x＜0时，f(x)＝x＋的值为负值，故命题q为假命题．所以p∨q，p∧(綈q)，(綈p)∨(綈q)是真命题，故选C.

 [典例精析]

(1)命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是(　　)

A．∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)>n

B．∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)>n

C．∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)>n0

D．∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)>n0

(2)下列四个命题：

p1：∃x0∈(0，＋∞)，x0＜x0；

p2：∃x0∈(0,1)，logx0>logx0；

p3：∀x∈(0，＋∞)，x>logx；

p4：∀x∈，x＜logx.

其中的真命题是(　　)

A．p1，p3  B．p1，p4

C．p2，p3  D．p2，p4

[解析]　(1)“f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定为“f(n)∉N*或f(n)>n”，全称命题的否定为特称命题，故选D.

(2)对于p1，由幂函数的单调性知当x∈(0，＋∞)时，总有x>x成立，故p1是假命题；对于p2，当x0＝时，有1＝log＝log>log成立，故p2是真命题；对于p3，结合指数函数y＝x与对数函数y＝logx在(0，＋∞)上的图象，可以判断p3是假命题；对于p4，结合指数函数y＝x与对数函数y＝logx在上的图象可以判断p4是真命题．

[答案]　(1)D　(2)D

[解题技法]

1．全称命题与特称命题真假判断的方法

2.全称命题与特称命题的否定

(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．

(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．

[过关训练]

1．已知命题p：∃x0∈，使得cos x0≤x0，则綈p为(　　)

A．∃x0∈，使得cos x0>x0

B．∃x0∈，使得cos x0＜x0

C．∀x∈，总有cos x>x

D．∀x∈，总有cos x≤x

解析：选C　原命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题，而“cos x≤x”的否定是“cos x>x”．故选C.

2．(2019·芜湖、马鞍山联考)已知命题p：∃x0∈R，x0－2>lg x0，命题q：∀x∈R，ex>x，则(　　)

A．命题p∨q是假命题  B．命题p∧q是真命题

C．命题p∧(綈q)是真命题  D．命题p∨(綈q)是假命题

解析：选B　显然，当x＝10时，x－2>lg x成立，所以命题p为真命题．设f(x)＝ex－x，则f′(x)＝ex－1，当x>0时，f′(x)>0，当x＜0时，f′(x)＜0，所以f(x)≥f(0)＝1>0，所以∀x∈R，ex>x，所以命题q为真命题．故命题p∧q是真命题，故选B.

[典例精析]

已知p：存在x0∈R，mx＋1≤0，q：任意x∈R，x2＋mx＋1>0，若p或q为假命题，求实数m的取值范围．

[解]　依题意知p，q均为假命题，当p为假命题时，mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；当q为真命题时，则有Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2.因此由p，q均为假命题得

即m≥2.

所以实数m的取值范围为[2，＋∞)．

1．(变条件)若本例条件中的“p或q为假命题”变为“p且q为真命题”，其他条件不变，则实数m的取值范围为________．

解析：依题意，当p为真命题时，有m＜0；

当q为真命题时，有－2＜m＜2，

由可得－2＜m＜0.

所以实数m的取值范围为(－2,0)．

答案：(－2,0)

2．(变条件)若本例中的条件q变为：存在x0∈R，x＋mx0＋1＜0，其他条件不变，则实数m的取值范围为________．

解析：依题意，当q是真命题时，Δ＝m2－4>0，

所以m>2或m＜－2.由得0≤m≤2，

所以m的取值范围是[0,2]．

答案：[0,2]

[解题技法]

根据全(特)称命题的真假求参数的思路

与全称命题或特称命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围．

[过关训练]

1．(2019·福建三校联考)若命题“∃x0∈R，使得3x＋2ax0＋1＜0”是假命题，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－，)

B．(－∞，－]∪[，＋∞)

C．[－，]

D．(－∞，－)∪(，＋∞)

解析：选C　命题“∃x0∈R，使得3x＋2ax0＋1＜0”是假命题，即“∀x∈R,3x2＋2ax＋1≥0”是真命题，故Δ＝4a2－12≤0，解得－≤a≤ .故选C.

2．已知命题p：关于x的不等式ax>1(a>0，a≠1)的解集是{x|x＜0}，命题q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围为________________．

解析：由关于x的不等式ax>1(a>0，a≠1)的解集是{x|x＜0}，知0＜a＜1；

由函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，

知不等式ax2－x＋a>0的解集为R，

则解得a>.

