【高考冲刺】2020年高考数学(理数) 排列组合与二项式定理小题练（含答案解析）

【高考复习】2020年高考数学(理数)

排列组合与二项式定理小题练

一         、选择题

1.5名大人带2个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，则不同的排法种数有(　　)

A．AA种           B．AA种           C．AA种           D．(A－4A)种

2.6本不同的书在书架上摆成一排，要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有(　　)

A．24种           B．36种           C．48种           D．60种

3.已知A，B，C，D四个家庭各有2名小孩，四个家庭准备乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名小孩(乘同一辆车的4名小孩不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩中恰有2名来自同一个家庭的乘坐方式共有(　　)

A．18种           B．24种         C．36种           D．48种

4.将甲、乙、丙、丁4名学生分配到三个不同的班，每个班至少1名，则不同分配方法的种数为(　　)

A．18          B．24           C．36          D．72

5.若(1－3x)2 018=a0＋a1x＋…＋a2 018x2 018，x∈R，则a1·3＋a2·32＋…＋a2 018·32 018的值为(　　)

A．22 018－1          B．82 018－1        C．22 018          D．82 018

6. (1－3x)7的展开式的第4项的系数为(　　)

A．－27C           B．－81C           C．27C          D．81C

7.若二项式n展开式中的第5项是常数，则自然数n的值为(　　)

A．6            B．10           C．12            D．15

8. (x－y)(x＋2y＋z)6的展开式中，x2y3z2的系数为(　　)

A．－30            B．120         C．240             D．420

9.将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有(　　)

A．18种            B．24种          C．36种            D．72种

10.某中学高一学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现从中任选3人，要求这三人不能全是同一个班的学生，且在三班至多选1人，则不同选法的种数为(　　)

A．484           B．472           C．252           D．232

11.若(x－2y)6的展开式中的二项式系数和为S，x2y4的系数为P，则为(　　)

A.            B．           C．120         D．240

12.已知(x＋2)9=a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则(a1＋3a3＋5a5＋7a7＋9a9)2－(2a2＋4a4＋6a6＋8a8)2的值为(　　)

A．39            B．310                   C．311             D．312

二         、填空题

13.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写答案)

14.某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法有________种(用数字作答)．

15.已知集合M={1，－2,3}，N={－4,5,6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中，第一、二象限不同点的个数为________．

16.现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张,则不同取法的种数为　　　　. 

17.9的展开式中x3的系数为－84，则展开式的各项系数之和为________．

18.5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含x4项的系数为________．

19.在二项式5的展开式中，若常数项为－10，则a=________.

20.在多项式(1＋2x)6(1＋y)5的展开式中，xy3的系数为________．

21.用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答)

22.设a，b，c∈{1,2,3,4,5,6}，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三角形有________个．

23.5的展开式中x2的系数是________．

24.已知(1－2x)5(1＋ax)4的展开式中x的系数为2，则实数a的值为________．

答案解析

1.答案为：A；

解析：首先5名大人先排队，共有A种排法，然后把2个小孩插进中间的4个空中，

共有A种排法，根据分步乘法计数原理，共有AA种排法，故选A.

2.答案为：A；

解析：由题意知将甲、乙两本书放在两端有A种放法，将丙、丁两本书捆绑，与剩余的两本书排列，

有A种放法，将相邻的丙、丁两本书排列，有A种放法，

所以不同的摆放方法有A×A×A=24(种)，故选A.

3.答案为：B；

解析：若A家庭的孪生姐妹乘坐甲车，则甲车中另外2名小孩来自不同的家庭，有CCC=12种乘坐方式，若A家庭的孪生姐妹乘坐乙车，则甲车中来自同一个家庭的2名小孩来自B，C，D家庭中的一个，有CCC=12种乘坐方式，所以共有12＋12=24种乘坐方式，故选B.

4.答案为：C；

解析：将4人分成三组，有C=6种方法，再将三组同学分配到三个班级有A=6种分配方法，

依据分步乘法计数原理可得不同分配方法有6×6=36(种)，故选C.

5.答案为：B；

由已知，令x=0，得a0=1，令x=3，得a0＋a1·3＋a2·32＋…＋a2 018·32 018=(1－9)2 018=82 018，

所以a1·3＋a2·32＋…＋a2 018·32 018=82 018－a0=82 018－1，故选B.

6.答案为：A；

解析：(1－3x)7的展开式的第4项为T3＋1=C×17－3×(－3x)3=－27Cx3，其系数为－27C，选A.

7.答案为：C；

解析：由二项式n展开式的第5项C()n－44=是常数项，

可得－6=0，解得n=12.

8.答案为：B；

解析：[(x＋2y)＋z]6的展开式中含z2的项为C(x＋2y)4z2，(x＋2y)4的展开式中xy3项的系数为C×23，x2y2项的系数为C×22，∴(x－y)(x＋2y＋z)6的展开式中x2y3z2的系数为CC×23－CC×22=480－360=120，故选B.

9.答案为：C.

解析：不同的分配方案可分为以下两种情况：

①甲、乙两人在一个路口，其余三人分配在另外的两个路口，其不同的分配方案有CA=18(种)；

②甲、乙所在路口分配三人，另外两个路口各分配一个人，其不同的分配方案有CA=18(种)．

由分类加法计数原理可知不同的分配方案共有18＋18=36(种)．

10.答案为：B.

