2020年高考数学理科一轮复习讲义：第12章选修4系列第2讲

第2讲　参数方程

1．曲线的参数方程

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数，并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．

2．常见曲线的参数方程和普通方程

提醒：直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离．

1．概念辨析

(1)直线(t为参数)的倾斜角α为30°.(　　)

(2)过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段的数量．(　　)

(3)方程表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．(　　)

(4)已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为.(　　)

答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×

2．小题热身

(1)若直线的参数方程为(t为参数)，则直线的斜率为________．

答案　－

解析　因为所以3x＋2y＝7，此直线的斜率为－.

(2)椭圆(θ为参数)的离心率为________．

答案　

解析　将消去参数θ，得椭圆＋＝1.

所以a2＝25，b2＝9，c2＝a2－b2＝16，所以a＝5，b＝3，c＝4，所以离心率e＝＝.

(3)曲线C的参数方程为(θ为参数)，则曲线C的普通方程为________．

答案　y＝2－2x2(－1≤x≤1)

解析　由(θ为参数)消去参数θ，得y＝2－2x2(－1≤x≤1)．

题型 　参数方程与普通方程的互化

1．求直线(t为参数)与曲线(α为参数)的交点个数．

解　将消去参数t得直线x＋y－1＝0；

将消去参数α，得圆x2＋y2＝9.

又圆心(0,0)到直线x＋y－1＝0的距离d＝<3.

因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点．

2．如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x2＋y2－x＝0的参数方程．

解　如图，圆的半径为，

记圆心为C，连接CP，

则∠PCx＝2θ，

故xP＝＋cos2θ＝cos2θ，

yP＝sin2θ＝sinθcosθ(θ为参数)．

所以圆的参数方程为(θ为参数)．

条件探究　把举例说明1中“曲线(α为参数)”改为“”其他条件不变，求两条曲线交点的坐标．

解　由(sinθ＋cosθ)2＝1＋sin2θ＝2－(1－sin2θ)，得

y2＝2－x.

又因为x＝1－sin2θ∈[0,2]，

所以所求普通方程为y2＝2－x，x∈[0,2]．

解方程组得或

又因为x∈[0,2]，所以交点坐标为.

1．参数方程化为普通方程

基本思路是消去参数，常用的消参方法有：①代入消元法；②加减消元法；③恒等式(三角的或代数的)消元法；④平方后再加减消元法等．其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程组的技巧，三角恒等式消元法常利用公式sin2θ＋cos2θ＝1等．

2．普通方程化为参数方程

(1)选择参数的一般原则

曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单；当参数取某一值时，可以唯一确定x，y的值．

(2)解题的一般步骤

第一步，引入参数，但要选定合适的参数t；

第二步，确定参数t与变量x或y的一个关系式x＝f(t)(或y＝φ(t))；

第三步，把确定的参数与一个变量的关系式代入普通方程F(x，y)＝0，求得另一关系y＝g(t)(或x＝φ(t))，问题得解．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

在平面直角坐标系xOy中，直线l：(t为参数)，与曲线C：(k为参数)交于A，B两点，求线段AB的长．

解　将直线l的参数方程化为普通方程，得4x－3y＝4，将曲线C的参数方程化为普通方程，得y2＝4x，联立方程解得或

所以A(4,4)，B或A，B(4,4)．

所以AB＝＝.

题型 　参数方程的应用

角度1　利用参数方程解最值问题

1．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(θ∈[0,2π])，曲线C2的参数方程为(t为参数)．

(1)求曲线C1，C2的普通方程；

(2)求曲线C1上一点P到曲线C2的距离的最大值．

解　(1)由题意知，曲线C1的普通方程为x2＋＝1，

曲线C2的普通方程为x＋y＋2＝0.

(2)设点P的坐标为(cosα，3sinα)，则点P到直线C2的距离

d＝

＝，

所以当sin＝1，即α＝时，dmax＝2，

即点P到曲线C2的距离的最大值为2.

角度2　参数几何意义的应用

2．(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．

(1)求C和l的直角坐标方程；

(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．

解　(1)曲线C的直角坐标方程为＋＝1.

