【高考复习】2020年高考数学(文数) 函数模型及其应用 小题练（含答案解析）

【高考复习】2020年高考数学(文数) 函数模型及其应用

小题练

一         、选择题

1.函数f(x)=ex＋2x-3的零点所在的一个区间为(　　)

A．(-1，0)         B．0，0.5          C.0.5，1          D．1，1.5

2.函数f(x)=ln 2x-1的零点所在区间为(　　)

A．(2，3)        B．(3，4)         C．(0，1)         D．(1，2)

3.已知函数f(x)=mx2＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是(　　)

A．(0，1)            B．(0，1]        C．(－∞，1)         D．(－∞，1]

4.根据表格中的数据，可以判定方程ex﹣x﹣2=0的一个根所在的区间为(　　)                                          

A.(﹣1，0)                B.(0，1)                       C.(1，2)                       D.(2，3)

5.方程log2x+x=3的解所在区间是(  )                                         

A.(0，1)       B.(1，2)             C.(3，+∞)          D.[2，3)

6.当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是(　　)

A．8           B．9           C．10             D．11

7.某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y=ekx＋b(e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是(　　)

A．16小时         B．20小时       C．24小时        D．28小时

8.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(　　)(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)

A．2018年       B．2019年       C．2020年       D．2021年

9.某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，表格是某公司前5天监测到的数据：

则下列函数模型中能较好地反映在第x天被感染的数量y与x之间的关系的是(　　)

A．y=12x       B．y=6x2－6x＋12      C．y=6·2x      D．y=12log2x＋12

10.设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20 min，在乙地休息10 min后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30 min，则小王从出发到返回原地所经过的路程y与其所用的时间x的函数的图象为(　　)

11.设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋2)=f(2-x)，当x∈[-2，0]时，f(x)=x-1，

则在区间(-2，6)上关于x的方程f(x)-log8(x＋2)=0的解的个数为(　　)

A．1          B．2            C．3             D．4

12.某公司为了实现1000万元销售利润的目标，准备制订一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按照销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x的增加而增加，但奖金不超过5万元，同时奖金不超过销售利润的25%，则下列函数最符合要求的是(　　)

A．y=x        B．y=lg x＋1       C．y=x         D．y=

二         、填空题

13.函数f(x)=有两个不同的零点，则实数a的取值范围为________．

14.已知f(x)=x2＋(a2-1)x＋(a-2)的一个零点比1大，一个零点比1小，则实数a的取值范围是________．

15.已知a＞0，函数f(x)=若关于x的方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是________．

16.已知某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3000元时，这70套公寓房能全部租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租．设已出租的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设没有出租的房子不需要花这些费用)，则要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为________元．

17.调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定，驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2 mg/mL.某人喝酒后，其血液中酒精含量将上升到3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时50%的速度减少，则至少经过________小时他才可以驾驶机动车．(精确到小时)

18.已知一容器中有A，B两种菌，且在任何时刻A，B两种菌的个数乘积为定值1010，为了简单起见，科学家用PA=lg (nA)来记录A菌个数的资料，其中nA为A菌的个数，现有以下几种说法：

①PA≥1；

②若今天的PA值比昨天的PA值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多了10个；

③假设科学家将B菌的个数控制为5万个，则此时5＜PA＜5.5.

其中正确的说法为________．(写出所有正确说法的序号)

答案解析

1.答案为：C；

2.答案为：D；

解析：

由f(x)=ln 2x-1，得函数是增函数，并且是连续函数，f(1)=ln 2-1<0，f(2)=ln 4-1>0，

根据函数零点存在性定理可得，函数f(x)的零点位于区间(1，2)上，故选D.

3.答案为：D；

解析：选D.令m=0，由f(x)=0得x=，满足题意，可排除选项A，B.令m=1，

由f(x)=0得x=1，满足题意，排除选项C.故选D.

4.C.

解析：令f(x)=ex﹣x﹣2，由图表知，f(1)=2.72﹣3=﹣0.28＜0，f(2)=7.39﹣4=3.39＞0，

方程ex﹣x﹣2=0的一个根所在的区间为  (1，2)，

5.D.

6.答案为：C；

解析：

设死亡生物体内原有的碳14含量为1，则经过n(n∈N*)个“半衰期”后的含量为n，

由n＜得n≥10.所以，若探测不到碳14含量，则至少经过了10个“半衰期”．故选C.