因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，

所以p和q一真一假，即“p假q真”或“p真q假”，

故或

解得a≥1或0＜a≤，

故实数a的取值范围是∪[1，＋∞)．

答案：∪[1，＋∞)

一、题点全面练

1．(2019·河南质量监测)已知命题p：∀x∈(1，＋∞)，x2＋16>8x，则命题p的否定为(　　)

A．綈p：∀x∈(1，＋∞)，x2＋16≤8x

B．綈p：∀x∈(1，＋∞)，x2＋16＜8x

C．綈p：∃x0∈(1，＋∞)，x＋16≤8x0

D．綈p：∃x0∈(1，＋∞)，x＋16＜8x0

解析：选C　全称命题的否定为特称命题，故命题p的否定綈p：∃x0∈(1，＋∞)，x＋16≤8x0.故选C.

2．已知命题p：∃x0∈R，log2(3x0＋1)≤0，则(　　)

A．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0

B．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0

C．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0

D．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0

解析：选B　∵3x>0，∴3x＋1>1，则log2(3x＋1)>0，∴p是假命题，綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0.故选B.

3．下列命题中为假命题的是(　　)

A．∀x∈R，ex>0　　　　 B．∀x∈N，x2>0

C．∃x0∈R，ln x0＜1  D．∃x0∈N*，sin＝1

解析：选B　对于选项A，由函数y＝ex的图象可知，∀x∈R，ex>0，故选项A为真命题；对于选项B，当x＝0时，x2＝0，故选项B为假命题；对于选项C，当x0＝时，ln＝－1＜1，故选项C为真命题；对于选项D，当x0＝1时，sin＝1，故选项D为真命题．综上知选B.

4．命题p：若sin x>sin y，则x>y；命题q：x2＋y2≥2xy.

下列命题为假命题的是(　　)

A．p或q  B．p且q

C．q  D．綈p

解析：选B　当x＝，y＝π时，满足sin x>sin y，但x＜y，∴命题p是假命题，显然命题q是真命题．∴p或q是真命题，p且q是假命题，q是真命题，綈p是真命题．故选B.

5．已知命题p：∃x0∈N，使得x＜x；命题q：a，b∈R，若|a－1|＝|b－2|，则a－b＝－1.下列命题为真命题的是(　　)

A．p  B．綈q

C．p∨q  D．p∧q

解析：选B　由x3＜x2，得x2(x－1)＜0，解得x＜0或0＜x＜1，在这个范围内没有自然数，所以命题p为假命题；若|a－1|＝|b－2|，则a－1＝b－2或a－1＝－b＋2，即a－b＝－1或a＋b＝3，故命题q为假命题．故綈q为真命题，p∨q与p∧q为假命题．故选B.

6．已知命题p：对任意x∈R，总有2x＜3x；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件．下列命题为真命题的是(　　)

A．p∧q  B．(綈p)∧(綈q)

C．(綈p)∧q  D．p∧(綈q)

解析：选B　由20＝30知，p为假命题；命题q：“x>1”不能推出“x>2”，但是“x>2”能推出“x>1”，所以“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故q为假命题．所以(綈p)∧(綈q)为真命题．故选B.

7．(2019·佛山一模)已知命题p：∃x0∈R，使sin x0＝；命题q：∀x∈R，都有x2＋x＋1>0，给出下列结论：

①命题p∧q是真命题；

②命题p∧(綈q)是假命题；

③命题(綈p)∧q是真命题；

④命题(綈p)∨(綈q)是假命题．

其中正确的结论是(　　)

A．②③  B．②④

C．③④  D．①②③

解析：选A　∵>1，∴命题p是假命题．∵x2＋x＋1＝2＋≥>0，∴命题q是真命题．由真值表可以判断p∧q为假，p∧(綈q)为假，(綈p)∧q为真，(綈p)∨(綈q)为真，所以只有②③正确，故选A.

8．(2019·南昌模拟)设命题p：∃x0∈(0，＋∞)，x0＋>3，命题q：∀x∈(2，＋∞)，x2>2x，则下列命题为真命题的是(　　)

A．p∧(綈q)  B．(綈p)∧q

C．p∧q  D．(綈p)∨q

解析：选A　命题p：∃x0∈(0，＋∞)，x0＋>3，当x0＝3时，3＋>3，命题为真．命题q：∀x∈(2，＋∞)，x2>2x，当x＝4时，两式相等，命题为假．则p∧(綈q)为真，故选A.

