2020年高考数学理科一轮复习讲义：第5章数列第2讲

第2讲　等差数列及其前n项和

1．等差数列的有关概念

(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．数学语言表示为an＋1－an＝d(n∈N*)，d为常数．

(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差中项．

2．等差数列的通项公式与前n项和公式

(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d，可推广为an＝am＋(n－m)d.

(2)等差数列的前n项和公式Sn＝＝na1＋d.

3．等差数列的相关性质

已知{an}为等差数列，d为公差，Sn为该数列的前n项和．

(1)有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和都相等，即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…＝ak＋an－k＋1＝….

(2)等差数列{an}中，当m＋n＝p＋q时，am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．

特别地，若m＋n＝2p，则2ap＝am＋an(m，n，p∈N*)．

(3)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为md(k，m∈N*)．

(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为n2d.

(5)也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}的公差的.

4．等差数列与函数的关系

(1)等差数列与一次函数的关系

an＝a1＋(n－1)d可化为an＝dn＋a1－d的形式．当d≠0时，an是关于n的一次函数；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列．

(2)等差数列前n项和公式可变形为Sn＝n2＋n.当d≠0时，它是关于n的二次函数，数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．

5．等差数列的前n项和的最值

在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．

1．概念辨析

(1)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列．(　　)

(2)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．(　　)

(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．(　　)

(4)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　)

答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√

2．小题热身

(1)(2018·日照模拟)由公差为d的等差数列a1，a2，a3，…组成的新数列a1＋a4，a2＋a5，a3＋a6，…是(　　)

A．公差为d的等差数列

B．公差为2d的等差数列

C．公差为3d的等差数列

D．非等差数列

答案　B

解析　由题意得，新数列{an＋an＋3}是公差为2d的等差数列，理由：(an＋1＋an＋4)－(an＋an＋3)＝(an＋1－an)＋(an＋4－an＋3)＝d＋d＝2d.

(2)在等差数列{an}中，已知a2＝2，前7项和S7＝56，则公差d＝(　　)

A．2  B．3  C．－2  D．－3

答案　B

解析　由题意可得即

解得

(3)(2018·北京高考)设{an}是等差数列，且a1＝3，a2＋a5＝36，则{an}的通项公式为________．

答案　an＝6n－3(n∈N*)

解析　由已知，设{an}的公差为d，则a2＋a5＝a1＋d＋a1＋4d＝2a1＋5d＝36，

又a1＝3，所以d＝6，所以{an}的通项公式为

an＝3＋6(n－1)＝6n－3(n∈N*)．

(4)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________.

答案　180

解析　由等差数列的性质可得

a3＋a7＝a4＋a6＝2a5，

又因为a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，

所以5a5＝450，a5＝90，所以a2＋a8＝2a5＝180.

题型 　等差数列基本量的运算

1．(2018·全国卷Ⅰ)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝(　　)

A．－12  B．－10  C．10  D．12

答案　B

解析　设该等差数列的公差为d，根据题中的条件可得3×＝2×2＋d＋4×2＋·d，整理解得d＝－3，所以a5＝a1＋4d＝2－12＝－10，故选B.

2．(2018·碑林区期末)设{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项a1＝________.

答案　2

解析　由题可知3a2＝12，①

(a2－d)a2(a2＋d)＝48，②

将①代入②得(4－d)(4＋d)＝12，

解得d＝2或d＝－2(舍)，

∴a1＝a2－d＝4－2＝2.

3．(2016·全国卷Ⅱ)Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28.记bn＝[lg an]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.

(1)求b1，b11，b101；

(2)求数列{bn}的前1000项和．

解　(1)设{an}的公差为d，据题意有7＋21d＝28，解得d＝1.

所以{an}的通项公式为an＝n.

b1＝[lg 1]＝0，b11＝[lg 11]＝1，b101＝[lg 101]＝2.

(2)因为bn＝

所以数列{bn}的前1000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1893.

