【高考冲刺】2020年高考数学(理数) 坐标系与参数方程 大题（含答案解析）

【高考复习】2020年高考数学(理数) 坐标系与参数方程 大题

1.在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0，-)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．

(1)求α的取值范围；

(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．

2.平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α的直线l过点M(-2，-4)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cos θ.

(1)写出直线l的参数方程(α为常数)和曲线C的直角坐标方程；

(2)若直线l与C交于A，B两点，且|MA|·|MB|=40，求倾斜角α的值．

3.在直角坐标系xOy中，已知倾斜角为α的直线l过点A(2,1)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρ=2sin θ，直线l与曲线C分别交于P，Q两点．

(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)若|PQ|2=|AP|·|AQ|，求直线l的斜率k.

4.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos=3.

(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；

(2)若点M在曲线C1上，点N在曲线C2上，求|MN|的最小值及此时点M的直角坐标．

5.在平面直角坐标系xOy中，曲线C：(α为参数，t>0)．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l：ρcos=.

(1)若l与曲线C没有公共点，求t的取值范围；

(2)若曲线C上存在点到l的距离的最大值为＋，求t的值．

6.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，直线C2的方程为y=x，以O为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；

(2)若直线C2与曲线C1交于P，Q两点，求|OP|·|OQ|的值．

7.在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为(α为参数)．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos=.直线l与曲线C交于A，B两点．

(1)求直线l的直角坐标方程；

(2)设点P(1,0)，求|PA|·|PB|的值．

8.在平面直角坐标系中，直线l的参数方程是(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＋2ρsin θ-3=0.

(1)求直线l的极坐标方程；

(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|.

9.在极坐标系中，曲线C1的极坐标方程是ρ=，在以极点为原点O，极轴为x轴正半轴(两坐标系取相同的单位长度)的直角坐标系xOy中，曲线C2的参数方程为(θ为参数)．

(1)求曲线C1的直角坐标方程与曲线C2的普通方程；

(2)将曲线C2经过伸缩变换后得到曲线C3，若M，N分别是曲线C1和曲线C3上的动点，求|MN|的最小值．

10.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点P(a，1)，其参数方程为

(t为参数，a∈R)，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cosθ-ρ=0．

(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；

(2)已知曲线C1和曲线C2交于A，B两点，且|PA|=2|PB|，求实数a的值．

答案解析

1.解：

(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2=1.

当α=时，l与⊙O交于两点．

当α≠时，记tan α=k，则l的方程为y=kx-.

l与⊙O交于两点需满足<1，解得k<-1或k>1，

即α∈或α∈.

综上，α的取值范围是.

(2)l的参数方程为.

设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，

则tP=，且tA，tB满足t2-2tsin α＋1=0.

于是tA＋tB=2sin α，tP=sin α.

又点P的坐标(x，y)满足

所以点P的轨迹的参数方程是.

2.解：

(1)直线l的参数方程为(t为参数)，

ρsin2θ=2cos θ，即ρ2sin2θ=2ρcos θ，

将x=ρcos θ，y=ρsin θ代入得曲线C的直角坐标方程为y2=2x.

(2)把直线l的参数方程代入y2=2x，

得t2sin2α-(2cos α＋8sin α)t＋20=0，

设A，B对应的参数分别为t1，t2，

由一元二次方程根与系数的关系得，t1＋t2=，t1t2=，

根据直线的参数方程中参数的几何意义，得|MA|·|MB|=|t1t2|==40，

得α=或α=.

又Δ=(2cos α＋8sin α)2-80sin2α>0，所以α=.

3.解：

(1)由题意知直线l的参数方程为(t为参数)，

因为ρ=2sin θ，所以ρ2=2ρsin θ，

把y=ρsin θ，x2＋y2=ρ2代入得x2＋y2=2y，

所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2=2y.

(2)将直线l的参数方程代入曲线C的方程，得t2＋(4cos α)t＋3=0，

由Δ=(4cos α)2-4×3>0，得cos2α>，

由根与系数的关系，得t1＋t2=-4cos α，t1t2=3.

