【高考复习】2020年高考数学(文数) 不等式选讲 大题练（含答案解析）

【高考复习】2020年高考数学(文数)

不等式选讲 大题练

1.设函数f(x)=|x-1|.

(1)求不等式f(x)≤3-f(x-1)的解集；

(2)已知关于x的不等式f(x)≤f(x＋1)-|x-a|的解集为M，若⊆M，求实数a的取值范围．

2.设函数f(x)=|x-a|＋(a≠0，a∈R)．

(1)当a=1时，解不等式f(x)≤5；

(2)记f(x)的最小值为g(a)，求g(a)的最小值．

3.设函数f(x)=|2x＋1|＋|x-1|.

(1)画出y=f(x)的图象；

(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值．

4.已知函数f(x)=-x2＋ax＋4，g(x)=|x＋1|＋|x-1|．

(1)当a=1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；

(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1，1]，求a的取值范围．

5.设函数f(x)=5-|x＋a|-|x-2|．

(1)当a=1时，求不等式f(x)≥0的解集；

(2)若f(x)≤1，求a的取值范围．

6.已知f(x)=|2x-1|＋|ax-5|(0<a<5)．

(1)当a=1时，求不等式f(x)≥9的解集；

(2)若函数y=f(x)的最小值为4，求实数a的值．

7.已知函数f(x)=|2x-1|＋|x＋1|.

(1)解不等式f(x)≤3；

(2)记函数g(x)=f(x)＋|x＋1|的值域为M，若t∈M，证明：t2＋1≥＋3t.

8.设f(x)=|x|＋2|x-a|(a>0)．

(1)当a=1时，解不等式f(x)≤4；

(2)若f(x)≥4，求实数a的取值范围．

答案解析

1.解：

(1)因为f(x)≤3-f(x-1)，所以|x-1|≤3-|x-2|，

即|x-1|＋|x-2|≤3，

则或或

解得0≤x<1或1≤x≤2或2<x≤3，所以0≤x≤3，

故不等式f(x)≤3-f(x-1)的解集为[0,3]．

(2) 因为⊆M，

所以当x∈时，f(x)≤f(x＋1)-|x-a|恒成立，

而f(x)≤f(x＋1)-|x-a|⇔|x-1|-|x|＋|x-a|≤0⇔|x-a|≤|x|-|x-1|，

因为x∈，所以|x-a|≤1，即x-1≤a≤x＋1，

由题意，知x-1≤a≤x＋1对于x∈恒成立，所以≤a≤2，

故实数a的取值范围为.

2.解：

(1)当a=1时，f(x)=|x-1|＋|x＋2|，

故f(x)=

①当x>1时，由2x＋1≤5，得x≤2，故1<x≤2；

②当-2≤x≤1时，由3≤5，得x∈R，故-2≤x≤1；

③当x<-2时，由-2x-1≤5，得x≥-3，故-3≤x<-2.

综上，不等式的解集为[-3,2]．

(2)f(x)=|x-a|＋≥=

，所以g(a)=，

因为=|a|＋≥2=2，

当且仅当|a|=，即a=±时等号成立，

所以g(a)min=2.

3.解：

(1)f(x)=y=f(x)的图象如图所示．

(2)由(1)知，y=f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，

且各部分所在直线斜率的最大值为3，

故当且仅当a≥3且b≥2时，

f(x)≤ax＋b在[0，＋∞)成立，

因此a＋b的最小值为5.

4.解：

(1)当a=1时，不等式f(x)≥g(x)等价于

x2-x＋|x＋1|＋|x-1|-4≤0．①

当x＜-1时，①式化为x2-3x-4≤0，无解；

当-1≤x≤1时，①式化为x2-x-2≤0，

从而-1≤x≤1；

当x＞1时，①式化为x2＋x-4≤0，

从而1＜x≤．

所以f(x)≥g(x)的解集为x-1≤x≤．

(2)当x∈[-1，1]时，g(x)=2，

所以f(x)≥g(x)的解集包含[-1，1]等价于当x∈[-1，1]时，f(x)≥2．

又f(x)在[-1，1]的最小值必为f(-1)与f(1)之一，

所以f(-1)≥2且f(1)≥2，得-1≤a≤1．

所以a的取值范围为[-1，1]．

5.解：

(1)当a=1时，f(x)=

可得f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3}．

(2)f(x)≤1等价于|x＋a|＋|x-2|≥4．

而|x＋a|＋|x-2|≥|a＋2|，且当x=2时等号成立．故f(x)≤1等价于|a＋2|≥4．

由|a＋2|≥4可得a≤-6或a≥2，所以a的取值范围是(-∞，-6]∪[2，＋∞)．

6.解：

(1)当a=1时，f(x)=|2x-1|＋|x-5|=

∴f(x)≥9⇔或或

解得x≤-1或x≥5，

即所求不等式的解集为(-∞，-1]∪[5，＋∞)．

(2)∵0<a<5，∴>1，

则f(x)=

∵当x<时，f(x)单调递减，当x>时，f(x)单调递增，

∴f(x)的最小值在上取得，

∵在上，当0<a≤2时，f(x)单调递增，当2<a≤5时，f(x)单调递减，

∴或

解得a=2.

7.解：

(1)依题意，得f(x)=于是f(x)≤3⇔

或或解得-1≤x≤1.

故不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤1}．

(2)证明：g(x)=f(x)＋|x＋1|=|2x-1|＋|2x＋2|≥|2x-1-2x-2|=3，

当且仅当(2x-1)(2x＋2)≤0时取等号，∴M=[3，＋∞)．

t2＋1≥＋3t等价于t2-3t＋1-≥0，

t2-3t＋1-==.

∵t∈M，∴t-3≥0，t2＋1>0，

∴≥0，

∴t2＋1≥＋3t.

8.解：

(1)当a=1时，f(x)=|x|＋2|x-1|=

当x<0时，由2-3x≤4，得-≤x<0；

当0≤x≤1时，由2-x≤4，得0≤x≤1；

当x>1时，由3x-2≤4，得1<x≤2.

综上，不等式f(x)≤4的解集为.

(2)f(x)=|x|＋2|x-a|=

可见，f(x)在(-∞，a]上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增．

当x=a时，f(x)取得最小值a.

若f(x)≥4恒成立，则应a≥4.

所以a的取值范围为[4，＋∞)．