2020年高考数学理科一轮复习讲义：第12章选修4系列第1讲

第1讲　坐标系

1．伸缩变换

设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．

2．极坐标

一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．

3．极坐标与直角坐标的互化

设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：

1．概念辨析

(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．(　　)

(2)点P的直角坐标为(－，)，那么它的极坐标可表示为.(　　)

(3)过极点作倾斜角为α的直线的极坐标方程可表示为θ＝α或θ＝π＋α.(　　)

(4)圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点O的圆的极坐标方程为ρ＝2asinθ.(　　)

答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×

2．小题热身

(1)设平面内伸缩变换的坐标表达式为则在这一坐标变换下正弦曲线y＝sinx的方程变为(　　)

A．y＝sin2x   B．y＝3sinx

C．y＝sin   D．y＝3sin2x

答案　D

解析　由已知得代入y＝sinx，得y′＝sin2x′，即y′＝3sin2x′，所以y＝sinx的方程变为y＝3sin2x.

(2)在极坐标系中A，B两点间的距离为________．

答案　6

解析　解法一：(数形结合)在极坐标系中，A，B两点如图所示，

|AB|＝|OA|＋|OB|＝6.

解法二：∵A，B的直角坐标为A(1，－)，

B(－2,2)，∴|AB|＝＝6.

(3)曲线C1：θ＝与曲线C2：ρsin＝的交点坐标为________．

答案　

解析　将θ＝代入ρsin＝，得ρsin＝，所以ρ＝1，所以曲线C1与曲线C2的交点坐标为.

(4)已知直线l的极坐标方程为2ρsin＝，点A的极坐标为A，则点A到直线l的距离为________．

答案　

解析　由2ρsin＝得2ρ＝，ρsinθ－ρcosθ＝1，化为直角坐标方程得y－x＝1即x－y＋1＝0，点A的直角坐标为，即(2，－2)，所以点A到直线l的距离为＝.

题型 　平面直角坐标系中的伸缩变换

在同一平面直角坐标系中，求一个伸缩变换，使得圆x2＋y2＝1变换为椭圆＋＝1.

解　设伸缩变换为由题知＋＝1，即2x2＋2y2＝1.与x2＋y2＝1比较系数，得故所以伸缩变换为

即先使圆x2＋y2＝1上的点的纵坐标不变，将圆上的点的横坐标伸长到原来的3倍，得到椭圆＋y2＝1，再将该椭圆上点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到椭圆＋＝1.

伸缩变换后方程的求法

平面上的曲线y＝f(x)在变换φ：的作用下的变换方程的求法是将代入y＝f(x)，得＝f，整理之后得到y′＝h(x′)，即为所求变换之后的方程．见举例说明．

提醒：应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标(x，y)与变换后的坐标(x′，y′).

若函数y＝f(x)的图象在伸缩变换φ：的作用下得到曲线的方程为y′＝3sin，求函数y＝f(x)的最小正周期．

解　由题意，把变换公式代入曲线y′＝3sin得3y＝3sin，整理得y＝sin，故f(x)＝sin.所以y＝f(x)的最小正周期为＝π.

题型 　极坐标与直角坐标的互化

(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcosθ－3＝0.

(1)求C2的直角坐标方程；

(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．

解　(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.

(2)由(1)知C2是圆心为A(－1,0)，半径为2的圆．

由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线，曲线C1的方程为y＝记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．

当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝－或k＝0.

经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝－时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．

当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝0或k＝.

经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝时，l2与C2没有公共点.

综上，所求C1的方程为y＝－|x|＋2.

条件探究　把举列说明中曲线C1的极坐标方程改为“θ＝α(0≤α≤2π)”，曲线C2的极坐标方程改为“ρ2－2ρcosθ－2ρsinθ＋3＝0”，若C1与C2有且仅有两个公共点，求α的取值范围．

解　由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y＋3＝0，

即(x－1)2＋(y－)2＝1，

由题意知α≠，

可设曲线C1的直角坐标方程为y＝kx，k＝tanα，

当曲线C1与曲线C2相切时，＝1，

解得k＝，即tanα＝，

又0≤α≤2π，所以α＝.

结合图形可知，若C1与C2有且仅有两个公共点，则

α∈.