当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y＝tanα·x＋2－tanα，当cosα＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.

(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0.①

因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.

又由①得t1＋t2＝－，

故2cosα＋sinα＝0，于是直线l的斜率k＝tanα＝－2.

1．设直线l的参数方程为(t为参数)，直线的参数方程在交点问题中的应用

(1)若M1，M2是直线l上的两个点，对应的参数分别为t1，t2，则||||＝|t1t2|，||＝|t2－t1|＝.

(2)若线段M1M2的中点为M3，点M1，M2，M3对应的参数分别为t1，t2，t3，则t3＝.

(3)若直线l上的线段M1M2的中点为M0(x0，y0)，则t1＋t2＝0，t1t2<0.

2．圆和圆锥曲线参数方程的应用

有关圆或圆锥曲线上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用它们的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解．

提醒：对于形如(t为参数)，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2，在以极点为直角坐标系的原点O，极轴为x轴的正半轴建立的平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．

(1)写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

(2)已知曲线W：(α为参数)，若M为曲线W上任意一点，求点M到直线l的最小距离．

解　(1)由(t为参数)消去参数t，得y＝x＋3.

即直线l的普通方程为x－y＋3＝0.

因为ρ2＝x2＋y2，

所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝4.

(2)由已知可设M(cosα，2sinα)(α为参数)，

则点M到直线l的距离

d＝＝(其中tanβ＝2)，

所以点M到直线l的距离的最小值为＝.

2．(2018·河北“五个一名校联盟”二模)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点P(a,1)，其参数方程为(t为参数，a∈R)．以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cosθ－ρ＝0.

(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；

(2)已知曲线C1与曲线C2交于A，B两点，且|AB|＝8，求实数a的值．

解　(1)∵曲线C1的参数方程为(t为参数，a∈R)，

∴曲线C1的普通方程为x－y－a＋1＝0.

∵曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cosθ－ρ＝0，

∴ρ2cos2θ＋4ρcosθ－ρ2＝0，∴x2＋4x－x2－y2＝0，

即曲线C2的直角坐标方程为y2＝4x.

(2)设A，B两点所对应的参数分别为t1，t2，

由得t2－2t＋2－8a＝0.

Δ＝(－2)2－4(2－8a)>0，即a>0，

∴根据参数方程中参数的几何意义可知

|AB|＝|t1－t2|＝＝＝＝8，∴a＝2.

题型 　极坐标方程和参数方程的综合应用

(2019·贵州联考)已知在一个极坐标系中，点C的极坐标为.

(1)求出以C为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)；

(2)在直角坐标系中，以圆C所在极坐标系的极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，点P是圆C上任意一点，Q(5，－)，M是线段PQ的中点，当点P在圆C上运动时，求点M的轨迹的普通方程．

解　(1)如图，设圆C上任意一点

A(ρ，θ)，则∠AOC＝θ－或－θ.

由余弦定理得，

4＋ρ2－4ρcos＝4，

所以圆C的极坐标方程为ρ＝4cos.

(2)在直角坐标系中，点C的坐标为(1，)，可设圆C上任意一点P(1＋2cosα，＋2sinα)，又令M(x，y)，由Q(5，－)，M是线段PQ的中点，得点M的轨迹的参数方程为(α为参数)，即

(α为参数)，

∴点M的轨迹的普通方程为(x－3)2＋y2＝1.

极坐标方程与参数方程综合问题的解题策略

(1)求交点坐标、距离、线段长．可先求出直角坐标方程，然后求解．

(2)判断位置关系．先转化为平面直角坐标方程，然后再作出判断．

(3)求参数方程与极坐标方程综合的问题．一般是先将方程化为直角坐标方程，利用直角坐标方程来研究问题．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.

(1)写出C的普通方程；

(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ＋sinθ)－＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．

解　(1)消去参数t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；

消去参数m得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)．

设P(x，y)，由题设得

消去k得x2－y2＝4(y≠0)，

所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．

(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)，联立得

cosθ－sinθ＝2(cosθ＋sinθ)．

故tanθ＝－，从而cos2θ＝，sin2θ＝.

代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5，

所以交点M的极径为.