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【高考复习】2020年高考数学(文数) 函数模型及其应用 小题练(含答案解析)
展开【高考复习】2020年高考数学(文数) 函数模型及其应用
小题练
一 、选择题
1.函数f(x)=ex+2x-3的零点所在的一个区间为( )
A.(-1,0) B.0,0.5 C.0.5,1 D.1,1.5
2.函数f(x)=ln 2x-1的零点所在区间为( )
A.(2,3) B.(3,4) C.(0,1) D.(1,2)
3.已知函数f(x)=mx2+(m-3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧,则实数m的取值范围是( )
A.(0,1) B.(0,1] C.(-∞,1) D.(-∞,1]
4.根据表格中的数据,可以判定方程ex﹣x﹣2=0的一个根所在的区间为( )
A.(﹣1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)
5.方程log2x+x=3的解所在区间是( )
A.(0,1) B.(1,2) C.(3,+∞) D.[2,3)
6.当生物死亡后,其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时,用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到,则它经过的“半衰期”个数至少是( )
A.8 B.9 C.10 D.11
7.某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )
A.16小时 B.20小时 C.24小时 D.28小时
8.某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)
A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年
9.某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的,表格是某公司前5天监测到的数据:
则下列函数模型中能较好地反映在第x天被感染的数量y与x之间的关系的是( )
A.y=12x B.y=6x2-6x+12 C.y=6·2x D.y=12log2x+12
10.设甲、乙两地的距离为a(a>0),小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20 min,在乙地休息10 min后,他又以匀速从乙地返回到甲地用了30 min,则小王从出发到返回原地所经过的路程y与其所用的时间x的函数的图象为( )
11.设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+2)=f(2-x),当x∈[-2,0]时,f(x)=x-1,
则在区间(-2,6)上关于x的方程f(x)-log8(x+2)=0的解的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
12.某公司为了实现1000万元销售利润的目标,准备制订一个激励销售人员的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按照销售利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随销售利润x的增加而增加,但奖金不超过5万元,同时奖金不超过销售利润的25%,则下列函数最符合要求的是( )
A.y=x B.y=lg x+1 C.y=x D.y=
二 、填空题
13.函数f(x)=有两个不同的零点,则实数a的取值范围为________.
14.已知f(x)=x2+(a2-1)x+(a-2)的一个零点比1大,一个零点比1小,则实数a的取值范围是________.
15.已知a>0,函数f(x)=若关于x的方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解,则a的取值范围是________.
16.已知某房地产公司计划出租70套相同的公寓房.当每套房月租金定为3000元时,这70套公寓房能全部租出去;当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍),就会多一套房子不能出租.设已出租的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设没有出租的房子不需要花这些费用),则要使公司获得最大利润,每套房月租金应定为________元.
17.调查表明,酒后驾驶是导致交通事故的主要原因,交通法规规定,驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2 mg/mL.某人喝酒后,其血液中酒精含量将上升到3 mg/mL,在停止喝酒后,血液中酒精含量以每小时50%的速度减少,则至少经过________小时他才可以驾驶机动车.(精确到小时)
18.已知一容器中有A,B两种菌,且在任何时刻A,B两种菌的个数乘积为定值1010,为了简单起见,科学家用PA=lg (nA)来记录A菌个数的资料,其中nA为A菌的个数,现有以下几种说法:
①PA≥1;
②若今天的PA值比昨天的PA值增加1,则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多了10个;
③假设科学家将B菌的个数控制为5万个,则此时5<PA<5.5.
其中正确的说法为________.(写出所有正确说法的序号)
答案解析
1.答案为:C;
2.答案为:D;
解析:
由f(x)=ln 2x-1,得函数是增函数,并且是连续函数,f(1)=ln 2-1<0,f(2)=ln 4-1>0,
根据函数零点存在性定理可得,函数f(x)的零点位于区间(1,2)上,故选D.
3.答案为:D;
解析:选D.令m=0,由f(x)=0得x=,满足题意,可排除选项A,B.令m=1,
由f(x)=0得x=1,满足题意,排除选项C.故选D.
4.C.
解析:令f(x)=ex﹣x﹣2,由图表知,f(1)=2.72﹣3=﹣0.28<0,f(2)=7.39﹣4=3.39>0,
方程ex﹣x﹣2=0的一个根所在的区间为 (1,2),
5.D.
