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【高考复习】2020年高考数学(文数) 圆锥曲线 大题练(含答案解析)
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圆锥曲线 大题练
1.已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点F,E上一点(3,m)到焦点的距离为4.
(1)求抛物线E的方程;
(2)过F作直线l,交抛物线E于A,B两点,若直线AB中点的纵坐标为-1,求直线l的方程.
2.已知椭圆(a>b>0)的离心率为,且经过点P(1,1.5),过它的两个焦点F1,F2分别作直线l1与l2,l1交椭圆于A,B两点,l2交椭圆于C,D两点,且l1⊥l2.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)求四边形ACBD的面积S的取值范围.
3.已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为,点(2,)在C上.
(1)求C的方程;
(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M,证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.
4.已知椭圆的中心是坐标原点O,焦点在x轴上,短轴长为2,且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点.过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P,Q两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)在线段OF上是否存在点M(m,0),使得|MP|=|MQ|?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
5.在平面直角坐标系中,直线x-y+m=0不过原点,且与椭圆+=1有两个不同的公共点A,B.
(1)求实数m的取值所组成的集合M;
(2)是否存在定点P使得任意的m∈M,都有直线PA,PB的倾斜角互补?若存在,求出所有定点P的坐标;若不存在,请说明理由.
6.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为4,P是椭圆C上的点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)O为坐标原点,A,B是椭圆C上不关于坐标轴对称的两点,设=+,
证明:直线AB的斜率与OD的斜率的乘积为定值.
7.如图,椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点与上顶点分别为A,B,右焦点为F,点P在椭圆C上,且PF⊥x轴,若AB∥OP,且|AB|=2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知Q是C上不同于长轴端点的任意一点,在x轴上是否存在一点D,使得直线QA与QD的斜率乘积恒为-,若存在,求出点D的坐标,若不存在,说明理由.
8.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.
(1)求l的方程;
(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.
答案解析
1.解:
(1)抛物线E:y2=2px(p>0)的准线方程为x=-,
由抛物线的定义可知3- =4,
解得p=2,∴抛物线E的方程为y2=4x.
(2)法一:由(1)得抛物线E的方程为y2=4x,焦点F(1,0),
设A,B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),
则两式相减,整理得 =(x1≠x2).
∵线段AB中点的纵坐标为-1,
∴直线l的斜率kAB===-2,
∴直线l的方程为y-0=-2(x-1),即2x+y-2=0.
法二:由(1)得抛物线E的方程为y2=4x,焦点F(1,0),
设直线l的方程为x=my+1,
由消去x,得y2-4my-4=0.
设A,B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),
∵线段AB中点的纵坐标为-1,
∴==-1,解得m=-,
∴直线l的方程为x=-y+1,即2x+y-2=0.
2.解:
3.解:
4.解:
5.解:
(1)因为直线x-y+m=0不过原点,所以m≠0.
将x-y+m=0与+=1联立,消去y,
得4x2+2mx+m2-4=0.
因为直线与椭圆有两个不同的公共点A,B,所以Δ=8m2-16(m2-4)>0,
所以-2<m<2.
故实数m的取值所组成的集合M为(-2,0)∪(0,2).
(2)假设存在定点P(x0,y0)使得任意的m∈M,都有直线PA,PB的倾斜角互补,
即kPA+kPB=0.
令A(x1,x1+m),B(x2,x2+m),则+=0,
整理得2x1x2+(m-x0-y0)(x1+x2)+2x0(y0-m)=0.(*)
由(1)知x1+x2=-,x1x2=,
代入(*)式化简得m+2(x0y0-)=0,则
解得或
所以定点P的坐标为(1,)或(-1,-).经检验,此两点均满足题意.
故存在定点P使得任意的m∈M,都有直线PA,PB的倾斜角互补,
且定点P的坐标为(1,)或(-1,-).
6.解:
(1)由题意知2c=4,即c=2,则椭圆C的方程为+=1,
因为点P在椭圆C上,所以+=1,
解得a2=5或a2=(舍去),
所以椭圆C的方程为+y2=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2且x1+x2≠0,由+=,
得D(x1+x2,y1+y2),
所以直线AB的斜率kAB=,直线OD的斜率kOD=,
由得(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0,
即·=-,所以kAB·kOD=-.
故直线AB的斜率与OD的斜率的乘积为定值-.
7.解:
(1)由题意得A(-a,0),B(0,b),可设P(c,t)(t>0),
∴+=1,得t=,即P,
由AB∥OP得=,即b=c,∴a2=b2+c2=2b2,①
又|AB|=2,∴a2+b2=12,②
由①②得a2=8,b2=4,∴椭圆C的方程为+=1.
(2)假设存在D(m,0),使得直线QA与QD的斜率乘积恒为-,
设Q(x0,y0)(y0≠0),则+=1,③
∵kQA·kQD=-,A(-2,0),∴·=-(x0≠m),④
由③④得(m-2)x0+2m-8=0,即解得m=2,
∴存在点D(2,0),使得kQA·kQD=-.
8.解:
(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0).
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.
Δ=16k2+16>0,故x1+x2=.
所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=.
由题设知=8,解得k=1或k=-1(舍去).
因此l的方程为y=x-1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),
所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),
即y=-x+5.
设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),
则
解得或
因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.