解析：若三班有1人入选，则另两人从三班以外的12人中选取，共有CC=264(种)选法．

若三班没有人入选，则要从三班以外的12人中选3人，又这3人不能全来自同一个班，

故有C－3C=208(种)选法．故总共有264＋208=472(种)不同的选法．

11.答案为：B；

解析：由题意知，S=C＋C＋…＋C=26=64，P=C(－2)4=15×16=240，故==.故选B.

12.答案为：D；

解析：由题意得，因为(x＋2)9=a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，两边同时求导，

可得9(x＋2)8=a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋9a9x8，令x=1，得a1＋2a2＋3a3＋…＋9a9=310，

令x=－1，得a1－2a2＋3a3－4a4＋…＋9a9=9，

又(a1＋3a3＋5a5＋7a7＋9a9)2－(2a2＋4a4＋6a6＋8a8)2

=(a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＋6a6＋7a7＋8a8＋9a9)·

(a1－2a2＋3a3－4a4＋5a5－6a6＋7a7－8a8＋9a9)=310×9=312.

13.答案为：16；

解析：法一：(直接法)按参加的女生人数可分两类：只有1位女生参加有CC种，有2位女生参加有CC种．故共有CC＋CC=2×6＋4=16(种)．

法二：(间接法)从2位女生，4位男生中选3人，共有C种情况，没有女生参加的情况有C种，故共有C－C=20－4=16(种)．

14.答案为：36；

解析：法一：第一步，选2名同学报名某个社团，有C·C=12种报法；

第二步，从剩余的3个社团里选一个社团安排另一名同学，有C·C=3种报法．

由分步乘法计数原理得共有12×3=36种报法．

法二：第一步，将3名同学分成两组，一组1人，一组2人，共C种方法；

第二步，从4个社团里选取2个社团让两组同学分别报名，共A种方法．

由分步乘法计数原理得共有C·A=36(种)．

15.答案为：14；

解析：分两类：一是以集合M中的元素为横坐标，以集合N中的元素为纵坐标有3×2=6个不同的点；二是以集合N中的元素为横坐标，以集合M中的元素为纵坐标有4×2=8个不同的点，故由分类加法计数原理得共有6＋8=14个不同的点．

16.答案为：472；

17.答案为：0；

解析：二项展开式的通项Tr＋1=Cx9－rr=arCx9－2r，令9－2r=3，得r=3，所以a3C=－84，

所以a=－1，所以二项式为9，令x=1，则(1－1)9=0，所以展开式的各项系数之和为0.

18.答案为：－48；

解析：因为展开式中各项系数的和为2，所以令x=1，得(1－a)×1=2，解得a=－1.

5展开式的通项公式为Tr＋1=C(2x)5－rr=(－1)r25－rCx5－2r，令5－2r=3，得r=1，

展开式中含x3项的系数为T2=(－1)×24C=－80，令5－2r=5，得r=0，

展开式中含x5项的系数为T1=25C=32，

所以5的展开式中含x4项的系数为－80＋32=－48.

19.答案为：－2；

解析：5的展开式的通项Tr＋1=C(ax2)5－r×r=，

令10－=0，得r=4，所以Ca5－4=－10，解得a=－2.

20.答案为：120；

解析：因为二项式(1＋2x)6的展开式中含x的项的系数为2C，二项式(1＋y)5的展开式中含y3的项的系数为C，所以在多项式(1＋2x)6(1＋y)5的展开式中，xy3的系数为2CC=120.

21.答案为：1 080；

解析：解析：分两种情况：

第一种：四位数都不是偶数的个数为：A=120(个)，

第二种：四位数中有一位为偶数的个数为CCA=960(个)，则共有1 080个．

22.答案为：27；

解析：由题意知以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，

(1)先考虑等边三角形情况

则a=b=c=1,2,3,4,5,6，此时有6个．

(2)再考虑等腰三角形情况，若a，b是腰，则a=b，

当a=b=1时，c＜a＋b=2，则c=1，与等边三角形情况重复；

当a=b=2时，c＜4，则c=1,3(c=2的情况等边三角形已经讨论了)，此时有2个；

当a=b=3时，c＜6，则c=1,2,4,5，此时有4个；

当a=b=4时，c＜8，则c=1,2,3,5,6，此时有5个；

当a=b=5时，c＜10，有c=1,2,3,4,6，此时有5个；

当a=b=6时，c＜12，有c=1,2,3,4,5，此时有5个；

由分类加法计数原理知有2＋4＋5＋5＋5＋6=27(个)．

23.答案为：120；

解析：在5的展开式中，含x2的项为2C4,23C2，

所以在这几项的展开式中x2的系数和为2CC＋23CC=40＋80=120.

24.答案为：3；

解析：因为(1－2x)5的展开式中的常数项为1，x的系数为C×(－2)=－10；

(1＋ax)4的展开式中的常数项为1，x的系数为C·a=4a，

所以(1－2x)5(1＋ax)4的展开式中x的系数为1×4a＋1×(－10)=2，所以a=3.