【高考复习】2020年高考数学(文数) 抛物线 小题练（含答案解析）
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抛物线 小题练
一 、选择题
1.抛物线y=4ax2(a≠0)的焦点坐标是( )
A．(0，a) B．(a，0) C． D．
2.到定点A(2，0)与定直线l：x=-2的距离相等的点的轨迹方程为( )
A．y2=8x B．y2=-8x C．x2=8y D．x2=-8y
3.设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线准线的距离为( )
A．4 B．6 C．8 D．12
4.抛物线y=x2的准线方程是( )
A．y=-1 B．y=-2 C．x=-1 D．x=-2
5.已知抛物线C与双曲线x2－y2=1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是( )
A．y2=±2x B．y2=±2x C．y2=±4x D．y2=±4x
6.抛物线y=2x2的准线方程是( )
A．x= B．x=－ C．y= D．y=－
7.若抛物线x2=4y上的点P(m，n)到其焦点的距离为5，则n=( )
A． B． C．3 D．4
8.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2=6，则|AB|等于( )
A．4 B．6 C．8 D．10
9.若抛物线y2=2px(p>0)上的点A(x0，)到其焦点的距离是A到y轴距离的3倍，则p等于( )
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
10.已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且满足|NF|=|MN|，则点F到MN的距离为( )
A. B．1 C. D．2
11.过抛物线C：y2=2px(p＞0)的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，若|NF|=4，则M到直线NF的距离为( )
A. B．2 C．3 D．2
12.抛物线有如下光学性质：由焦点发出的光线，经抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线上的一点反射后，必经过抛物线的焦点．已知抛物线y2=4x的焦点为F，一平行于x轴的光线从点M(3,1)射入，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为( )
A. B．－ C．± D．－
二 、填空题
13.已知动圆过点(1，0)，且与直线x=-1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．
14.已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴，若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．
15.抛物线y2=x的焦点坐标是________．
16.已知直线l过点(1，0)且垂直于x轴．若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．
17.已知点M(-1，1)和抛物线C：y2=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB=90°，则k=________．
18.已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且满足|NF|=|MN|，则∠NMF=________．
答案解析
1.答案为：C；
解析：将y=4ax2(a≠0)化为标准方程得x2=y(a≠0)，所以焦点坐标为，故选C．
2.答案为：A；
解析：由抛物线的定义可知该轨迹为抛物线且p=4，焦点在x轴正半轴上，故选A．
3.答案为：B；
解析：依题意得，抛物线y2=8x的准线方程是x=-2，因此点P到该抛物线准线的距离为4＋2=6，故选B．
4.答案为：A；
解析：依题意，抛物线x2=4y的准线方程是y=-1，故选A．
5.答案为：D；
解析：由题意知双曲线的焦点为(－，0)，(，0)．
设抛物线C的方程为y2=±2px(p＞0)，则=，所以p=2，
所以抛物线C的方程为y2=±4x.故选D.
6.答案为：D；
解析：抛物线y=2x2的标准方程为x2=y，其准线方程为y=－.
7.答案为：D；
解析：抛物线x2=4y的准线方程为y=－1，根据抛物线的定义可知，5=n＋1，得n=4，故选D.
8.答案为：C；
解析：由抛物线y2=4x得p=2，由抛物线定义可得|AB|=x1＋1＋x2＋1=x1＋x2＋2，
又因为x1＋x2=6，所以|AB|=8，故选C．
9.答案为：D；
解析：由题意3x0=x0＋，x0=，则=2，∵p>0，∴p=2，故选D．
10.答案为：B；
由题可知|MF|=2，设点N到准线的距离为d，由抛物线的定义可得d=|NF|，
因为|NF|=|MN|，所以cos∠NMF===，所以sin∠NMF==，
所以点F到MN的距离为|MF|sin∠NMF=2×=1，故选B.
11.答案为：B；
∵直线MF的斜率为，MN⊥l，∴∠NMF=60°，又|MF|=|MN|，且|NF|=4，
∴△NMF是边长为4的等边三角形，∴M到直线NF的距离为2.故选B.
12.答案为：B；
解析：将y=1代入y2=4x可得x=，即A.由题可知，直线AB经过焦点F(1,0)，
所以直线AB的斜率k==－，故选B.
13.答案为：y2=4x；
解析：设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与其到直线x=-1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2=4x．
14.答案为：(1,0)；
解析：由题知直线l的方程为x=1，则直线与抛物线的交点为(1，±2)(a＞0)．
又直线被抛物线截得的线段长为4，所以4=4，即a=1.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．
15.答案为：；
解析：由于抛物线y2=2px的焦点坐标为，因此抛物线y2=x的焦点坐标为.
16.答案为：(1，0)；
解析：由题意得a>0，设直线l与抛物线的两交点分别为A，B，不妨令A在B的上方，
则A(1，2)，B(1，-2)，故|AB|=4=4，得a=1，故抛物线方程为y2=4x，
其焦点坐标为(1，0)．
17.答案为：2；
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则所以y-y=4x1-4x2，所以k==．
取AB的中点M′(x0，y0)，分别过点A，B作准线x=-1 的垂线，垂足分别为A′，B′．
因为∠AMB=90°，所以|MM′|=|AB|=(|AF|＋|BF|)=(|AA′|＋|BB′|)．
因为M′为AB的中点，所以MM′平行于x轴．
因为M(-1，1)，所以y0=1，则y1＋y2=2，所以k=2．
18.答案为：；
解析：过N作准线的垂线，垂足是P，则有|PN|=|NF|，∴|PN|=|MN|，∠NMF=∠MNP．
又cos∠MNP=，∴∠MNP=，即∠NMF=．