1．等差数列基本运算的解题策略

(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想．

(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．如举例说明1.

2．等差数列设项技巧

若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设中间三项为a－d，a，a＋d；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设中间两项为a－d，a＋d，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元(注意此时数列的公差为2d)．见举例说明2.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　)

A．1  B．2  C．4  D．8

答案　C

解析　设{an}的公差为d，则

由得

解得d＝4.故选C.

2．在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且5a3·a1＝(2a2＋2)2.

(1)求d，an；

(2)若d<0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.

解　(1)由题意得5a3·a1＝(2a2＋2)2，即d2－3d－4＝0，故d＝－1或d＝4，所以an＝－n＋11，n∈N*或an＝4n＋6，n∈N*.

(2)设数列{an}的前n项和为Sn，因为d<0，

由(1)得d＝－1，an＝－n＋11，

则当n≤11时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝Sn＝－n2＋n，

当n≥12时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－Sn＋2S11＝n2－n＋110.

综上所述，

|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝

题型 　等差数列的判断与证明

已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝(n∈N*)．

(1)求证：数列{bn}是等差数列；

(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．

解　(1)证明：因为an＝2－(n≥2，n∈N*)，bn＝(n∈N*)，

所以bn＋1－bn＝－＝－＝－＝1.

又b1＝＝－.

所以数列{bn}是以－为首项，1为公差的等差数列．

(2)由(1)知bn＝n－，则an＝1＋＝1＋.

设f(x)＝1＋，

则f(x)在区间和上为减函数．

所以当n＝3时，an取得最小值－1，

当n＝4时，an取得最大值3.

条件探究1　举例说明中，若将条件变为“a1＝，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)”，试求数列{an}的通项公式．

解　由已知可得＝＋1，

即－＝1，又a1＝，

∴是以＝为首项，1为公差的等差数列，

∴＝＋(n－1)×1＝n－，∴an＝n2－n.

条件探究2　把举例说明条件改为“a1＝2，a2＝1，且＝”，求数列{an}的通项公式．

解　因为＝，

1－＝－1，

an＝2，

an＝，

所以＝＋，即＝＋.

所以为等差数列．

其首项＝，公差d＝－＝.

所以＝＋(n－1)·＝，

所以an＝.

判定数列{an}是等差数列的常用方法

(1)定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一个常数．见举例说明．

(2)等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1.

(3)通项公式法：数列的通项公式an是n的一次函数．

(4)前n项和公式法：数列的前n项和公式Sn是n的二次函数，且常数项为0.

提醒：判断是否为等差数列，最终一般都要转化为定义法判断．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．正项数列{an}满足a1＝1，a2＝2,2a＝a＋a(n∈N*，n≥2)，则a7＝________.

答案　

解析　由2a＝a＋a(n∈N*，n≥2)，得数列{a}是等差数列，公差d＝a－a＝3，首项a＝1，所以a＝1＋3(n－1)＝3n－2，

∴an＝，∴a7＝.

2．已知数列{an}满足a1＝－，an＋1＝(n∈N*)．

(1)证明：数列是等差数列；

(2)求{an}的通项公式．

解　(1)证明：因为＝＝＝3＋，

所以－＝3.

所以数列是首项为3，公差为3的等差数列．

(2)由(1)知＝3n.所以an＝－1.

题型 　等差数列的性质及前n项和的最值

角度1　等差数列的性质的应用

1．(1)在等差数列{an}中，已知a4，a7是函数f(x)＝x2－4x＋3的两个零点，则{an}的前10项和等于(　　)

A．－18  B．9  C．18  D．20

(2)(2019·金版原创)已知函数f(x)＝cosx，x∈(0,2π)有两个不同的零点x1，x2，且方程f(x)＝m有两个不同的实根x3，x4，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m＝________.

答案　(1)D　(2)－

解析　(1)因为a4，a7是函数f(x)＝x2－4x＋3的两个零点，

由韦达定理可知，a4＋a7＝4，

S10＝×10＝×10＝20，故选D.