7.答案为：C；

解析：

由题意得即

所以该食品在33 ℃的保鲜时间是y=e33k＋b=(e11k)3·eb=3×192=24(小时)．

8.答案为：B；

解析：

设第n(n∈N*)年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元．

根据题意得130(1＋12%)n－1>200，则lg [130(1＋12%)n－1]>lg 200，

∴lg 130＋(n－1)·lg 1.12>lg 2＋2，

∴2＋lg 1.3＋(n－1)lg 1.12>lg 2＋2，

∴0.11＋(n－1)×0.05>0.30，解得n>.

又∵n∈N*，∴n≥5，

∴该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年．故选B.

9.答案为：C；

解析：

由表格可知，每一天的计算机被感染台数大约是前一天的2倍，

故增长速度符合指数型函数，故选C.

10.答案为：D；

解析：

由题意知小王在0～20 min，30～60 min这两段时间运动的路程都在不断增加，

在20～30 min时，运动的路程不变．故选D.

11.答案为：C；

解析：

原方程等价于y=f(x)与y=log8(x＋2)的图象的交点个数问题，由f(x＋2)=f(2-x)，

可知f(x)的图象关于x=2对称，再根据f(x)是偶函数这一性质，

可由f(x)在[-2，0]上的解析式，作出f(x)在(0，2)上的图象，

进而作出f(x)在(-2，6)上的图象，如图所示．

再在同一坐标系下，画出y=log8(x＋2)的图象，注意其图象过点(6，1)，由图可知，

两图象在区间(-2，6)内有三个交点，从而原方程有三个根，故选C.

12.答案为：B；

解析：

由题意知，x∈[10，1000]，符合公司要求的模型需同时满足：

①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x·25%.对于y=x，

易知满足①，但当x>20时，y>5，不满足要求；对于y=x，易知满足①，

因为4>5，故当x>4时，不满足要求；对于y=，易知满足①，

但当x>25时，y>5，不满足要求；对于y=lg x＋1，易知满足①，

当x∈[10，1000]时，2≤y≤4，满足②，再证明lg x＋1≤x·25%，即4lg x＋4－x≤0，

设F(x)=4lg x＋4－x，则F′(x)=－1<0，x∈[10，1000]，

所以F(x)为减函数，F(x)max=F(10)=4lg 10＋4－10=－2<0，满足③，故选B.

13.答案为：；

解析：

由于当x≤0时，f(x)=|x2＋2x-1|的图象与x轴只有1个交点，即只有1个零点，

故由题意只需方程2x-1＋a=0有1个正根即可，变形为2x=-2a，

结合图形只需-2a>1⇒a<-即可．

14.答案为：(-2，1)；

解析：

函数f(x)的大致图象如图所示，则f(1)<0，即1＋(a2-1)＋a-2<0，得-2<a<1.故实数a的取值范围是(-2，1)．

15.答案为：(4，8)；

解析：当x≤0时，由x2＋2ax＋a=ax，得a=－x2－ax；

当x＞0时，由－x2＋2ax－2a=ax，得2a=－x2＋ax.

令g(x)=作出直线y=a，y=2a，函数g(x)的图象如图所示，

g(x)的最大值为－＋=，由图象可知，若f(x)=ax恰有2个互异的实数解，

则a＜＜2a，得4＜a＜8.

16.答案为：3300；

解析：

设利润为y元，租金定为3000＋50x(0≤x≤70，x∈N)元．

则y=(3000＋50x)(70－x)－100(70－x)=(2900＋50x)(70－x)

=50(58＋x)(70－x)≤502，

当且仅当58＋x=70－x，即x=6时，等号成立，

故每月租金定为3000＋300=3300(元)时，公司获得最大利润．

17.答案为：4；

解析：

设n小时后他才可以驾驶机动车，由题意得3(1－0.5)n≤0.2，即2n≥15，

故至少经过4小时他才可以驾驶机动车．

18.答案为：③；

解析：当nA=1时PA=0，故①错误；

若PA=1，则nA=10，若PA=2，则nA=100，故②错误；

设B菌的个数为nB=5×104，∴nA==2×105，∴PA=lg(nA)=lg 2＋5.

又∵lg 2≈0.3，∴5＜PA＜5.5，故③正确．