2020年高考数学理科一轮复习讲义：第11章算法复数推理与证明第1讲

第十一章　算法、复数与推理证明

第1讲　算法初步

1．算法的含义与程序框图

(1)算法：算法是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．

(2)程序框图：程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．

在程序框图中，一个或n个程序框的组合表示算法中的一个步骤；带有方向箭头的流程线将程序框连接起来，表示算法步骤的执行顺序．

(3)算法框图的图形符号及其功能

2．三种基本逻辑结构及相应语句

续表

1．概念辨析

(1)一个程序框图一定包含顺序结构，也包含条件结构(选择结构)和循环结构．(　　)

(2)当型循环是给定条件不成立时，执行循环体，反复进行，直到条件成立为止．(　　)

(3)在算法语句中，X＝X＋1是错误的．(　　)

(4)输入语句可以同时给多个变量赋值．(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

2．小题热身

(1)根据给出的程序框图(如图)，计算f(－1)＋f(2)＝(　　)

A．0  B．1  C．2  D．4

答案　A

解析　f(－1)＝4×(－1)＝－4，f(2)＝22＝4，∴f(－1)＋f(2)＝－4＋4＝0.

(2)计算机执行下面的程序段后，输出的结果是(　　)

A．1,3  B．4,1  C．0,0  D．6,0

答案　B

解析　读程序可知a＝1＋3＝4，b＝4－3＝1.

(3)已知输入实数x＝12，执行如图所示的流程图，则输出的x是(　　)

A．25  B．102  C．103  D．51

答案　C

解析　输入x＝12，经过第一次循环得到x＝2×12＋1＝25，n＝2，经过第二循环得到x＝2×25＋1＝51，n＝3，经过第三次循环得到 x＝2×51＋1＝103，n＝4，此时输出x，故选C.

(4)按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M处条件为(　　)

A．k≥16  B．k＜8  C．k＜16  D．k≥8

答案　A

解析　程序运行过程中，各变量的值如下表所示：

故退出循环的条件应为k≥16，故选A.

题型 　顺序结构和条件结构

1．阅读如图所示程序框图．若输入x为3，则输出的y值为(　　)

A．24  B．25  C．30  D．40

答案　D

解析　a＝32－1＝8，b＝8－3＝5，y＝8×5＝40.

2．(2017·江苏高考)下图是一个算法流程图．若输入x的值为，则输出y的值是________．

答案　－2

解析　输入x＝，≥1不成立，执行y＝2＋log2＝2－4＝－2.输出y的值为－2.

条件探究　将举例说明2中“输入x”改为“输出y”，求输入的x的值．

解　由题意得y＝当x≥1时，2x≥2，所以若输出y＝，则必有x<1,2＋log2x＝，解得x＝.

应用顺序结构与条件结构的注意点

(1)顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的．

(2)条件结构：利用条件结构解决算法问题时，重点是判断框，判断框内的条件不同，对应的下一程序框中的内容和操作要相应地进行变化，故要重点分析判断框内的条件是否满足.

定义运算a⊗b的结果为执行如图所示的程序框图输出的S，则⊗的值为(　　)

A．4  B．3  C．2  D．－1

答案　A

解析　由程序框图可知，S＝

因为2cos＝1,2tan＝2,1<2，

所以⊗＝2×(1＋1)＝4.

题型 　循环结构

角度1　由程序框图求输出(输入)结果

1．(2019·烟台模拟)执行如图所示的程序框图，输出的n值为(　　)

A．6  B．7  C．8  D．12

答案　C

解析　由程序框图可知，第一次循环：S＝，n＝2；

第二次循环：S＝＋2，n＝3；

第三次循环：S＝＋2＋3，n＝4；……

第六次循环：S＝＋…＋6＝<，n＝7；

第七次循环：S＝＋…＋7＝>，n＝8.

故终止循环，输出n＝8.故选C.

角度2　完善程序框图

2．(2018·全国卷Ⅱ)为计算S＝1－＋－＋…＋－，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入(　　)

A．i＝i＋1   B．i＝i＋2

C．i＝i＋3   D．i＝i＋4

答案　B

解析　由S＝1－＋－＋…＋－，知程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减．因此在空白框中应填入i＝i＋2，选B.

