2021年高考数学考前30天《大题专练》精选题六(含答案详解)

2021年高考数学考前30天

《大题专练》精选题六

1.已知的内角所对的边分别为，满足．

（1）若，求角；

（2）若，试判断的形状．

2.已知{an}的前n项和．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）求数列的前n项和Tn．

3.某钢铁加工厂新生产一批钢管，为了了解这批产品的质量状况，检验员随机抽取了件钢管作为样本进行检测，将它们的内径尺寸作为质量指标值，由检测结果得如下频率分布表和频率分布直方图：

（1）求，；

（2）根据质量标准规定：钢管内径尺寸大于等于或小于为不合格，钢管内径尺寸在或为合格，钢管内径尺寸在为优等．钢管的检测费用为元/根，把样本的频率分布作为这批钢管的概率分布．

（i）若从这批钢管中随机抽取根，求内径尺寸为优等钢管根数的分布列和数学期望；

（ii）已知这批钢管共有根，若有两种销售方案：

第一种方案：不再对该批剩余钢管进行检测，扣除根样品中的不合格钢管后，其余所有钢管均以元/根售出；

第二种方案：对该批钢管进行一一检测，不合格钢管不销售，并且每根不合格钢管损失元，合格等级的钢管元/根，优等钢管元/根．

请你为该企业选择最好的销售方案，并说明理由．

4.如图,已知四棱锥SABCD,底面梯形ABCD中,BC∥AD,平面SAB⊥平面ABCD,△SAB是等边三角形,已知AC=2AB=4,BC=2AD=2DC=2.

(1)求证:平面SAB⊥平面SAC;

(2)求二面角BSCA的余弦值.

5.已知椭圆C：＋=1(a＞b＞0)的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，

点D(1，1.5)在椭圆C上，直线l：y=kx＋m与椭圆C相交于A，P两点，与x轴，y轴分别相交于点N和M，且|PM|=|MN|，点Q是点P关于x轴的对称点，QM的延长线交椭圆C于点B，过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为A1，B1.

(1)求椭圆C的方程；

(2)是否存在直线l，使得点N平分线段A1B1？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.

6.已知函数f(x)=lnx-(a+2)x2-ax,(a∈R)．

（1）求函数f(x)的单调区间；

（2）若对任意x∈(0，+∞)，函数f(x)的图像不在x轴上方，求a的取值范围．

7.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数，α∈[0，π)).以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.设曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sin θ.

(1)设M(x，y)为曲线C上任意一点，求x＋y的取值范围；

(2)若直线l与曲线C交于不同的两点A，B，求|AB|的最小值.

8.已知函数f(x)=|x-a|+|x+2|.

(1)当a=1时,求不等式f(x)≤5的解集;

(2)∃x0∈R,f(x0)≤|2a+1|,求a的取值范围.

0.答案详解

1.解：（1）由余弦定理知：，

∴，

∵，∴．

（2），

由正弦定理有：，

而，∴，

即，而，

∴，∴，

∵，∴，

又由（1）知，从而，

因此为正三角形．

2.解：（1）当时，，

当时，适合上式，．

（2）解：令，所以，

，两式相减得：

，故．

3.解：（1）由题意知：，

∴，∴．

（2）（i）由（1）知，钢管内径尺寸为优等的概率为，

所有可能的取值为0，1，2，3，

，，

，，

故的分布列为

∴．

（ii）按第一种方案：，

按第二种方案：，

，

若时，，则按第一种方案，若时，，

则第一、第二方案均可，若时，，则按第二种方案，

故当时，按第一种方案，

时，第一、二种方案均可，时，按第二种方案．

4. (1)证明:在△BCA中,由于AB=2,CA=4,BC=2,

所以AB2+AC2=BC2,故AB⊥AC.

又平面SAB⊥平面ABCD,平面SAB∩平面ABCD=AB,AC⊂平面ABCD,

所以AC⊥平面SAB,

又AC⊂平面SAC,故平面SAC⊥平面SAB.

(2)解:如图,建立空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),B(2,0,0),

S(1,0,),C(0,4,0),=(1,-4,),=(-2,4,0),=(0,4,0).

设平面SBC的法向量n=(x1,y1,z1),

⇒

令y1=1,则x1=2,z1=,所以n=(2,1,).

设平面SCA的法向量m=(x2,y2,z2),⇒

令x2=-,所以m=(-,0,1).所以|cos<n,m>|==,

易知二面角BSCA的平面角为锐角,

所以二面角BSCA的余弦值为.

5.解：(1)由题意得解得，

∴椭圆C的方程为＋=1.

(2)存在这样的直线l.

∵y=kx＋m，∴M(0，m)，N，

∵|PM|=|MN|，∴P，则Q，

∴直线QM的方程为y=－3kx＋m.

设A(x1，y1)，由，得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－3)=0，

∴x1＋=－，∴x1=，

设B(x2，y2)，由，得(3＋36k2)x2－24kmx＋4(m2－3)=0.

∴x2＋=，∴x2=－，

∵点N平分线段A1B1，∴x1＋x2=－，

∴－－=－，∴k=±，

∴P(±2m,2m)，∴＋=1，解得m=±，

∵|m|=＜b=，∴直线l的方程为y=±x±.

6.解：（1）函数的定义域为，

．

当时，恒成立，函数的单调递增区间为；

当时，由，得或（舍去），

则由，得；由，得，

所以的单调递增区间为，单调递减区间为．

（2）对任意，函数的图像不在轴上方，等价于对任意，

都有恒成立，即在上．

由（1）知，当时，在上是增函数，

又，不合题意；

当时，在处取得极大值也是最大值，

所以．

令，所以．

在上，，是减函数．

又，所以要使得，须，即．

故a的取值范围为．

7.解：(1)将曲线C的极坐标方程ρcos2θ=4sin θ化为直角坐标方程，得x2=4y.

∵M(x，y)为曲线C上任意一点，

∴x＋y=x＋x2=(x＋2)2－1，

∴x＋y的取值范围是[－1，＋∞).

(2)将代入x2=4y，

得t2cos2 α－4tsin α－4=0.

∴Δ=16sin2α＋16cos2α=16>0，

设方程t2cos2α－4tsin α－4=0的两个根为t1，t2，

则t1＋t2=，t1t2=，

∴|AB|=|t1－t2|==≥4，当且仅当α=0时，取等号.

故当α=0时，|AB|取得最小值4.

8.解:(1)当a=1时,f(x)=|x-1|+|x+2|.

①当x≤-2时,f(x)=-2x-1,

令f(x)≤5,即-2x-1≤5,解得-3≤x≤-2;

②当-2<x<1时,f(x)=3;

显然f(x)≤5成立,所以-2<x<1;

③当x≥1时,f(x)=2x+1,

令f(x)≤5,即2x+1≤5,解得1≤x≤2.

综上所述,不等式的解集为{x|-3≤x≤2}.

(2)因为f(x)=|x-a|+|x+2|≥|(x-a)-(x+2)|=|a+2|,

又∃x0∈R,有f(x0)≤|2a+1|成立,

所以只需|a+2|≤|2a+1|,

所以(a+2)2≤(2a+1)2,

化简可得a2-1≥0,解得a≤-1,或a≥1.

所以a的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞).