人教版八年级上册12.3 角的平分线的性质教案

这是一份人教版八年级上册12.3 角的平分线的性质教案，共3页。




知识点1：角平分线的作法


平分一个角的方法有很多,如度量法、折叠法,实际上根据尺规作图也可以作出一个角的角平分线.


知识点2：角平分线的性质


角平分线上的点到角两边的距离相等.


关键提醒:1. 性质中的“距离”是指“点到直线的距离”,因此在应用时需含有“垂直”这个条件,否则不能得到线段相等.


2. 该性质可以直接证明线段相等,不用再证明三角形全等.


3. 使用该性质进行证明时,要注意条件“一个角平分线,二个垂直”缺一不可.


知识点3：角平分线的判定


角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.


关键提醒:它与角平分线的性质是互逆定理,在运用这两个定理的时候,一定要弄清楚题设和结论,切记不要搞错.








考点1：利用角平分线条件求距离与角


【例1】如图,AD∥BC,∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P,作PE⊥AB于点E.若PE=2,则两平行线AD与BC间的距离为 .





答案:4


点拨:如图,过点P作PM⊥AD于点M,PN⊥BC于点N,则M、N、P三点共线.





∵ BP平分∠ABC,AP平分∠BAD,PE⊥AB于点E,


PM⊥AD于点M,PN⊥BC于点N,


∴ PN=PE=PM(角平分线上的点到角两边的距离相等).


∵ PE=2,∴ PM=PN=2. ∴ MN=4.


考点2：利用角平分线条件证明角或边相等


【例2】如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,F在AC上,BD=DF.求证:


(1)CF=EB;


(2)∠CBA+∠AFD=180°.





证明:(1)∵AD是∠BAC的平分线,DC⊥AC,DE⊥AB,∴DC=DE.又∵DF=DB,∴Rt△DCF≌Rt△DEB(HL).∴CF=EB.


(2)由(1)得∠DBE=∠DFC,而∠DFC+∠AFD=180°,


∴∠CBA+∠AFD=180°.


点拨：欲证CF=EB,只需证△DCF≌△DEB.而这两个三角形都是直角三角形,已知BD=DF,还需要证明DC=DE,由角平分线的性质可证得结论.欲证两角互补,有两种方法:其一是邻补角互补,其二是平行线的同旁内角互补.本题所证两角不符合上述条件,所以可通过证全等三角形来将∠CBA转化成∠AFD的邻补角∠CFD即可.


考点3：利用角平分线条件证明线段的和差


【例3】如图 (1),已知AC∥BD,AE、BE分别平分∠CAB和∠DBA,CD过点E,则AB与AC+BD相等吗?请说明理由.





(1) (2)


解:AB=AC+BD.理由如下:


如图 (2),在AB上截取AF=AC,连接EF.


在△ACE和△AFE中,∴△ACE≌△AFE(SAS).


⇒∠6=∠D.


在△EFB和△EDB中,





∴△EFB≌△EDB(AAS),∴FB=DB.∴AC+BD=AF+FB=AB.


点拨：欲证线段a=b+c,通常利用“截长补短”法,如本题的方法一,是在最长线段AB上“截取”AF=AC后,再证BF=BD;而本题的方法二,是在较短线段AC上“补接”CF,再证AB=AF,BD=FC.