2020版新设计一轮复习数学（理）通用版讲义：第四讲解题的化归原则——清晰熟悉

第四讲解题的化归原则——清晰熟悉

一、清晰原则，淘尽泥沙见真金

问题是呈现给解题者的感性材料，可能是一种粗糙的、模糊的信息材料，这些材料在表达上具有非直观形象化、非数学语言化，在内容上具有隐蔽性、复杂性的特点，容易给解题者感知和思维活动造成障碍．解题者面对这些粗糙的、模糊的信息材料，需要利用自己的认知经验对信息的表现形式和内容进行转化，使信息呈现出清晰的感性材料，这种加工处理信息的原则我们称为清晰原则．信息材料通过清晰后，更适合解题者认知活动的心理需求，可以加速神经系统的传导，有利于新信息与认知结构的链接．

常见的清晰手段有：①数学语言化：将问题信息用数学语言进行表达，便于运用数学方法来解决；②数形结合：将问题的信息用数形结合的方法进行描述，使信息表述得更详尽、更直观；③形变化归：将复杂的信息进行形变化归，使复杂信息的内涵得到彻底挖掘和展示．

[例1]　调查某个高中毕业班学生的升学报考志愿情况，得到如下结果：

(1)报考A大学的学生不报考B大学；

(2)报考B大学的学生也报考D大学；

(3)报考C大学的学生不报考D大学；

(4)不报考C大学的学生报考B大学．

根据上述结果，某人得出下述结论：

①报考D大学的学生也报考A大学．

②没有既报考B大学又报考C大学的学生．

③有既报考C大学又报考D大学的学生．

④报考B大学的学生数和报考D大学的学生数相同．

⑤报考A大学的学生也报考C大学．

这些结论中正确的是(　　)

A．①②③　　　　　　 B．②④⑤

C．①②④  D．③④⑤

[解析]　此题信息繁多，让人感到有点云里雾里，虽然每项信息的含义简单明白，毫不隐蔽，人人都会用逻辑推理的方法去探求解答方案，但推理过程容易混乱且不便于表述，对问题产生排斥心理．对此，我们先将各项信息进行数学语言易化处理，使问题的信息清晰直白，以观其变．

用x表示高中毕业班学生，“∈”表示报考，“∉”表示不报考．此时调查结果可以改写为：

(1)x∈A⇒x∉B，再由原命题与逆否命题等价可知x∈B⇒x∉A.

(2)x∈B⇒x∈D等价转化为x∉D⇒x∉B.

(3)x∈C⇒x∉D等价转化为x∈D⇒x∉C.

(4)x∉C⇒x∈B等价转化为x∉B⇒x∈C.

这样处理后，问题的各项信息已经简洁明了．我们对问题新信息感到亲切、熟悉．

下面对5条结论信息也进行数学语言化处理，再结合条件信息进行推理：

考查①：x∈D⇒x∉C⇒x∈B⇒x∉A，则①不正确．

考查②：x∈B⇒x∈D⇒x∉C，则②正确．

考查③：x∈C⇒x∉D，则③不正确．

考查④：x∈B⇒x∈D，x∈D⇒x∉C⇒x∈B，则④正确．

考查⑤：x∈A⇒x∉B⇒x∈C，则⑤正确．

所以，答案B正确．

[答案]　B

[反思领悟]　从此题的解答过程可以看出，对信息的数学语言化处理，使信息清晰明了，是成功解答此题的关键．

[例2]　设0＜b＜1＋a，若关于x的不等式(x－b)2>(ax)2的解集中恰有3个整数，求a的取值范围．

[解]　此题中的(x－b)2>(ax)2是一个熟悉的二次不等式，但这个不等式的解集中恰有3个整数的条件是什么含义？我们首先对这一信息进行清晰化——形变化归．

因为(x－b)2>(ax)2，所以[(a－1)x＋b]＜0.

①当a≤1时，不等式的解集中有无穷多个整数，不合题意．

②当a>1时，不等式的解为＜x＜.

因为0＜b＜1＋a，所以0＜＜1.

要使解集中恰有3个整数，则－3≤＜－2⇒3(a－1)≥b>2(a－1)．

通过信息清晰后，问题转化为

已知求a的取值范围．

如图，作出不等式组表示的可行域，容易得到1＜a＜3.

