2021届高考数学考前30天冲刺模拟卷（6）

这是一份2021届高考数学考前30天冲刺模拟卷（6），共19页。试卷主要包含了，则的最大值为，已知，，则是的，在空间中，下列命题是真命题的是，若正实数，满足，则，若，则等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知全集，2，3，4，5，，集合，3，，集合，3，4，，则集合
A．B．，C．，4，D．，3，
2．（5分）已知复数为虚数单位），则的最大值为
A．1B．C．2D．4
3．（5分）已知，，则是的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．（5分）在空间中，下列命题是真命题的是
A．经过三个点有且只有一个平面
B．平行于同一平面的两直线相互平行
C．如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等
D．如果两个相交平面垂直于同一个平面，那么它们的交线也垂直于这个平面
5．（5分）设等差数列的前项和为，且，，则下列结论正确的是
A．，B．，
C．，D．，
6．（5分）若正实数，满足，则
A．B．C．D．
7．（5分）点为坐标原点，若，是圆上的两个动点，且，点在直线上运动，则的最小值是
A．B．C．D．
8．（5分）设函数，其中，若存在唯一整数，使得，则的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分。
9．（5分）是衡量空气质量得重要指标，我国采用世卫组织得最宽值限定值，即日均值在以下，空气质量为一级，在，空气质量为二级，超过为超标．如图是某地12月1日至10日得（单位：的日均值，则下列说法正确的是
A．这10天中有3天空气质量为一级
B．从6日到9日日均值逐渐降低
C．这10天中日均值的中位数是55
D．这10天中日均值的平均值是45
10．（5分）若，则
A．
B．
C．
D．
11．（5分）函数称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，例如，等，该函数被广泛应用于数学和计算机等领域，关于函数，正确的结论是
A．B．若，则
C．若，则D．
12．（5分）已知双曲线，、分别为双曲线的左，右顶点，、为左、右焦点，，且，，成等比数列，点是双曲线的右支上异于点的任意一点，记，的斜率分别为，，则下列说法正确的是
A．当轴时，
B．双曲线的离心率
C．为定值
D．若为△的内心，满足，则
填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知随机变量服从正态分布，，则 ．
14．（5分）若直线与直线平行，则实数 ，直线与之间的距离为 ．
15．（5分）已知三棱锥中，、、三条棱两两垂直，且长度均为，以顶点为球心，4为半径作一个球，则该球面被三棱锥四个表面截得的所有弧长之和为 ．
16．（5分）若函数恰有4个零点，则实数的取值范围是 ．
解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）设方程在，上恰有5个实数解，求的取值范围．
18．（12分）在①已知数列满足：，，②等比数列中，公比，前5项和为62，这两个条件中任选一个，并解答下列问题．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，若对恒成立，求正整数的最大值．
19．（12分）2021年春晚首次采用“云”传播，“云”互动形式，实现隔空连线心意相通，全球华人心连心“云团圆”，共享新春氛围，“云课堂”亦是一种真正完全突破时空限制的全方位互动性学习模式，某市随机抽取200人对“云课堂”倡议的了解情况进行了问卷调查，记表示了解，表示不了解，统计结果如表所示：
（表一）
（表二）
（1）请根据所提供的数据，完成上面的列联表（表二），并判断是否有的把握认为对“云课堂”倡议的了解情况与性别有关系；
（2）用样本估计总体，将频率视为概率，在男性市民和女性市民中各随机抽取4人，记“4名男性中恰有3人了解云课堂倡议”的概率为，“4名女性中恰有3人了解云课堂倡议”的概率为，试求出与，并比较与的大小．
附：临界值参考表的参考公式
，其中
20．（12分）已知四边形，，，将沿翻折至．
（Ⅰ）若，求证：；
（Ⅱ）若二面角的余弦值为，求与面所成角的正弦值．
21．（12分）已知椭圆与的离心率相同，过的右焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆，的交点从上到下依次为，，，，且，求的值．
22．（12分）已知函数为自然对数的底数）．
（Ⅰ）当时，求曲线在点，（2）处的切线的斜率；
（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）设函数，且．若，为函数的两个零点，且的导函数为，求证：．
考前30天冲刺高考模拟考试卷（6）答案
1．解：全集，2，3，4，5，，集合，3，4，，，，又集合，3，，
则集合，．
故选：．
2．解：复数为虚数单位），
，
，
故当时，则取最大值2，
故选：．
3．解：由，当时，不能够推出，
故是的不充分条件，
由，
故是的必要条件，
综上所述：是的必要不充分条件．
故选：．
4．解：经过不在同一直线上的三个点有且只有一个平面，若三点共线，经过该三点有无数个平面，故错误；
平行于同一平面的两直线有三种位置关系：平行、相交或异面，故错误；
如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故错误；