6.答案为:C;
解析:
设死亡生物体内原有的碳14含量为1,则经过n(n∈N*)个“半衰期”后的含量为n,
由n<得n≥10.所以,若探测不到碳14含量,则至少经过了10个“半衰期”.故选C.
7.答案为:C;
解析:
由题意得即
所以该食品在33 ℃的保鲜时间是y=e33k+b=(e11k)3·eb=3×192=24(小时).
8.答案为:B;
解析:
设第n(n∈N*)年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元.
根据题意得130(1+12%)n-1>200,则lg [130(1+12%)n-1]>lg 200,
∴lg 130+(n-1)·lg 1.12>lg 2+2,
∴2+lg 1.3+(n-1)lg 1.12>lg 2+2,
∴0.11+(n-1)×0.05>0.30,解得n>.
又∵n∈N*,∴n≥5,
∴该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年.故选B.
9.答案为:C;
解析:
由表格可知,每一天的计算机被感染台数大约是前一天的2倍,
故增长速度符合指数型函数,故选C.
10.答案为:D;
解析:
由题意知小王在0~20 min,30~60 min这两段时间运动的路程都在不断增加,
在20~30 min时,运动的路程不变.故选D.
11.答案为:C;
解析:
原方程等价于y=f(x)与y=log8(x+2)的图象的交点个数问题,由f(x+2)=f(2-x),
可知f(x)的图象关于x=2对称,再根据f(x)是偶函数这一性质,
可由f(x)在[-2,0]上的解析式,作出f(x)在(0,2)上的图象,
进而作出f(x)在(-2,6)上的图象,如图所示.
再在同一坐标系下,画出y=log8(x+2)的图象,注意其图象过点(6,1),由图可知,
两图象在区间(-2,6)内有三个交点,从而原方程有三个根,故选C.
12.答案为:B;
解析:
由题意知,x∈[10,1000],符合公司要求的模型需同时满足:
①函数为增函数;②函数的最大值不超过5;③y≤x·25%.对于y=x,
易知满足①,但当x>20时,y>5,不满足要求;对于y=x,易知满足①,
因为4>5,故当x>4时,不满足要求;对于y=,易知满足①,
但当x>25时,y>5,不满足要求;对于y=lg x+1,易知满足①,
当x∈[10,1000]时,2≤y≤4,满足②,再证明lg x+1≤x·25%,即4lg x+4-x≤0,
设F(x)=4lg x+4-x,则F′(x)=-1<0,x∈[10,1000],
所以F(x)为减函数,F(x)max=F(10)=4lg 10+4-10=-2<0,满足③,故选B.
13.答案为:;
解析:
由于当x≤0时,f(x)=|x2+2x-1|的图象与x轴只有1个交点,即只有1个零点,
故由题意只需方程2x-1+a=0有1个正根即可,变形为2x=-2a,
结合图形只需-2a>1⇒a<-即可.
14.答案为:(-2,1);
解析:
函数f(x)的大致图象如图所示,则f(1)<0,即1+(a2-1)+a-2<0,得-2<a<1.故实数a的取值范围是(-2,1).
15.答案为:(4,8);
解析:当x≤0时,由x2+2ax+a=ax,得a=-x2-ax;
当x>0时,由-x2+2ax-2a=ax,得2a=-x2+ax.
令g(x)=作出直线y=a,y=2a,函数g(x)的图象如图所示,
g(x)的最大值为-+=,由图象可知,若f(x)=ax恰有2个互异的实数解,
则a<<2a,得4<a<8.
16.答案为:3300;
解析:
设利润为y元,租金定为3000+50x(0≤x≤70,x∈N)元.
则y=(3000+50x)(70-x)-100(70-x)=(2900+50x)(70-x)
=50(58+x)(70-x)≤502,
当且仅当58+x=70-x,即x=6时,等号成立,
故每月租金定为3000+300=3300(元)时,公司获得最大利润.
17.答案为:4;
解析:
设n小时后他才可以驾驶机动车,由题意得3(1-0.5)n≤0.2,即2n≥15,
故至少经过4小时他才可以驾驶机动车.
18.答案为:③;
解析:当nA=1时PA=0,故①错误;
若PA=1,则nA=10,若PA=2,则nA=100,故②错误;
设B菌的个数为nB=5×104,∴nA==2×105,∴PA=lg(nA)=lg 2+5.
又∵lg 2≈0.3,∴5<PA<5.5,故③正确.