2020年高考数学理科一轮复习讲义：第12章选修4系列第3讲

第3讲　绝对值不等式

1．绝对值不等式

(1)定理

如果a，b是实数，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．

(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立，即b落在a，c之间．

(3)由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式

①|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|.

②||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.

2．绝对值不等式的解法

(1)形如|ax＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解．

(2)①绝对值不等式|x|>a与|x|<a的解集．

②|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法．

|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c(c>0)，

|ax＋b|≥c⇔ax＋b≤－c或ax＋b≥c(c>0)．

1．概念辨析

(1)不等式|x－1|＋|x＋2|<2的解集为∅.(　　)

(2)若|x|>c的解集为R，则c≤0.(　　)

(3)|ax＋b|≤c(c≥0)的解集，等价于－c≤ax＋b≤c.(　　)

(4)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．(　　)

答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√

2．小题热身

(1)设a，b为满足ab<0的实数，那么(　　)

A．|a＋b|>|a－b|  B．|a＋b|<|a－b|

C．|a－b|<||a|－|b||  D．|a－b|<|a|＋|b|

答案　B

解析　∵ab<0，∴|a－b|＝|a|＋|b|>|a＋b|.

(2)若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________.

答案　2

解析　由|kx－4|≤2⇔2≤kx≤6.∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2.

(3)函数y＝|x－3|＋|x＋3|的最小值为________．

答案　6

解析　因为|x－3|＋|x＋3|≥|(x－3)－(x＋3)|＝6，当－3≤x≤3时，|x－3|＋|x＋3|＝6，所以函数y＝|x－3|＋|x＋3|的最小值为6.

(4)不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是________．

答案　(－∞，4)

解析　|x－1|－|x－5|表示数轴上对应的点x到1和5的距离之差．而数轴上满足|x－1|－|x－5|＝2的点的数是4，结合数轴可知，满足|x－1|－|x－5|<2的解集是(－∞，4)．

题型 　解绝对值不等式

设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.

(1)解不等式f(x)>2；

(2)求函数y＝f(x)的最小值．

解　(1)解法一：令2x＋1＝0，x－4＝0分别得

x＝－，x＝4.原不等式可化为：

或或

∴原不等式的解集为.

解法二：f(x)＝|2x＋1|－|x－4|

＝

画出f(x)的图象，如图所示．

求得y＝2与f(x)图象的交点为(－7,2)，.

由图象知f(x)>2的解集为.

(2)由(1)的解法二知，f(x)min＝－.

条件探究　把举例说明中函数改为“f(x)＝|x＋1|－|2x－3|”，解不等式|f(x)|>1.

解　f(x)＝

y＝f(x)的图象如图所示．

由f(x)的表达式及图象，当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；

当f(x)＝－1时，可得x＝或x＝5，

故f(x)>1的解集为{x|1<x<3}；f(x)<－1的解集为.

所以|f(x)|>1的解集为x<或1<x<3或x>5.

解|x－a|＋|x－b|≥c或|x－a|＋|x－b|≤c的一般步骤

(1)零点分段法

①令每个含绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；

②将这些根按从小到大排序并以这些根为端点把实数集分为若干个区间；

③由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出解集；

④取各个不等式解集的并集求得原不等式的解集．

(2)利用|x－a|＋|x－b|的几何意义

数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体，|x－a|＋|x－b|≥|x－a－(x－b)|＝|a－b|.

(3)图象法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解．见举例说明．

提醒：易出现解集不全的错误．对于含绝对值的不等式，不论是分段去绝对值号还是利用几何意义，都要不重不漏．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．求不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集．

解　当x<－2时，不等式等价于－(x－1)－(x＋2)≥5，解得x≤－3；

当－2≤x<1时，不等式等价于－(x－1)＋(x＋2)≥5，即3≥5，无解；

当x≥1时，不等式等价于x－1＋x＋2≥5，解得x≥2.

综上，不等式的解集为{x|x≤－3或x≥2}．

2．若关于x的不等式|ax－2|<3的解集为－<x<，求a的值．

解　∵|ax－2|<3，∴－1<ax<5.

当a>0时，－<x<，－＝－，

且＝无解；

当a＝0时，x∈R，与已知条件不符；

当a<0时，<x<－，＝－，且－＝，

解得a＝－3.

题型 　绝对值不等式性质的应用

角度1　用绝对值不等式的性质求最值

1．设函数f(x)＝|2x－3|.

(1)求不等式f(x)>5－|x＋2|的解集；

(2)若g(x)＝f(x＋m)＋f(x－m)的最小值为4，求实数m的值．

解　(1)∵f(x)>5－|x＋2|可化为|2x－3|＋|x＋2|>5，

∴当x≥时，原不等式化为(2x－3)＋(x＋2)>5，解得x>2，

∴x>2；

当－2<x<时，原不等式化为(3－2x)＋(x＋2)>5，解得x<0，

∴－2<x<0；

当x≤－2时，原不等式化为(3－2x)－(x＋2)>5，解得x<－，

∴x≤－2.