如果两个相交平面垂直于同一个平面，那么它们的交线也垂直于这个平面，正确，
证明如下：
，，，，，
在内，与外任取一点，作，，，，，
又，则，作，同理可得，
而，、，则．
故选：．
5．解：设，则为奇函数且单调递增，
因为，，
所以，且，
即，，
，
故选：．
6．解：正实数，满足，
变为：，，
若，则，可得．
若，则，可得．
若，则，可得，可得，矛盾，舍去．
，
故选：．
7．解：因为
，
又点到直线的距离为，
所以，此时直线与直线垂直，
所以，即的最小值为，
故选：．
8．解：函数，其中，
设，，
存在唯一的整数，使得，
存在唯一的整数，使得在直线的下方，
，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，．
当时，，当时，，
直线恒过，斜率为，
故，且，
解得，
的取值范围是，．
故选：．
9．解：由图形知，日均值在以下的有第1天、第3天和第4天，共三天空气质量为一级，正确；
从6日到9日日均值是逐渐降低，所以选项正确；
这10天中日均值从小到大排列为30、32、34、40、41、45、48、60、78、80，
所以中位数是，所以选项错误；
计算平均数为，所以错误．
故选：．
10．解：，
故令，可得，故正确．
令，可得，
令，可得，
两式相减除以2，可得，故错误．
令，可知正确．
令，可得，故，故正确．
故选：．
11．解：根据题意，依次分析选项：
对于，当时，有，错误，
对于，若，则，正确，
对于，若，，
若，，
故有，
故正确，
对于，当，时，，，错误；
故选：．
12．解：因为，，成等比数列，所以，
中，轴时，的坐标为：即，
所以，所以，所以不正确；
中，因为，所以可得，可得，又，
解得：，所以正确；
，设，，则，所以，
由题意可得，，所以，
由，可得，所以正确；
中因为，所以，
可得，所以正确；
故选：．
13．解：随机变量服从正态分布，
，
，
，
，
故答案为：0.16．
14．解：直线与直线平行，
，
解得，
直线，直线，
直线与之间的距离为：
．
故答案为：，．
15．解：如图，，，则，，
，
，同理，
，，
故球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于，
故答案为：．
16．解：由恰有4个零点，
得，即有4个根，
令，也就是与的图象有四个交点．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，当时，，单调递增，
当时，，单调递减．
作出函数的图象如图：
函数恰有4个零点，则实数的取值范围是．
故答案为：．
17．解：（1）函数．
令，
整理得，
所以函数的单调递增区间为．
（2）设方程在，上恰有5个实数解，
令，
即，
整理得，
解得．
所以当时，时，
由于恰好有5个实数解．
故
18．解：（1）选①已知数列满足：，，
设等比数列的公比为，
由，可得，
又，即，解得，
所以；
选②等比数列中，公比，前5项和为62，
则，，
解得，
所以；
（2），
，
，
上面两式相减可得
，
化简可得，
因为，
所以递增，最小，且为，所以，
解得，
则的最大值为2022．
19．解：（1）根据题意填写列联表，如下：
根据表中数据，计算，
对照临界值表知，有的把握认为对“云课堂”倡议的了解情况与性别有关系；
（2）用样本估计总体，将频率视为概率，
根据列联表得出男性了解“云课堂”倡议的概率为，
女性了解“云课堂”倡议的概率为，
所以计算概率，
概率，
所以．
20．解：（Ⅰ）取的中点，连接，，
不妨设，则，
即
因为，
所以，则，
又因为，所以，且，
面，面，则，
（Ⅱ）取的中点，连接，，，过点作，
不妨设，则，即，
因为，则，
又因为为中点，为的中点，则，所以，
所以为二面角的平面角．
且，面，面，又，则面，
在中，，，所以，
所以点到面距离为，，
设与面所成的角为，则，
解法2：取的中点，连接，，，过点作，
不妨设，则，即，
因为，则，
又因为为中点，为的中点，则，所以，
所以为二面角的平面角．
因此以点为坐标原点，以，，分别为，，轴建空间直角坐标系如图：
，0，，，2，，，0，，，，，
设面的法向量为，，，，0，，
，，，，，，
则，所以，令，则，
所以面的一个法向量为，，，
设与面所成的角为，则．
21．解：（1）设椭圆的标准方程为：，
令得：，
过的右焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为，
又椭圆的离心率，
，解得：，
椭圆的标准方程为：．
（2）设，，，，，，，，
联立方程，消去得：，则有，
同理，联立方程，消去得：，则有，
，，
，
，
，
，
，
即，
解得：．
的值为．
22．Ⅰ）解：当时，，，
所以曲线在点，（2）处的切线的斜率（2）．
（Ⅱ）解：由定义域可知，，所以恒成立，
，，所以在上单调递增，
又因为时，，当时，，
故存在唯一实数使，则，也即，
在上，，函数单调递减，
在，上，，函数单调递增，
因此
，
解得，
即实数的取值范围是．
（Ⅲ）证明“由题意可得，且①，②，
由①②得，
由，得③，
不防令，并设，
则，代入③可得，
要证，只需证明即可，即证明，
令，，
因为函数，在上恒成立，
所以在上单调递减，
所以，
所以，所以，
则在单调递减，
则，即，得证．
了解情况
人数
140
60
男
女
合计
80
40
合计
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
男
女
合计
80
60
140
20
40
60
合计
100
100
200