【高考冲刺】2020年高考数学(理数) 不等式小题练（含答案解析）
展开【高考复习】2020年高考数学(理数)
不等式小题练
一 、选择题
1.若a<b<0，给出下列不等式：①a2＋1>b2；②|1－a|>|b－1|；③>>．其中正确个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2.若x，y∈R，则x>y的一个充分不必要条件是( )
A．|x|>|y| B．x2>y2 C．> D．x3>y3
3.设a，b∈R，则“(a－b)a2≥0”是“a≥b”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4.在R上定义运算☆：a☆b=ab＋2a＋b，则满足x☆(x-2)<0的实数x的取值范围为( )
A．(0,2) B．(-2,1) C．(-∞，-2)∪(1，＋∞) D．(-1,2)
5.若不等式(m＋1)x2-(m-1)x＋3(m-1)<0对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(-∞，-1) C．(-∞，-) D．(-∞，-)∪(1，＋∞)
6.已知不等式ax2-5x＋b>0的解集为{x|-3<x<-2}，则不等式bx2-5x＋a>0的解集为( )
A．x-＜x＜- B．x＞-或x＜- C．{x|-3＜x＜2} D．{x|x＜-3或x＞2}
7.设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x＋5y的最大值为( )
A．6 B．19 C．21 D．45
8.某蔬菜收购点租用车辆，将100吨新鲜黄瓜运往某市销售，可供租用的卡车和农用车分别为10辆和20辆．若每辆卡车载重8吨，运费960元，每辆农用车载重2.5吨，运费360元，则蔬菜收购点运完全部黄瓜支出的最低运费为( )
A．11280元 B．12480元 C．10280元 D．11480元
9.已知实数x，y满足约束条件，则|y-x|的最大值是( )
A．2 B. C．4 D．3
10.已知a>0，b>0，a，b的等比中项是1，且m=b＋，n=a＋，则m＋n的最小值是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
11.函数y=(x>-1)的图象的最低点的坐标是( )
A．(1，2) B．(1，-2) C．(1，1) D．(0，2)
12.设0<x<2，则函数y=的最大值为( )
A．2 B. C. D.
二 、填空题
13.已知存在实数a满足ab2>a>ab,则实数b的取值范围是 .
14.已知函数f(x)=x2＋mx-1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0，则实数m的取值范围是________．
15.已知三个不等式：①x2-4x＋3<0，②x2-6x＋8<0，③2x2-9x＋m<0．要使同时满足①②的所有x的值满足③，则m的取值范围为________．
16.若关于x的不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解,则实数a的取值范围是 .
17.若x，y满足x＋1≤y≤2x，则2y-x的最小值是________．
18.若x，y满足约束条件则z=x＋y的最大值为________．
19.已知函数y=x＋(x>2)的最小值为6，则正数m的值为________．
20.若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________．
答案解析
1.答案为：D；
解析：
由于a<b<0，所以|a|>|b|>0，a2>b2，故a2＋1>b2，①正确；
－a>－b>0，－a＋1>－b＋1>1，故|1－a|>|b－1|，②正确；
a＋b<a<b<0，所以>>，③正确，故选D．
2.答案为：C；
解析：
由|x|>|y|，x2>y2未必能推出x>y，排除A，B；由>可推出x>y，反之，未必成立，
而x3>y3是x>y的充要条件，故选C．
3.答案为：B；
解析：
由(a－b)a2≥0，解得a≥b，或a=0，b∈R，因为a2≥0，a≥b，所以(a－b)a2≥0，
故“(a－b)a2≥0”是“a≥b”的必要不充分条件．
4.答案为：B；
解析：
根据定义得x☆(x-2)=x(x-2)＋2x＋(x-2)=x2＋x-2<0，解得-2<x<1，
所以实数x的取值范围为(-2,1)，故选B．
5.答案为：C；
解析：
①当m=-1时，不等式化为2x-6<0，即x<3，显然不对任意实数x恒成立．
②当m≠-1时，由题意得所以m<-．故选C．
6.答案为：A；
解析：
由题意得解得a=-1，b=-6，
所以不等式bx2-5x＋a＞0为-6x2-5x-1＞0，即(3x＋1)(2x＋1)＜0，
所以解集为x-＜x＜-．故选A．
7.答案为：C；
解析：由变量x，y满足的约束条件画出可行域(如图中阴影部分所示)．
作出基本直线l0：3x＋5y=0，平移直线l0，当直线经过点A(2，3)时，z取最大值，
即zmax=3×2＋5×3=21.故选C.
8.答案为：B；
解析：
设租用的卡车和农用车分别为x辆和y辆，运完全部黄瓜支出的运费为z元，
则目标函数z=960x＋360y，
此不等式组表示的可行域是△ABC(其中A(10，8)，B(10，20)，C(6.25，20))内横坐标
和纵坐标均为整数的点．当直线l：z=960x＋360y经过点A(10，8)时，运费最低，
且其最低运费zmin=960×10＋360×8=12480(元)，选B.
9.答案为：D；
解析：画出不等式组表示的平面区域(如图)，计算得A(1，2)，B(4，1)，
当直线z=x-y过点A时zmin=-1，过点B时zmax=3，则-1≤x-y≤3，则|y-x|≤3.
10.答案为：B；
解析：由题意知ab=1，∴m=b＋=2b，n=a＋=2a，∴m＋n=2(a＋b)≥4=4，
当且仅当a=b=1时取等号．
11.答案为：D；
解析：y==(x＋1)＋≥2，当x=0时取最小值．
12.答案为：D；
解析：
∵0<x<2，∴2-x>0，∴y==·≤·=，
当且仅当x=2-x，即x=1时取等号．
一 、填空题
13.答案为：(-∞,-1)；
解析：∵ab2>a>ab,∴a≠0.当a>0时,有b2>1>b,即解得b<-1;当a<0时,有b2<1<b,即无解.
综上可得b<-1.
14.答案为：；
解析：
由题可得f(x)<0对于x∈[m，m＋1]恒成立，等价于解得-<m<0．
15.答案为：m≤9；
解析：
由①②得2<x<3，要使同时满足①②的所有x的值满足③，
即不等式2x2-9x＋m<0在x∈(2,3)上恒成立，即m<-2x2＋9x在x∈(2,3)上恒成立，
又-2x2＋9x在x∈(2,3)上大于9，所以m≤9．
16.答案为：(-∞,-2)；
解析：不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2-4x-2)max.
令g(x)=x2-4x-2,x∈(1,4),则g(x)<g(4)=-2,可得a<-2.
17.答案为：3；
解析：
由x＋1≤y≤2x作出可行域，如图中阴影部分所示．设z=2y-x，则y=x＋z，
当直线y=x＋z过A(1，2)时，z取得最小值3.
18.答案为：9；
解析：由线性约束条件画出可行域(如图所示的阴影部分)，
由图可知，当直线x＋y－z=0经过点A(5，4)时，z=x＋y取得最大值，最大值为zmax=5＋4=9.
19.答案为：4；
解析：
由x>2，知x-2>0，又m>0，则y=(x-2)＋＋2≥2＋2=2＋2，
取等号的条件为x-2=.从而依题意可知2＋2=6，解得m=4.
20.答案为：4；
解析：∵a4＋4b4≥2a2·2b2=4a2b2(当且仅当a2=2b2时“=”成立)，
∴≥=4ab＋，由于ab＞0，∴4ab＋≥2=4
当且仅当4ab=时“=”成立，故当且仅当时，的最小值为4.