综上，不等式f(x)>5－|x＋2|的解集为(－∞，0)∪(2，＋∞)．

(2)∵f(x)＝|2x－3|，

∴g(x)＝f(x＋m)＋f(x－m)＝|2x＋2m－3|＋|2x－2m－3|≥|(2x＋2m－3)－(2x－2m－3)|＝|4m|，

∴依题意有4|m|＝4，解得m＝±1.

角度2　用绝对值不等式的性质证明不等式

(多维探究)

2．设a>0，|x－1|<，|y－2|<，求证：|2x＋y－4|<a.

证明　因为|x－1|<，|y－2|<，

所以|2x＋y－4|＝|2(x－1)＋(y－2)|

≤2|x－1|＋|y－2|<2×＋＝a.

即|2x＋y－4|<a.

结论探究　举例说明条件不变，求证：|x－2y＋1|<a＋2.

证明　|x－2y＋1|

＝|(x－1)－2(y－1)|<|x－1|＋|2(y－1)|

＝|x－1|＋|2(y－2)＋2|<|x－1|＋2|y－2|＋2＋2·＋2

＝a＋2.

1．证明绝对值不等式的三种主要方法

(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明．

(2)利用三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|进行证明．

(3)转化为函数问题，利用数形结合进行证明．

2．用绝对值不等式的性质求最值的方法

利用不等式|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)和|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)，通过确定适当的a，b，利用整体思想或使函数、不等式中不含变量，可以求最值．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(2018·江西南昌模拟)已知函数f(x)＝|2x－a|＋|x－1|.

(1)若不等式f(x)≤2－|x－1|有解，求实数a的取值范围；

(2)当a<2时，函数f(x)的最小值为3，求实数a的值．

解　(1)由题意f(x)≤2－|x－1|，即为＋|x－1|≤1.

而由绝对值的几何意义知＋|x－1|≥，

由不等式f(x)≤2－|x－1|有解，

∴≤1，即0≤a≤4.

∴实数a的取值范围是[0,4]．

(2)由2x－a＝0得x＝，

由x－1＝0得x＝1，

由a<2知<1，

∴f(x)＝

函数的图象如图所示．

∴f(x)min＝f＝－＋1＝3，解得a＝－4.

题型 　与绝对值不等式有关的参数范围问题

(2018·全国卷Ⅰ)已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|.

(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；

(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围．

解　(1)当a＝1时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，

即f(x)＝

故不等式f(x)>1的解集为.

(2)当x∈(0,1)时|x＋1|－|ax－1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax－1|<1成立．

若a≤0，则当x∈(0,1)时，|ax－1|≥1，不符合题意；

若a>0，|ax－1|<1的解集为0<x<，所以≥1，故0<a≤2.综上，a的取值范围为(0,2]．

条件探究　把举例说明函数改为“f(x)＝|2x－1|－|x－a|”，若x∈(－1,0)时，f(x)>1有解，求a的取值范围．

解　当x∈(－1,0)时，f(x)>1有解⇔|x－a|<－2x有解⇔2x<x－a<－2x有解⇔3x<a<－x有解，

∵3x>－3，－x<1，∴－3<a<1，即实数a的取值范围是(－3,1)．

两招解不等式问题中的含参问题

(1)第一招是转化．①把存在性问题转化为求最值问题；②不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题；③不等式的解集为∅的对立面也是不等式的恒成立问题，此类问题都可转化为最值问题，即f(x)<a恒成立⇔a>f(x)max，f(x)>a恒成立⇔a<f(x)min.

(2)第二招是求最值．求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：①利用绝对值的几何意义；②利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥||a|－|b||；③利用零点分区间法．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

已知f(x)＝|x－a|，a∈R.

(1)当a＝1时，求不等式f(x)＋|2x－5|≥6的解集；

(2)若函数g(x)＝f(x)－|x－3|的值域为A，且[－1,2]⊆A，求实数a的取值范围．

解　(1)当a＝1时，不等式为|x－1|＋|2x－5|≥6.

当x≤1时，不等式可化为－(x－1)－(2x－5)≥6，

解得x≤0，所以x≤0；

当1<x<时，不等式可化为(x－1)－(2x－5)≥6，

解得x≤－2，所以x∈∅；

当x≥时，不等式可化为(x－1)＋(2x－5)≥6，

解得x≥4，所以x≥4.

综上所述，原不等式的解集为{x|x≤0或x≥4}．

(2)因为|g(x)|＝||x－a|－|x－3||

≤|x－a－(x－3)|＝|a－3|，

所以g(x)∈[－|a－3|，|a－3|]，

所以函数g(x)的值域A＝[－|a－3|，|a－3|]，

因为[－1,2]⊆A，

所以解得a≤1或a≥5.

所以实数a的取值范围是(－∞，1]∪[5，＋∞)．