2020年高考数学理科一轮复习讲义：第12章选修4系列第2讲

第2讲　参数方程[考纲解读]　了解参数方程及参数的意义，掌握直线、圆及椭圆的参数方程，并能利用参数方程解决问题．(重点、难点)[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个必考点.  预测2020年将会考查：参数方程与普通方程的互化及直线与椭圆参数方程的应用. 1．曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数，并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．2．常见曲线的参数方程和普通方程提醒：直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离．1．概念辨析(1)直线(t为参数)的倾斜角α为30°.(　　)(2)过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段的数量．(　　)(3)方程表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．(　　)(4)已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为.(　　)答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．小题热身(1)若直线的参数方程为(t为参数)，则直线的斜率为________．答案　－解析　因为所以3x＋2y＝7，此直线的斜率为－.(2)椭圆(θ为参数)的离心率为________．答案　解析　将消去参数θ，得椭圆＋＝1.所以a2＝25，b2＝9，c2＝a2－b2＝16，所以a＝5，b＝3，c＝4，所以离心率e＝＝.(3)曲线C的参数方程为(θ为参数)，则曲线C的普通方程为________．答案　y＝2－2x2(－1≤x≤1)解析　由(θ为参数)消去参数θ，得y＝2－2x2(－1≤x≤1)． 题型 　参数方程与普通方程的互化1．求直线(t为参数)与曲线(α为参数)的交点个数．解　将消去参数t得直线x＋y－1＝0；将消去参数α，得圆x2＋y2＝9.又圆心(0,0)到直线x＋y－1＝0的距离d＝<3.因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点．2．如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x2＋y2－x＝0的参数方程．解　如图，圆的半径为，记圆心为C，连接CP，则∠PCx＝2θ，故xP＝＋cos2θ＝cos2θ，yP＝sin2θ＝sinθcosθ(θ为参数)．所以圆的参数方程为(θ为参数)．条件探究　把举例说明1中“曲线(α为参数)”改为“”其他条件不变，求两条曲线交点的坐标．解　由(sinθ＋cosθ)2＝1＋sin2θ＝2－(1－sin2θ)，得y2＝2－x.又因为x＝1－sin2θ∈[0,2]，所以所求普通方程为y2＝2－x，x∈[0,2]．解方程组得或又因为x∈[0,2]，所以交点坐标为.1．参数方程化为普通方程基本思路是消去参数，常用的消参方法有：①代入消元法；②加减消元法；③恒等式(三角的或代数的)消元法；④平方后再加减消元法等．其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程组的技巧，三角恒等式消元法常利用公式sin2θ＋cos2θ＝1等．2．普通方程化为参数方程(1)选择参数的一般原则曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单；当参数取某一值时，可以唯一确定x，y的值．(2)解题的一般步骤第一步，引入参数，但要选定合适的参数t；第二步，确定参数t与变量x或y的一个关系式x＝f(t)(或y＝φ(t))；第三步，把确定的参数与一个变量的关系式代入普通方程F(x，y)＝0，求得另一关系y＝g(t)(或x＝φ(t))，问题得解．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　在平面直角坐标系xOy中，直线l：(t为参数)，与曲线C：(k为参数)交于A，B两点，求线段AB的长．解　将直线l的参数方程化为普通方程，得4x－3y＝4，将曲线C的参数方程化为普通方程，得y2＝4x，联立方程解得或所以A(4,4)，B或A，B(4,4)．所以AB＝＝.题型 　参数方程的应用角度1　利用参数方程解最值问题1．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(θ∈[0,2π])，曲线C2的参数方程为(t为参数)．(1)求曲线C1，C2的普通方程；(2)求曲线C1上一点P到曲线C2的距离的最大值．解　(1)由题意知，曲线C1的普通方程为x2＋＝1，曲线C2的普通方程为x＋y＋2＝0.(2)设点P的坐标为(cosα，3sinα)，则点P到直线C2的距离d＝＝，所以当sin＝1，即α＝时，dmax＝2，即点P到曲线C2的距离的最大值为2.角度2　参数几何意义的应用2．(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．解　(1)曲线C的直角坐标方程为＋＝1.当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y＝tanα·x＋2－tanα，当cosα＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0.