1．极坐标方程与直角坐标方程的互化

(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入直角坐标方程并化简即可．

(2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，再应用公式进行代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧．

2．极角的确定

由tanθ确定角θ时，应根据点P所在象限取最小正角．

(1)当x≠0时，θ角才能由tanθ＝按上述方法确定．

(2)当x＝0时，tanθ没有意义，这时可分三种情况处理：当x＝0，y＝0时，θ可取任何值；当x＝0，y>0时，可取θ＝；当x＝0，y<0时，可取θ＝.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2ρcos＝2.

(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．

解　(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以圆O1的直角坐标方程为x2＋y2＝4.因为ρ2－2ρcos＝2，

所以ρ2－2ρ＝2，

所以圆O2的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y－2＝0.

(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1，化为极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝1，即ρsin＝.

题型 　极坐标方程的应用

角度1　极径几何意义的应用

1．(2018·日照一模)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．

(1)求曲线C的极坐标方程；

(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|的值．

解　(1)将方程消去参数α得x2＋y2－4x－12＝0，

∴曲线C的普通方程为x2＋y2－4x－12＝0，将x2＋y2＝ρ2，x＝ρcosθ代入上式可得ρ2－4ρcosθ＝12，

∴曲线C的极坐标方程为ρ2－4ρcosθ＝12.

(2)设A，B两点的极坐标方程分别为，，由消去θ得ρ2－2ρ－12＝0，根据题意可得ρ1，ρ2是方程ρ2－2ρ－12＝0的两根，∴ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝－12，

∴|AB|＝|ρ1－ρ2|＝＝2.

角度2　用极坐标解最值和取值范围问题

2．(2018·南平二模)在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的方程为＋y2＝1.曲线C2的参数方程为

(φ为参数)，曲线C3的方程为y＝xtanα，曲线C3与曲线C1，C2分别交于P，Q两点．

(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；

(2)求|OP|2·|OQ|2的取值范围．

解　(1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以曲线C1的极坐标方程为＋ρ2sin2θ＝1，即ρ2＝，

由(φ为参数)，消去φ，

即得曲线C2的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1；

将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，代入化简，

可得曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.

(2)曲线C3的极坐标方程为θ＝α，

由(1)得|OP|2＝；|OQ|2＝4sin2α，

即|OP|2·|OQ|2＝＝，

因为0<α<，所以0<sinα<1，

所以|OP|2·|OQ|2∈(0,4)．

极坐标方程及其应用的类型及解题策略

(1)求极坐标方程．可在平面直角坐标系中，求出曲线的方程，然后再转化为极坐标方程．

(2)求点到直线的距离．先将极坐标系下点的坐标、直线方程转化为平面直角坐标系下点的坐标、直线方程，然后利用直角坐标系中点到直线的距离公式求解．

(3)求线段的长度．先将极坐标系下的点的坐标、曲线方程转化为平面直角坐标系下的点的坐标、曲线方程，然后再求线段的长度．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．(2018·南宁模拟)已知曲线C1的参数方程为(θ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sin，直线l的直角坐标方程为y＝x.

(1)求曲线C1和直线l的极坐标方程；

(2)已知直线l分别与曲线C1，曲线C2相交于异于极点的A，B两点，若A，B的极径分别为ρ1，ρ2，求|ρ2－ρ1|的值．

解　(1)曲线C1的参数方程为(θ为参数)，其普通方程为x2＋(y－1)2＝1，

极坐标方程为ρ＝2sinθ.

因为直线l的直角坐标方程为y＝x，

故直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．

(2)曲线C1的极坐标方程为ρ＝2sinθ，

直线l的极坐标方程为θ＝，

将θ＝代入C1的极坐标方程得ρ1＝1，

将θ＝代入C2的极坐标方程得ρ2＝4，

∴|ρ2－ρ1|＝3.

2．(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝4.

(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；

(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．

解　(1)设点P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，点M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．

由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.

由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为

ρ＝4cosθ(ρ>0)．

因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．

(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)．

由题设知|OA|＝2，ρB＝4cosα，于是△OAB的面积

S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cosα·

＝2≤2＋.

当α＝－时，S取得最大值2＋.

所以△OAB面积的最大值为2＋.