2020年高考数学理科一轮复习讲义：第12章选修4系列第4讲

第4讲　证明不等式的基本方法

1．基本不等式

定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．

定理2：如果a，b>0，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立，即两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数．

定理3：如果a，b，c∈R＋，那么≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．

2．比较法

3．综合法与分析法

(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立．

(2)分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立．

1．概念辨析

(1)设x＝a＋2b，S＝a＋b2＋1则S≥x.(　　)

(2)若>1，则x＋2y>x－y.(　　)

(3)|a＋b|＋|a－b|≥|2a|.(　　)

(4)若实数x，y适合不等式xy>1，x＋y>－2，则x>0，y>0.(　　)

答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√

2．小题热身

(1)下列四个不等式：①logx10＋lg x≥2(x>1)；②|a－b|<|a|＋|b|；③≥2(ab≠0)；④|x－1|＋|x－2|≥1，其中恒成立的个数是(　　)

A．1  B．2  C．3  D．4

答案　C

解析　logx10＋lg x＝＋lg x≥2(x>1)，①正确．

ab≤0时，|a－b|＝|a|＋|b|，②不正确；

因为ab≠0，与同号，

所以＝＋≥2，③正确；

由|x－1|＋|x－2|的几何意义知，

|x－1|＋|x－2|≥1恒成立，④正确，

综上①③④正确．故选C.

(2)已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，z＝(ab)0.25，则x，y，z的大小关系是(　　)

A．x>y>z   B．x<y<z

C．y>x>z   D．y<z<x

答案　C

解析　∵x2＝，y2＝a＋b，z2＝，

∴x2>z2，y2－x2＝＝>0，

∴y2>x2>z2，又x>0，y>0，z>0，∴y>x>z.

(3)设x＝a2b2＋5，y＝2ab－a2－4a，若x>y，则实数a，b应满足的条件为________．

答案　ab≠1或a≠－2

解析　因为x－y＝(a2b2＋5)－(2ab－a2－4a)

＝(a2b2－2ab＋1)＋(a2＋4a＋4)

＝(ab－1)2＋(a＋2)2>0，

若x>y，则实数a，b应满足的条件为ab≠1或a≠－2.

题型 　比较法证明不等式

1．设函数f(x)＝|x－2|＋2x－3，记f(x)≤－1的解集为M.

(1)求M；

(2)当x∈M时，证明：x[f(x)]2≤x2f(x)．

解　(1)由已知，得f(x)＝

当x≤2时，由f(x)＝x－1≤－1，

解得x≤0，此时x≤0；

当x>2时，由f(x)＝3x－5≤－1，

解得x≤，显然不成立．

故f(x)≤－1的解集为M＝{x|x≤0}．

(2)证明：当x∈M时，f(x)＝x－1，

于是x[f(x)]2－x2f(x)＝x(x－1)2－x2(x－1)

＝－x2＋x＝－2＋.

令g(x)＝－2＋，

则函数g(x)在(－∞，0]上是增函数，

∴g(x)≤g(0)＝0.

x[f(x)]2－x2f(x)≤0，故x[f(x)]2≤x2f(x)．

2．(2018·吉林长春模拟)(1)如果关于x的不等式|x＋1|＋|x－5|≤m的解集不是空集，求实数m的取值范围；

(2)若a，b均为正数，求证：aabb≥abba.

解　(1)令y＝|x＋1|＋|x－5|＝可知|x＋1|＋|x－5|≥6，故要使不等式|x＋1|＋|x－5|≤m的解集不是空集，有m≥6.

(2)证明：由a，b均为正数，则要证aabb≥abba，

只要证aa－bbb－a≥1，整理得a－b≥1.

当a≥b时，a－b≥0，可得a－b≥1；

当a<b时，a－b<0，可得a－b>1.

可知a，b均为正数时，a－b≥1，

当且仅当a＝b时等号成立，从而aabb≥abba成立．

1．作差比较法

(1)作差比较法证明不等式的四步骤

(2)作差比较法的应用范围

当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时，一般使用作差比较法．

2．作商比较法

(1)作商比较法证明不等式的一般步骤

(2)作商比较法的应用范围

当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时，一般使用作商比较法．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|，P为不等式f(x)>4的解集．

(1)求P；

(2)证明：当m，n∈P时，|mn＋4|>2|m＋n|.

解　(1)f(x)＝|x－1|＋|x＋1|＝

由f(x)的单调性及f(x)>4，得x>2或x<－2.

所以不等式f(x)>4的解集P＝{x|x>2或x<－2}．

(2)证明：由(1)可知|m|>2，|n|>2，

所以m2>4，n2>4，

所以(mn＋4)2－4(m＋n)2＝(m2－4)(n2－4)>0，

所以(mn＋4)2>4(m＋n)2，

从而有|mn＋4|>2|m＋n|.