不妨令|AP|=|t1|，|AQ|=|t2|，所以|PQ|=|t1-t2|，

因为|PQ|2=|AP|·|AQ|，所以(t1-t2)2=|t1|·|t2|，

则(t1＋t2)2=5t1t2，得(-4cos α)2=5×3，

解得cos2α=，满足cos2α>，所以sin2α=，tan2α=，

所以k=tan α=±.

4.解：

(1)由曲线C1的参数方程可得曲线C1的普通方程为＋=1，

由ρcos=3，得ρcos θ-ρsin θ=6，

∴曲线C2的直角坐标方程为x-y-6=0.

(2)设点M的坐标为(3cos β，sin β)，

点M到直线x-y-6=0的距离

d===，

当sin=-1时，|MN|有最小值，最小值为3-，

此时点M的直角坐标为.

5.解：

(1)因为直线l的极坐标方程为ρcos=，

即ρcos θ＋ρsin θ=2，

所以直线l的直角坐标方程为x＋y-2=0.

因为(α为参数，t>0)，

所以曲线C的普通方程为＋y2=1(t>0)，

由消去x得，(1＋t2)y2-4y＋4-t2=0，

所以Δ=16-4(1＋t2)(4-t2)<0，又t>0，

解得0<t<，故t的取值范围为(0，)．

(2)由(1)知直线l的方程为x＋y-2=0，

故曲线C上的点(tcos α，sin α)到l的距离d=，

故dmax==＋，解得t=±.

又t>0，∴t=.

6.解：

(1)曲线C1的普通方程为(x-)2＋(y-2)2=4，

即x2＋y2-2x-4y＋3=0，则曲线C1的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ＋3=0.

∵直线C2的方程为y=x，∴直线C2的极坐标方程为θ=(ρ∈R)．

(2)设P(ρ1，θ1)，Q(ρ2，θ2)，

将θ=(ρ∈R)代入ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ＋3=0得，

ρ2-5ρ＋3=0，

∴ρ1ρ2=3，

∴|OP|·|OQ|=ρ1ρ2=3.

7.解：

(1)由ρcos=得ρcos θcos-ρsin θsin=，

即ρcos θ-ρsin θ=，

又ρcos θ=x，ρsin θ=y，

∴直线l的直角坐标方程为x-y-1=0.

(2)由(α为参数)得曲线C的普通方程为x2＋4y2=4，

∵P(1,0)在直线l上，故可设直线l的参数方程为(t为参数)，

将其代入x2＋4y2=4得7t2＋4t-12=0，∴t1·t2=-，

故|PA|·|PB|=|t1|·|t2|=|t1·t2|=.

8.解：

(1)由消去t得，y=2x，

把代入y=2x，得ρsin θ=2ρcos θ，

所以直线l的极坐标方程为sin θ=2cos θ.

(2)因为ρ2=x2＋y2，y=ρsin θ，

所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＋2y-3=0，即x2＋(y＋1)2=4.

圆C的圆心C(0，-1)到直线l的距离d=，

所以|AB|=2=.

9.解：

(1)∵C1的极坐标方程是ρ=，

∴4ρcosθ＋3ρsinθ=24，

∴4x＋3y-24=0，

故C1的直角坐标方程为4x＋3y-24=0．

∵曲线C2的参数方程为∴x2＋y2=1，

故C2的普通方程为x2＋y2=1．

(2)将曲线C2经过伸缩变换后得到曲线C3，

则曲线C3的参数方程为(α为参数)．设N(2cosα，2sinα)，

则点N到曲线C1的距离d==

=其中φ满足tanφ=．

当sin(α＋φ)=1时，d有最小值，

所以|MN|的最小值为．

10.解：

(1)C1的参数方程为消参得普通方程为x-y-a＋1=0，

C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cosθ-ρ=0，两边同乘ρ得ρ2cos2θ＋4ρcosθ-ρ2=0，

得y2=4x．所以曲线C2的直角坐标方程为y2=4x．

(2)曲线C1的参数方程可转化为(t为参数，a∈R)，

代入曲线C2：y2=4x，得t2-t＋1-4a=0，由Δ=(-)2-4××(1-4a)>0，得a>0，

设A，B对应的参数分别为t1，t2，

由|PA|=2|PB|得|t1|=2|t2|，即t1=2t2或t1=-2t2，

当t1=2t2时，解得a=；

当t1=-2t2时，解得a=，

综上，a=或．