9．(2019·太原四校联考)给出下列三个命题：

p1：函数y＝ax＋x(a>0，且a≠1)在R上为增函数；

p2：∃a0，b0∈R，a－a0b0＋b＜0；

p3：cos α＝cos β成立的一个充分不必要条件是α＝2kπ＋β(k∈Z)．

则下列命题中的真命题为(　　)

A．p1∨p2  B．p2∧p3

C．p1∨(綈p3)  D．(綈p2)∧p3

解析：选D　对于p1，令f(x)＝ax＋x(a>0，且a≠1)，当a＝时，f(0)＝0＋0＝1，f(－1)＝－1－1＝1，所以p1为假命题；对于p2，因为a2－ab＋b2＝2＋b2≥0，所以p2为假命题；对于p3，因为cos α＝cos β⇔α＝2kπ±β(k∈Z)，所以p3是真命题．所以(綈p2)∧p3为真命题，故选D.

10．若命题“对∀x∈R，kx2－kx－1＜0”是真命题，则k的取值范围是________．

解析：“对∀x∈R，kx2－kx－1＜0”是真命题，当k＝0时，则有－1＜0；当k≠0时，则有k＜0且Δ＝(－k)2－4×k×(－1)＝k2＋4k＜0，解得－4＜k＜0，综上所述，实数k的取值范围是(－4,0]．

答案：(－4,0]

二、专项培优练

(一)易错专练——不丢怨枉分

1．已知命题p：所有的指数函数都是单调函数，则綈p为(　　)

A．所有的指数函数都不是单调函数

B．所有的单调函数都不是指数函数

C．存在一个指数函数，它不是单调函数

D．存在一个单调函数，它不是指数函数

解析：选C　命题p：所有的指数函数都是单调函数，则綈p：存在一个指数函数，它不是单调函数．

2．若∃x0∈，使得2x－λx0＋1＜0成立是假命题，则实数λ的取值范围是(　　)

A．(－∞，2]  B．(2，3]

C.  D．{3}

解析：选A　因为∃x0∈，使得2x－λx0＋1＜0成立是假命题，所以∀x∈，使得2x2－λx＋1≥0恒成立是真命题，即∀x∈，λ≤2x＋恒成立是真命题，令f(x)＝2x＋，则f′(x)＝2－，当x∈时，f′(x)＜0，当x∈时，f′(x)>0，所以f(x)≥f＝2，则λ≤2.

3．已知命题p：∀x∈R，不等式ax2＋2x＋1＜0的解集为空集；命题q：f(x)＝(2a－5)x在R上满足f′(x)＜0，若命题p∧(綈q)是真命题，则实数a的取值范围是________．

解析：因为∀x∈R，不等式ax2＋2x＋1＜0的解集为空集，所以当a＝0时，不满足题意；当a≠0时，必须满足解得a≥2.由f(x)＝(2a－5)x在R上满足f′(x)＜0，可得函数f(x)在R上单调递减，则0＜2a－5＜1，解得＜a＜3.若命题p∧(綈q)是真命题，则p为真命题，q为假命题，所以解得2≤a≤或a≥3，则实数a的取值范围是∪[3，＋∞)．

答案：∪[3，＋∞)

(二)素养专练——学会更学通

4．[逻辑推理]“p∨q为真”是“綈p为假”的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：选B　∵綈p为假，∴p为真，∴“p∨q为真”，反之不成立，可能q为真，p为假，綈p为真．∴“p∨q为真”是“綈p为假”的必要不充分条件．故选B.

5．[数学抽象]在射击训练中，某战士射击了两次，设命题p是“第一次射击击中目标”，命题q是“第二次射击击中目标”，则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是(　　)

A．(綈p)∨(綈q)为真命题  B．p∨(綈q)为真命题

C．(綈p)∧(綈q)为真命题  D．p∨q为真命题

解析：选A　命题p是“第一次射击击中目标”，命题q是“第二次射击击中目标”，则命题綈p是“第一次射击没击中目标”，命题綈q是“第二次射击没击中目标”，故命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是(綈p)∨(綈q)为真命题，故选A.

6．[数学运算]给定命题p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0成立；命题q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．

解：当p为真命题时，“对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0成立”⇔a＝0或∴0≤a＜4.

当q为真命题时，“关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根”⇔Δ＝1－4a≥0，∴a≤.

∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，∴p，q一真一假．

∴若p真q假，则0≤a＜4，且a>，∴＜a＜4；

若p假q真，则即a＜0.

故实数a的取值范围为(－∞，0)∪.