角度3　逆向求解问题

3．(2017·全国卷Ⅲ)执行如图所示的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为(　　)

A．5  B．4  C．3  D．2

答案　D

解析　假设N＝2，程序执行过程如下：

t＝1，M＝100，S＝0，

1≤2，S＝0＋100＝100，M＝－＝－10，t＝2，

2≤2，S＝100－10＝90，M＝－＝1，t＝3，

3＞2，输出S＝90＜91.符合题意．

∴N＝2成立．显然2是最小值．故选D.

1．循环结构程序框图求输出结果的方法

解决此类问题最常用的方法是列举法，即依次执行循环体中的每一步，直到循环终止，但在执行循环体的过程中：

第一，要明确是当型循环结构还是直到型循环结构，根据各自特点执行循环体；

第二，要明确框图中的累加变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；

第三，要明确循环终止的条件是什么，什么时候要终止执行循环体．

2．程序框图补全问题的求解方法

(1)先假设参数的判断条件满足或不满足；

(2)运行循环结构，一直到运行结果与题目要求的输出结果相同为止；

(3)根据此时各个变量的值，补全程序框图.

1．(2017·全国卷Ⅰ)如图所示的程序框图是为了求出满足3n－2n>1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入(　　)

A．A>1000？和n＝n＋1  B．A>1000？和n＝n＋2

C．A≤1000？和n＝n＋1  D．A≤1000？和n＝n＋2

答案　D

解析　因为题目要求的是“满足3n－2n＞1000的最小偶数n”，所以n的叠加值为2，所以内填入“n＝n＋2”．由程序框图知，当内的条件不满足时，输出n，所以内填入“A≤1000？”．故选D.

2．(2018·洛阳三模)定义[x]表示不超过x的最大整数，例如[0.6]＝0，[2]＝2，[3.6]＝3，下图的程序框图取材于中国古代数学著作《孙子算经》．执行该程序框图，则输出a＝(　　)

A．9  B．16  C．23  D．30

答案　C

解析　由程序框图得k＝1，a＝9，a－3·＝0≠2；k＝2，a＝16，a－3·＝1≠2；k＝3，a＝23，a－3·＝2，a－5·＝3，退出循环体，所以输出a＝23，故选C.

3．(2018·东北三省四市模拟)庄子说：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，这句话描述的是一个数列问题．现用程序框图描述．如图所示，若输入某个正整数n后，输出的S∈，则输入的n的值为(　　)

A．7  B．6  C．5  D．4

答案　C

解析　第一次循环得S＝，k＝2；第二次循环得S＝，k＝3；第三次循环得S＝，k＝4；第四次循环得S＝，k＝5；第五次循环得S＝∈，k＝6，此时满足题意，退出循环，所以输入的n值为5，故选C.

题型 　基本算法语句

1．根据如图算法语句，当输入x为60时，输出y的值为(　　)

A．25  B．30  C．31  D．61

答案　C

解析　该语句表示分段函数

y＝

当x＝60时，y＝25＋0.6×(60－50)＝31.

故输出y的值为31.

2．如图程序执行后输出的结果是________．

答案　990

解析　程序反映出的算法过程为

i＝11⇒S＝11×1，i＝10；

i＝10⇒S＝11×10，i＝9；

i＝9⇒S＝11×10×9，i＝8；

i＝8<9，退出循环，执行“PRINT　S”．

故S＝990.

1．解决算法语句的三步骤

(1)通读全部语句，把它翻译成数学问题；

(2)领悟该语句的功能；

(3)根据语句的功能运行程序，解决问题．

2．算法语句应用的四关注

(2018·保定模拟)根据如图所示的语句，可知输出的结果S＝________.

答案　7

解析　S＝1，I＝1；

1<8，S＝3，I＝4；

4<8，S＝5，I＝7；

7<8，S＝7，I＝10；

10>8，终止循环，输出S＝7.