(2)若m>0，则公差d＝－＝π，显然不成立，所以m<0，则公差d＝＝.

所以m＝cos＝－.

角度2　等差数列前n项和的性质的应用

2．等差数列{an}中，前m项的和为30，前2m项的和为100，试求前3m项的和．

解　记数列{an}的前n项和为Sn，由等差数列前n项和的性质知Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，则2(S2m－Sm)＝Sm＋(S3m－S2m)，又Sm＝30，S2m＝100，所以S2m－Sm＝100－30＝70，所以S3m－S2m＝2(S2m－Sm)－Sm＝110，所以S3m＝110＋100＝210.

角度3　等差数列前n项和的最值问题

3．(1)(2018·吉林长春一模)等差数列{an}中，已知a6＋a11＝0，且公差d>0，则其前n项和取最小值时的n的值为(　　)

A．6  B．7  C．8  D．9

(2)在等差数列{an}中，a1＝29，S10＝S20，则数列{an}的前n项和Sn的最大值为(　　)

A．S15  B．S16  C．S15或S16  D．S17

答案　(1)C　(2)A

解析　(1)解法一：因为a6＋a11＝0，

所以a1＋5d＋a1＋10d＝0，解得a1＝－d，

所以Sn＝na1＋d＝·n＋d

＝(n2－16n)＝[(n－8)2－64]．

因为d>0，所以当n＝8时，其前n项和取最小值．

解法二：由等差数列的性质可得a8＋a9＝a6＋a11＝0.

由公差d>0得等差数列{an}是递增数列，所以a8<0，a9>0，

故当1≤n≤8时，an<0；n≥9时，an>0，

所以当n＝8时，其前n项和取最小值．

(2)∵a1＝29，S10＝S20，

∴10a1＋d＝20a1＋d，解得d＝－2，

∴Sn＝29n＋×(－2)＝－n2＋30n＝－(n－15)2＋225.

∴当n＝15时，Sn取得最大值．

1．应用等差数列的性质解题的两个注意点

(1)如果{an}为等差数列，m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．因此，若出现am－n，am，am＋n等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与am(或其他项)有关的条件；若求am项，可由am＝(am－n＋am＋n)转化为求am－n，am＋n或am＋n＋am－n的值．

(2)要注意等差数列通项公式及前n项和公式的灵活应用，如an＝am＋(n－m)d，d＝，S2n－1＝(2n－1)an，Sn＝＝(n，m∈N*)等．

(3)当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd；项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝a中，S奇∶S偶＝n∶(n－1)．见巩固迁移3.

2．求等差数列前n项和Sn最值的两种方法

(1)函数法：等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn＝a2－，求“二次函数”最值．如举例说明3(1)解法一．

(2)邻项变号法

①当a1＞0，d＜0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；

②当a1＜0，d＞0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.如举例说明3(1)解法二．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，a3＋a10>0，a6a7<0，则满足Sn>0的最大自然数n的值为(　　)

A．6  B．7  C．12  D．13

答案　C

解析　因为a1>0，a6a7<0，所以a6>0，a7<0，等差数列的公差小于零，又a3＋a10＝a1＋a12>0，a1＋a13＝2a7<0，所以S12>0，S13<0，所以满足Sn>0的最大自然数n的值为12.

2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知前6项和为36，最后6项的和为180，Sn＝324(n>6)，则数列{an}的项数为________．

答案　18

解析　由题意知a1＋a2＋…＋a6＝36，①

an＋an－1＋an－2＋…＋an－5＝180，②

①＋②得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(a6＋an－5)＝6(a1＋an)＝216，

∴a1＋an＝36，

又Sn＝＝324，∴18n＝324，∴n＝18.

3．(2018·太原模拟)一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，求该数列的公差d.

解　设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇，偶数项的和为S偶，等差数列的公差为d.由已知条件，得

解得

又S偶－S奇＝6d，所以d＝＝5.