【高考复习】2020年高考数学(文数) 导数的简单应用 小题练（含答案解析）
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导数的简单应用 小题练
一 、选择题
1.已知函数f(x)的导函数f′(x)=ax2＋bx＋c的图象如图所示，则f(x)的图象可能是( )
2.已知对任意实数x，都有f(－x)=－f(x)，g(－x)=g(x)，且x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时( )
A．f′(x)>0，g′(x)>0 B．f′(x)>0，g′(x)<0
C．f′(x)<0，g′(x)>0 D．f′(x)<0，g′(x)<0
3.已知a为函数f(x)=x3－12x的极小值点，则a=( )
A．－4 B．－2 C．4 D．2
4.已知函数f(x)的导函数f′(x)满足下列条件：
①f′(x)>0时，x<-1或x>2；
②f′(x)<0时，-1<x<2；
③f′(x)=0时，x=-1或x=2.
则函数f(x)的大致图象是( )
5.已知直线2x-y＋1=0与曲线y=aex＋x相切(其中e为自然对数的底数)，则实数a的值是( )
A.0.5 B．1 C．2 D．e
6.已知函数f(x)=x3＋ax2＋bx＋a2在x=1处的极值为10，则数对(a，b)为( )
A．(-3,3) B．(-11,4) C．(4，-11) D．(-3,3)或(4，-11)
7.函数f(x)(x>0)的导函数为f′(x)，若xf′(x)＋f(x)=ex，且f(1)=e，则( )
A．f(x)的最小值为e B．f(x)的最大值为e
C．f(x)的最小值为 D．f(x)的最大值为
8.函数f(x)=x－ln x的单调递增区间为( )
A．(－∞，0) B．(0，1) C．(1，＋∞) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
9.若函数y=在(1，＋∞)上单调递减，则称f(x)为P函数．下列函数中为P函数的为( )
①f(x)=1；②f(x)=x；③f(x)=；④f(x)=.
A．①②④ B．①③ C．①③④ D．②③
10.求形如y=f(x)g(x)的函数的导数，我们常采用以下做法：先两边同取自然对数得ln y=g(x)ln f(x)，再两边同时求导得y′=g′(x)ln f(x)＋g(x)f′(x)，于是得到y′=f(x)g(x)g′(x)ln f(x)＋g(x)f′(x)，运用此方法求得函数y=x的单调递增区间是( )
A．(e，4) B．(3，6) C．(0，e) D．(2，3)
11.函数f(x)=ax＋x2－xln a(a>0，a≠1)，若函数g(x)=|f(x)－t|－2有三个零点，则实数t=( )
A．3 B．2 C．1 D．0
12.已知f(x)=x2＋ax＋3ln x在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围为( )
A．(-∞，-2] B. C．[-2，＋∞) D．[-5，＋∞)
二 、填空题
13.已知a∈R，设函数f(x)=ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．
14.已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)=ln (－x)＋3x，则曲线y=f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________．
15.已知函数f(x)=x2-5x＋2ln x，则函数f(x)的单调递增区间是________．
16.若函数f(x)=x＋aln x不是单调函数，则实数a的取值范围是________．
17.已知过点P(2，－2)的直线l与曲线y=x3－x相切，则直线l的方程为________．
18.已知函数f(x)=x3－2x＋ex－，其中e是自然对数的底数．若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是________．
答案解析
1.答案为：D；
解析：
当x<0时，由导函数f′(x)=ax2＋bx＋c<0，知相应的函数f(x)在该区间内单调递减；
当x>0时，由导函数f′(x)=ax2＋bx＋c的图象可知，导函数在区间(0，x1)内的值是大于0的，
则在此区间内函数f(x)单调递增．只有选项D符合题意．
2.答案为：B；
解析：
由题意知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数．当x>0时，f(x)，g(x)都单调递增，
则当x<0时，f(x)单调递增，g(x)单调递减，即f′(x)>0，g′(x)<0.
3.答案为：D；
4.答案为：A；
根据条件知，函数f(x)在(-1,2)上是减函数．在(-∞，-1)，(2，＋∞)上是增函数，故选A.
5.答案为：B；
由题意知y′=aex＋1=2，则a>0，x=-ln a，代入曲线方程得y=1- ln a，
所以切线方程为y-(1-ln a)=2(x＋ln a)，即y=2x＋ln a＋1=2x＋1⇒a=1.