①因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.又由①得t1＋t2＝－，故2cosα＋sinα＝0，于是直线l的斜率k＝tanα＝－2.1．设直线l的参数方程为(t为参数)，直线的参数方程在交点问题中的应用(1)若M1，M2是直线l上的两个点，对应的参数分别为t1，t2，则||||＝|t1t2|，||＝|t2－t1|＝.(2)若线段M1M2的中点为M3，点M1，M2，M3对应的参数分别为t1，t2，t3，则t3＝.(3)若直线l上的线段M1M2的中点为M0(x0，y0)，则t1＋t2＝0，t1t2<0.2．圆和圆锥曲线参数方程的应用有关圆或圆锥曲线上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用它们的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解．提醒：对于形如(t为参数)，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2，在以极点为直角坐标系的原点O，极轴为x轴的正半轴建立的平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．(1)写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；(2)已知曲线W：(α为参数)，若M为曲线W上任意一点，求点M到直线l的最小距离．解　(1)由(t为参数)消去参数t，得y＝x＋3.即直线l的普通方程为x－y＋3＝0.因为ρ2＝x2＋y2，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝4.(2)由已知可设M(cosα，2sinα)(α为参数)，则点M到直线l的距离d＝＝(其中tanβ＝2)，所以点M到直线l的距离的最小值为＝.2．(2018·河北“五个一名校联盟”二模)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点P(a,1)，其参数方程为(t为参数，a∈R)．以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cosθ－ρ＝0.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)已知曲线C1与曲线C2交于A，B两点，且|AB|＝8，求实数a的值．解　(1)∵曲线C1的参数方程为(t为参数，a∈R)，∴曲线C1的普通方程为x－y－a＋1＝0.∵曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cosθ－ρ＝0，∴ρ2cos2θ＋4ρcosθ－ρ2＝0，∴x2＋4x－x2－y2＝0，即曲线C2的直角坐标方程为y2＝4x.(2)设A，B两点所对应的参数分别为t1，t2，由得t2－2t＋2－8a＝0.Δ＝(－2)2－4(2－8a)>0，即a>0，∴根据参数方程中参数的几何意义可知|AB|＝|t1－t2|＝＝＝＝8，∴a＝2.题型 　极坐标方程和参数方程的综合应用(2019·贵州联考)已知在一个极坐标系中，点C的极坐标为.(1)求出以C为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)；(2)在直角坐标系中，以圆C所在极坐标系的极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，点P是圆C上任意一点，Q(5，－)，M是线段PQ的中点，当点P在圆C上运动时，求点M的轨迹的普通方程．解　(1)如图，设圆C上任意一点A(ρ，θ)，则∠AOC＝θ－或－θ.由余弦定理得，4＋ρ2－4ρcos＝4，所以圆C的极坐标方程为ρ＝4cos.(2)在直角坐标系中，点C的坐标为(1，)，可设圆C上任意一点P(1＋2cosα，＋2sinα)，又令M(x，y)，由Q(5，－)，M是线段PQ的中点，得点M的轨迹的参数方程为(α为参数)，即(α为参数)，∴点M的轨迹的普通方程为(x－3)2＋y2＝1.极坐标方程与参数方程综合问题的解题策略(1)求交点坐标、距离、线段长．可先求出直角坐标方程，然后求解．(2)判断位置关系．先转化为平面直角坐标方程，然后再作出判断．(3)求参数方程与极坐标方程综合的问题．一般是先将方程化为直角坐标方程，利用直角坐标方程来研究问题．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ＋sinθ)－＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．解　(1)消去参数t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；消去参数m得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)．设P(x，y)，由题设得消去k得x2－y2＝4(y≠0)，所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)，联立得cosθ－sinθ＝2(cosθ＋sinθ)．故tanθ＝－，从而cos2θ＝，sin2θ＝.代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M的极径为.