题型 　综合法证明不等式

(2018·合肥三模)已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－3|.

(1)解不等式f(x)≤x＋1；

(2)设函数f(x)的最小值为c，实数a，b满足a>0，b>0，a＋b＝c.求证：＋≥1.

解　(1)f(x)≤x＋1，即|x－1|＋|x－3|≤x＋1.

①当x<1时，不等式可化为4－2x≤x＋1，x≥1.

又∵x<1，∴x∈∅；

②当1≤x≤3时，不等式可化为2≤x＋1，x≥1.

又∵1≤x≤3，∴1≤x≤3.

③当x>3时，不等式可化为2x－4≤x＋1，x≤5.

又∵x>3，∴3<x≤5.

综上所得，1≤x≤3或3<x≤5，即1≤x≤5.

∴原不等式的解集为[1,5]．

(2)证明：由绝对值不等式性质得，

|x－1|＋|x－3|≥|(1－x)＋(x－3)|＝2，

∴c＝2，即a＋b＝2.

令a＋1＝m，b＋1＝n，则

m>1，n>1，a＝m－1，b＝n－1，m＋n＝4，

＋＝＋

＝m＋n＋＋－4

＝≥＝1，原不等式得证．

1．综合法证明不等式的方法

(1)综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键；

(2)在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的．在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件．

2．综合法证明时常用的不等式

(1)a2≥0.

(2)|a|≥0.

(3)a2＋b2≥2ab，它的变形形式有

a2＋b2≥2|ab|；a2＋b2≥－2ab；(a＋b)2≥4ab；

a2＋b2≥(a＋b)2；≥2.

(4)≥，它的变形形式有

a＋≥2(a>0)；＋≥2(ab>0)；

＋≤－2(ab<0).

设函数f(x)＝|x－1|＋|x＋2|，若不等式f(x)≥9的解集是{x|x≤p或x≥q}．

(1)求p，q的值；

(2)若实数a，b，c满足a(b＋c)＝q，证明：2a2＋b2＋c2－p≥13.

解　(1)由f(x)≥9，得|x－1|＋|x＋2|≥9，

得或

或解得x≤－5或x≥4，

所以不等式f(x)≥9的解集是{x|x≤－5或x≥4}．

又不等式f(x)≥9的解集是{x|x≤p或x≥q}，

所以p＝－5，q＝4.

(2)若a(b＋c)＝q，则a(b＋c)＝4，

即ab＋ac＝4.

因为ab≤，ac≤，

所以ab＋ac≤＋，

即ab＋ac≤，

即4≤，

所以2a2＋b2＋c2≥8，

当且仅当a＝b＝c＝±时取等号．

而p＝－5，所以2a2＋b2＋c2－p≥13.原命题得证．

题型 　分析法证明不等式

已知函数f(x)＝|x－3|.

(1)若不等式f(x－1)＋f(x)<a的解集为空集，求实数a的取值范围；

(2)若|a|<1，|b|<3，且a≠0，判断与f的大小，并说明理由．

解　(1)因为f(x－1)＋f(x)＝|x－4|＋|x－3|≥|x－4＋3－x|＝1，不等式f(x－1)＋f(x)<a的解集为空集，则1≥a即可，所以实数a的取值范围是(－∞，1]．

(2)>f.

证明：要证>f，

只需证|ab－3|>|b－3a|，

即证(ab－3)2>(b－3a)2，

又(ab－3)2－(b－3a)2＝a2b2－9a2－b2＋9

＝(a2－1)(b2－9)．

因为|a|<1，|b|<3，所以(ab－3)2>(b－3a)2成立，所以原不等式成立．

1．分析法的应用条件

当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式(a2＋b2≥2ab)、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．

2．用分析法证“若A则B”这个命题的模式

为了证明命题B为真，

只需证明命题B1为真，从而有……

只需证明命题B2为真，从而有……

……

只需证明命题A为真，而已知A为真，故B必真．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

某同学在一次研究性学习中发现，以下5个不等关系式子：

①－1>2－；②2－>－；③－>－2；④－2>－；⑤－>2－.

(1)上述五个式子有相同的不等关系，分析其结构特点，请你再写出一个类似的不等式；

(2)请写出一个更一般的不等式，使以上不等式为它的特殊情况，并证明．

解　(1)－2>－3(答案不唯一)．

(2)－>－.

证明：要证原不等式，只需证

＋>＋，

因为不等式两边都大于0，只需证

2a＋3＋2>2a＋3＋2，

只需证>，

只需证a2＋3a＋2>a2＋3a，

只需证2>0，显然成立，所以原不等式成立．