6.答案为：C；
f′(x)=3x2＋2ax＋b，依题意可得
即消去b可得a2-a-12=0，
解得a=-3或a=4，故或当时，
f′(x)=3x2-6x＋3=3(x-1)2≥0，这时f(x)无极值，不合题意，舍去，故选C.
7.答案为：A；
设g(x)=xf(x)-ex，所以g′(x)=f(x)＋xf′(x)-ex=0，所以g(x)=xf(x)-ex为常数函数．
因为g(1)=1×f(1)-e=0，所以g(x)=xf(x)-ex=g(1)=0，所以f(x)=，f′(x)=，
当0<x<1时，f′(x)<0，当x>1时，f′(x)>0，所以f(x)≥f(1)=e.
8.答案为：C；
解析：函数的定义域为(0，＋∞)．f′(x)=1－，令f′(x)>0，得x>1.故选C.
9.答案为：B；
解析：
x∈(1，＋∞)时，ln x>0，x增大时，，都减小，
∴y=，y=在(1，＋∞)上都是减函数，∴f(x)=1和f(x)=都是P函数；
′=，∴x∈(1，e)时，′<0，x∈(e，＋∞)时，′>0，
即y=在(1，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，∴f(x)=x不是P函数；
′=，∴x∈(1，e2)时，′<0，x∈(e2，＋∞)时，′>0，
即y=在(1，e2)上单调递减，在(e2，＋∞)上单调递增，
∴f(x)=不是P函数．故选B.
10.答案为：C；
解析：
由题意知y′=x·－·ln x＋=x·(x>0)，令y′>0，得1－ln x>0，∴0<x<e，
∴函数y=x的单调递增区间为(0，e)．故答案是C.
11.答案为：A；
解析：
由题可得f′(x)=2x＋(ax－1)ln a，设y=2x＋(ax－1)ln a，则y′=2＋axln2a>0，
则知f′(x)在R上单调递增，而由f′(0)=0，可知f(x)在(－∞，0)上单调递减，
在(0，＋∞)上单调递增，故f(x)的最小值为f(0)=1，
又g(x)=|f(x)－t|－2有三个零点，所以f(x)=t±2有三个根，而t＋2>t－2，
故t－2=f(x)min=f(0)=1，解得t=3，故选A.
12.答案为：C；
由题意得f′(x)=2x＋a＋=≥0在(1，＋∞)上恒成立
⇔g(x)=2x2＋ax＋3≥0在(1，＋∞)上恒成立
⇔Δ=a2-24≤0或
⇔-2≤a≤2或
⇔a≥-2，故选C.
13.答案为：1；
解析：
由题意可知f′(x)=a－，所以f′(1)=a－1，因为f(1)=a，所以切点坐标为(1，a)，
所以切线l的方程为y－a=(a－1)(x－1)，即y=(a－1)x＋1.令x=0，得y=1，
即直线l在y轴上的截距为1.
14.答案为：y=－2x－1；
解析：
令x>0，则－x<0，f(－x)=ln x－3x，又f(－x)=f(x)，∴f(x)=ln x－3x(x>0)，
则f′(x)=－3(x>0)，∴f′(1)=－2，
∴在点(1，－3)处的切线方程为y＋3=－2(x－1)，即y=－2x－1.
15.答案为：和(2，＋∞)；
解析：函数f(x)=x2-5x＋2ln x的定义域是(0，＋∞)，
令f′(x)=2x-5＋==>0，解得0<x<或x>2，
故函数f(x)的单调递增区间是和(2，＋∞)．
16.答案为：(-∞，0)；
解析：由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)=1＋，
要使函数f(x)=x＋aln x不是单调函数，
则需方程1＋=0在(0，＋∞)上有解，即x=-a，∴a<0.
17.答案为：y=8x－18或y=－x；
解析：设切点为(m，n)，因为y′=x2－1，所以
解得或
所以切线的斜率为8或－1，所以切线方程为y=8x－18或y=－x.
18.答案为：(－1，0.5)；
解析：易知函数f(x)的定义域关于原点对称．
∵f(x)=x3－2x＋ex－，∴f(－x)=(－x)3－2(－x)＋e－x－=－x3＋2x＋－ex=－f(x)，
∴f(x)为奇函数，
又f′(x)=3x2－2＋ex＋≥3x2－2＋2=3x2≥0(当且仅当x=0时，取“=”)，
从而f(x)在R上单调递增，
所以f(a－1)＋f(2a2)≤0⇔f(a－1)≤f(－2a2)⇔－2a2≥a－1，解得－1≤a≤0.5.
