【高考复习】2020年高考数学(文数) 圆锥曲线 大题练（含答案解析）

【高考复习】2020年高考数学(文数)

圆锥曲线 大题练

1.已知抛物线E：y2=2px(p＞0)的焦点F，E上一点(3，m)到焦点的距离为4.

(1)求抛物线E的方程；

(2)过F作直线l，交抛物线E于A，B两点，若直线AB中点的纵坐标为－1，求直线l的方程．

2.已知椭圆(a>b>0)的离心率为,且经过点P（1,1.5）,过它的两个焦点F1,F2分别作直线l1与l2,l1交椭圆于A,B两点,l2交椭圆于C,D两点,且l1⊥l2.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)求四边形ACBD的面积S的取值范围.

3.已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为,点(2,)在C上.

(1)求C的方程;

(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M,证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.

4.已知椭圆的中心是坐标原点O,焦点在x轴上,短轴长为2,且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点.过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P,Q两点.

(1)求椭圆的方程;

(2)在线段OF上是否存在点M(m,0),使得|MP|=|MQ|?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.

5.在平面直角坐标系中，直线x－y＋m=0不过原点，且与椭圆＋=1有两个不同的公共点A，B.

(1)求实数m的取值所组成的集合M；

(2)是否存在定点P使得任意的m∈M，都有直线PA，PB的倾斜角互补？若存在，求出所有定点P的坐标；若不存在，请说明理由．

6.已知椭圆C：＋=1(a>b>0)的焦距为4，P是椭圆C上的点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)O为坐标原点，A，B是椭圆C上不关于坐标轴对称的两点，设=＋，

证明：直线AB的斜率与OD的斜率的乘积为定值．

7.如图，椭圆C：＋=1(a>b>0)的左顶点与上顶点分别为A，B，右焦点为F，点P在椭圆C上，且PF⊥x轴，若AB∥OP，且|AB|=2.

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知Q是C上不同于长轴端点的任意一点，在x轴上是否存在一点D，使得直线QA与QD的斜率乘积恒为－，若存在，求出点D的坐标，若不存在，说明理由．

8.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8.

(1)求l的方程；

(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．

答案解析

1.解：

(1)抛物线E：y2=2px(p＞0)的准线方程为x=－，

由抛物线的定义可知3－  =4，

解得p=2，∴抛物线E的方程为y2=4x.

(2)法一：由(1)得抛物线E的方程为y2=4x，焦点F(1,0)，

设A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则两式相减，整理得 =(x1≠x2)．

∵线段AB中点的纵坐标为－1，

∴直线l的斜率kAB===－2，

∴直线l的方程为y－0=－2(x－1)，即2x＋y－2=0.

法二：由(1)得抛物线E的方程为y2=4x，焦点F(1,0)，

设直线l的方程为x=my＋1，

由消去x，得y2－4my－4=0.

 设A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

 ∵线段AB中点的纵坐标为－1，

∴==－1，解得m=－，

∴直线l的方程为x=－y＋1，即2x＋y－2=0.

2.解:

3.解：

4.解:

5.解：

(1)因为直线x－y＋m=0不过原点，所以m≠0.

将x－y＋m=0与＋=1联立，消去y，

得4x2＋2mx＋m2－4=0.

因为直线与椭圆有两个不同的公共点A，B，所以Δ=8m2－16(m2－4)>0，

所以－2<m<2.

故实数m的取值所组成的集合M为(－2，0)∪(0,2)．

(2)假设存在定点P(x0，y0)使得任意的m∈M，都有直线PA，PB的倾斜角互补，

即kPA＋kPB=0.

令A(x1，x1＋m)，B(x2，x2＋m)，则＋=0，

整理得2x1x2＋(m－x0－y0)(x1＋x2)＋2x0(y0－m)=0.(*)

由(1)知x1＋x2=－，x1x2=，

代入(*)式化简得m＋2(x0y0－)=0，则

解得或

所以定点P的坐标为(1，)或(－1，－)．经检验，此两点均满足题意．

故存在定点P使得任意的m∈M，都有直线PA，PB的倾斜角互补，

且定点P的坐标为(1，)或(－1，－)．

6.解：

(1)由题意知2c=4，即c=2，则椭圆C的方程为＋=1，

因为点P在椭圆C上，所以＋=1，

解得a2=5或a2=(舍去)，

所以椭圆C的方程为＋y2=1.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2且x1＋x2≠0，由＋=，

得D(x1＋x2，y1＋y2)，

所以直线AB的斜率kAB=，直线OD的斜率kOD=，

由得(x1＋x2)(x1－x2)＋(y1＋y2)(y1－y2)=0，

即·=－，所以kAB·kOD=－.

故直线AB的斜率与OD的斜率的乘积为定值－.

7.解：

(1)由题意得A(－a,0)，B(0，b)，可设P(c，t)(t>0)，

∴＋=1，得t=，即P，

由AB∥OP得=，即b=c，∴a2=b2＋c2=2b2，①

又|AB|=2，∴a2＋b2=12，②

由①②得a2=8，b2=4，∴椭圆C的方程为＋=1.

(2)假设存在D(m,0)，使得直线QA与QD的斜率乘积恒为－，

设Q(x0，y0)(y0≠0)，则＋=1，③

∵kQA·kQD=－，A(－2，0)，∴·=－(x0≠m)，④

由③④得(m－2)x0＋2m－8=0，即解得m=2，

∴存在点D(2，0)，使得kQA·kQD=－.

8.解：

(1)由题意得F(1,0)，l的方程为y=k(x－1)(k>0)．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2=0.

Δ=16k2＋16>0，故x1＋x2=.

所以|AB|=|AF|＋|BF|=(x1＋1)＋(x2＋1)=.

由题设知=8，解得k=1或k=－1(舍去)．

因此l的方程为y=x－1.

(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，

所以AB的垂直平分线方程为y－2=－(x－3)，

即y=－x＋5.

设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，

则

解得或

因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2=16或(x－11)2＋(y＋6)2=144.