综上，a的取值范围为(1,3)．

[反思领悟]　此题本是一个二次不等式问题，很多学生都考虑用不等式放缩法进行解答，又担心扩大了a的范围，即使得到1＜a＜3，也不敢坚信一定正确．我们对“(x－b)2>(ax)2的解集中恰有3个整数”这一信息进行清晰，得到新信息“a>1且3(a－1)≥b>2(a－1)”，不仅顺利地将原问题转化为线性规划问题，而且还可以坚信答案是正确的．

二、熟悉原则，寻找曾经走过的路

在加工处理信息的过程中，利用我们的认知经验对问题信息的表述形式或内容进行处理，转化为我们认知结构中熟悉的信息材料，这种处理信息的原则就是熟悉原则．

熟悉原则可分为两种：第一种是熟悉知识原则，就是把不熟悉的知识和问题转化为教材上或大家熟知的知识和问题．第二种是熟悉经验原则，就是把不熟悉的知识和问题转化为解题者曾经解答过的问题．

[例3]　设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2，若对任意x∈[a，a＋2]，不等式f(x＋a)≥f(x＋1)恒成立，求实数a的取值范围．

[解]　由于f(x)是定义在R上的函数，现在只知道x≥0时的函数表达式．首先对问题信息进行清晰，利用奇函数求出x＜0时的函数表达式，进一步得到f(x)在R上的函数表达式f(x)＝

利用数形结合再对函数进行信息清晰，可以发现f(x)在R上单调递增，如图所示．

我们知道当f(x)在R上单调递增，f(m)≥f(n)的充分必要条件是m≥n.现在问题信息f(x＋a)≥f(x＋1)与认知经验f(m)≥f(n)在形式上存在差异，如果能把去掉，将不等式f(x＋a)≥f(x＋1)化为f(m)≥f(n)的形式，问题有可能得到解决，这是熟悉经验原则．

观察f(x)表达式的结构，容易发现f(x)＝f，于是原问题可以转化为：已知f(x)在R上单调递增，对任意x∈[a，a＋2]，不等式f(x＋a)≥f恒成立，求实数a的取值范围．

于是可得对任意x∈[a，a＋2]，

不等式x＋a≥恒成立．

即对x∈[a，a＋2]，不等式x≥1－2a恒成立．

所以a≥1－2a，所以a≥.

即实数a的取值范围为.

[反思领悟]　上述解答最关键的一步是熟悉经验的运用，将f(x＋a)≥f(x＋1)化为f(x＋a)≥f，进一步化为“对x∈[a，a＋2]，不等式x≥1－2a恒成立”，使问题化难为易，化陌生为熟悉，就可以顺利地用熟悉性知识解答．

[例4]　在平面直角坐标系中，点集M＝，点P是点集M内的点，设A(－2，1)，B(8，－9)，则|PA|2＋|PB|2的最小值为________．

[解析]　由于问题中点集M的元素是坐标形式，而结论信息不是坐标形式，我们将结论信息用坐标表示，这样，条件和结论信息的表达形式保持一致，这就是熟悉知识原则的应用．

令P(x，y)，可得|PA|2＋|PB|2＝2x2＋2y2＋16y－12x＋150.①

式①类似我们熟悉的圆方程的左边，运用熟悉知识原则，可以将上述式子进行配方，可得|PA|2＋|PB|2＝22＋100.②

观察式②的结构，用熟悉知识原则，表示点P到N(3，－4)的距离．所以，问题可以转化为求|PN|的最小值．再用熟悉经验原则，要求|PN|的最小值，只需求出点集M表示的几何图形，然后利用数形结合就可以顺利解答．

又用熟悉经验原则，要求点集M表示的几何图形，只需消去参数即可．

于是：x2＋y2＝169＋120sin(α＋β)⇒49≤x2＋y2≤289.

所以，点集M表示的几何图形是以O为圆心，半径由7变到17的一个圆环，如图所示．

因为|PN|min＝7－＝2，

所以|PA|2＋|PB|2＝2|PN|2＋100≥108.

所以|PA|2＋|PB|2的最小值为108.

[答案]　108