【高考冲刺】2020年高考数学(理数) 圆锥曲线的方程与性质小题练（含答案解析）
展开【高考复习】2020年高考数学(理数)
圆锥曲线的方程与性质小题练
一 、选择题
1.已知F1，F2是双曲线的两个焦点，Q是双曲线上任意一点，从焦点F1引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为P，则点P的轨迹为( )
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
2.已知椭圆C：＋=1(a>b>0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为( )
A．＋=1 B．＋=1 C．＋=1 D．＋=1
3.已知点A(－1，0)和B(1，0)，动点P(x，y)在直线l：y=x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为( )
A． B． C． D．
4.已知双曲线C的右焦点F与抛物线y2=8x的焦点相同，若以点F为圆心，为半径的圆与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为( )
A．-x2=1 B．-y2=1 C．-=1 D．-=1
5.设F1，F2是双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P．若|PF1|=|OP|，则C的离心率为( )
A． B．2 C． D．
6.到定点A(2，0)与定直线l：x=-2的距离相等的点的轨迹方程为( )
A．y2=8x B．y2=-8x C．x2=8y D．x2=-8y
7.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2=6，则|AB|等于( )
A．4 B．6 C．8 D．10
8.已知双曲线与直线y=2x有交点,则双曲线离心率的取值范围为( )
A.(1,) B.(1,] C.(,+∞) D.[,+∞)
9.已知直线l与抛物线C：y2=4x相交于A，B两点，若线段AB的中点为(2,1)，则直线l的方程为( )
A．y=x－1 B．y=－2x＋5 C．y=－x＋3 D．y=2x－3
10.已知椭圆＋=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，△PF1F2是以F2P为底边的等腰三角形，且60°<∠PF1F2<120°，则该椭圆的离心率的取值范围是( )
A．(，1) B．(，) C．(，1) D．(0，)
11.已知点F为双曲线E：-=1(a>0，b>0)的右焦点，直线y=kx(k>0)与E交于不同象限内的M，N两点，若MF⊥NF，设∠MNF=β，且β∈，，则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A．[，＋] B．[2，＋1] C．[2，＋] D．[，＋1]
12.已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为( )
A．16 B．14 C．12 D．10
二 、填空题
13.已知椭圆＋=1(a＞b＞0)的半焦距为c，且满足c2－b2＋ac＜0，则该椭圆的离心率e的取值范围是________．
14.已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的离心率e=2，且它的一个顶点到相应焦点的距离为1，则双曲线C的方程为________．
15.已知动圆过点(1，0)，且与直线x=-1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．
16.设F1，F2是椭圆＋=1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|=4∶3，则△PF1F2的面积为________．
17.已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为________．
18.已知点M(-1，1)和抛物线C：y2=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB=90°，则k=________．
答案解析
1.答案为：B.
解析：不妨设点Q在双曲线的右支上，延长F1P交直线QF2于点S，
∵QP是∠F1QF2的平分线，且QP⊥F1S，∴P是F1S的中点．
∵O是F1F2的中点，∴PO是△F1SF2的中位线，
∴|PO|=|F2S|=(|QS|－|QF2|)=(|QF1|－|QF2|)=a，∴点P的轨迹为圆．
2.答案为：B；
解析：椭圆长轴长为6，即2a=6，得a=3，∵两焦点恰好将长轴三等分，
∴2c=·2a=2，得c=1，因此，b2=a2－c2=9－1=8，
∴此椭圆的标准方程为＋=1．故选B．
3.答案为：A；
解析：A(－1，0)关于直线l：y=x＋3的对称点为A′(－3，2)，连接A′B交直线l于点P，
则此时椭圆C的长轴长最短，为|A′B|=2，
所以椭圆C的离心率的最大值为=．故选A．
4.答案为：D；
解析：
设双曲线C的方程为-=1(a>0，b>0)，而抛物线y2=8x的焦点为(2，0)，即F(2，0)，
∴4=a2＋b2．又圆F：(x-2)2＋y2=2与双曲线C的渐近线y=±x相切，
由双曲线的对称性可知圆心F到双曲线的渐近线的距离为=，∴a2=b2=2，
故双曲线C的方程为-=1．故选D．
5.答案为：C；
解析：由题可知|PF2|=b，|OF2|=c，∴|PO|=a．在Rt△POF2中，cos∠PF2O==，
∵在△PF1F2中，cos∠PF2O==，
∴=⇒c2=3a2，∴e=．故选C．
6.答案为：A；
解析：由抛物线的定义可知该轨迹为抛物线且p=4，焦点在x轴正半轴上，故选A．
7.答案为：C；
解析：由抛物线y2=4x得p=2，由抛物线定义可得|AB|=x1＋1＋x2＋1=x1＋x2＋2，
又因为x1＋x2=6，所以|AB|=8，故选C．
8.答案为：C；
9.答案为：D；
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有①－②得y－y=4(x1－x2)，
由题可知x1≠x2.∴===2，即kAB=2，
∴直线l的方程为y－1=2(x－2)，即2x－y－3=0.故选D.
10.答案为：B；
解析：
由题意可得，|PF2|2=|F1F2|2＋|PF1|2－2|F1F2|·|PF1|cos∠PF1F2=4c2＋4c2－2·2c·2c·cos∠PF1F2，
即|PF2|=2c·，所以a==c＋c·，
又60°<∠PF1F2<120°，∴－<cos∠PF1F2<，所以2c<a<(＋1)c，
则<<，即<e<．故选B．
11.答案为：D；
解析：
如图，设左焦点为F′，连接MF′，NF′，令|MF|=r1，|MF′|=r2，则|NF|=|MF′|=r2，
由双曲线定义可知r2-r1=2a ①，∵点M与点N关于原点对称，且MF⊥NF，
∴|OM|=|ON|=|OF|=c，∴r＋r=4c2 ②，由①②得r1r2=2(c2-a2)，又知S△MNF=2S△MOF．
∴r1r2=2·c2·sin2β，∴c2-a2=c2·sin2β，∴e2=，
又∵β∈，，∴sin2β∈，，∴e2=∈[2，(＋1)2]．
又e>1，∴e∈[，＋1]，故选D．
12.答案为：A；
解析：因为F为y2=4x的焦点，所以F(1，0)．
由题意直线l1，l2的斜率均存在，且不为0，设l1的斜率为k，则l2的斜率为-，
故直线l1，l2的方程分别为y=k(x-1)，y=-(x-1)．
由得k2x2-(2k2＋4)x＋k2=0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2=，x1x2=1，
所以|AB|=·|x1-x2|=·=·=．
同理可得|DE|=4(1＋k2)．
所以|AB|＋|DE|=＋4(1＋k2)=4＋1＋1＋k2=8＋4k2＋≥8＋4×2=16，
当且仅当k2=，即k=±1时，取得等号．故选A．
一 、填空题
13.答案为：；
解析：∵c2－b2＋ac＜0，∴c2－(a2－c2)＋ac＜0，即2c2－a2＋ac＜0，∴2－1＋＜0，
即2e2＋e－1＜0，解得－1＜e＜.又∵0＜e＜1，∴0＜e＜.
∴椭圆的离心率e的取值范围是.
14.答案为：x2-=1；
解析：由题意得解得则b=，故所求方程为x2-=1．
15.答案为：y2=4x；
解析：设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与其到直线x=-1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2=4x．
16.答案为：24；
解析：因为|PF1|＋|PF2|=14，又|PF1|∶|PF2|=4∶3，所以|PF1|=8，|PF2|=6.
因为|F1F2|=10，所以PF1⊥PF2.所以S△PF1F2=|PF1|·|PF2|=×8×6=24.
17.答案为：；
解析：如图，由题意知点A(a，0)，双曲线的一条渐近线l的方程为y=x，即bx-ay=0，
∴点A到l的距离d=．又∠MAN=60°，|MA|=|NA|=b，∴△MAN为等边三角形，
∴d=|MA|=b，即=b，∴a2=3b2，∴e===．
18.答案为：2；
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则所以y-y=4x1-4x2，所以k==．
取AB的中点M′(x0，y0)，分别过点A，B作准线x=-1 的垂线，垂足分别为A′，B′．
因为∠AMB=90°，所以|MM′|=|AB|=(|AF|＋|BF|)=(|AA′|＋|BB′|)．
因为M′为AB的中点，所以MM′平行于x轴．
因为M(-1，1)，所以y0=1，则y1＋y2=2，所以k=2．
