初中数学北师大版九年级上册5 一元二次方程的根与系数的关系复习练习题

这是一份初中数学北师大版九年级上册5 一元二次方程的根与系数的关系复习练习题，共10页。

知识点 1 利用根与系数的关系求代数式的值


1．若x1，x2是一元二次方程x2＋10x＋16＝0的两个根，则x1＋x2的值是( )


A．－10 B．10 C．－16 D．16


2．2017·怀化若x1，x2是一元二次方程x2－2x－3＝0的两个根，则x1·x2的值是( )


A．2 B．－2 C．4 D．－3


3．设x1，x2是一元二次方程x2－2x－3＝0的两个根，则x12＋x22的值为( )


A．6 B．8 C．10 D．12


4．若方程x2－3x－4＝0的两根分别为x1和x2，则eq \f(1,x1)＋eq \f(1,x2)的值是( )


A．1 B．2 C．－eq \f(3,4) D．－eq \f(4,3)


5．若x1，x2是一元二次方程2x2－5x＋1＝0的两个根，利用根与系数的关系求下列各式的值：


(1)(x1－3)(x2－3)；

















(2)(x1＋1)2＋(x2＋1)2.

















知识点 2 利用根与系数的关系求方程的根及待定字母的值


6．教材习题2.8第3题变式题若关于x的方程x2－2x＋m＝0的一个根为－1，则另一个根为( )


A．－3 B．－1 C．1 D．3


7．已知关于x的一元二次方程x2＋mx＋n＝0的两个实数根分别为x1＝－2，x2＝4，则m＋n的值是( )


A．－10 B．10 C．－6 D．2


8．2017·呼和浩特已知关于x的一元二次方程x2＋(a2－2a)x＋a－1＝0的两个实数根互为相反数，则a的值为( )


A．2 B．0


C．1 D．2或0


9．若关于x的方程x2＋(k－2)x＋k2＝0的两根互为倒数，则k＝________．


10．若方程3x2－8x＋m＝0的两根之比为3∶2，求m的值．














11．一元二次方程x2－3x－1＝0与x2－3x＋3＝0的所有实数根的和等于( )


A．－3 B．－6 C．6 D．3


12．若关于x的一元二次方程的两个实数根为x1＝1，x2＝2，则这个方程是( )


A．x2＋3x－2＝0 B．x2－3x＋2＝0


C．x2－2x＋3＝0 D．x2＋3x＋2＝0


13．2017·仙桃若α，β为方程2x2－5x－1＝0的两个实数根，则2α2＋3αβ＋5β的值为( )


A．－13 B．12 C．14 D．15


14．已知实数a，b满足a2－6a＋4＝0，b2－6b＋4＝0，且a≠b，则eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)的值是________．


15．已知m，n是关于x的一元二次方程x2－2tx＋t2－2t＋4＝0的两实数根，求(m＋2)(n＋2)的最小值．


























16．已知关于x的一元二次方程x2＋3x－m＝0有实数根．


(1)求m的取值范围；


(2)若两实数根分别为x1和x2，且x12＋x22＝11，求m的值．


























17．已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋k＋1＝0的实数根是x1和x2.


(1)求k的取值范围；


(2)如果x1＋x2－x1x2＜－1且k为整数，求k的值．




















18．已知关于x的一元二次方程k2x2＋(2k－1)x＋1＝0有两个不相等的实数根x1，x2.


(1)求k的取值范围；


(2)k为何值时，x1与x2互为倒数？
































19．已知关于x的一元二次方程x2－(m－3)x－m2＝0.


(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；


(2)设这个方程的两个实数根为x1，x2，且|x1|＝|x2|－2，求m的值及方程的根．


























20.已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两个实数根．


(1)若(x1－1)(x2－1)＝28，求m的值；


(2)已知等腰三角形ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的长，求这个三角形的周长．
































1．A 2.D


3．C 4．C


5．解：根据题意，得x1＋x2＝eq \f(5,2)，x1x2＝eq \f(1,2).


(1)(x1－3)(x2－3)＝x1x2－3(x1＋x2)＋9＝eq \f(1,2)－3×eq \f(5,2)＋9＝2.


(2)(x1＋1)2＋(x2＋1)2＝x12＋2x1＋1＋x22＋2x2＋1＝x12＋x22＋2(x1＋x2)＋2＝(x1＋x2)2－2x1x2＋2(x1＋x2)＋2＝(eq \f(5,2))2－2×eq \f(1,2)＋2×eq \f(5,2)＋2＝12eq \f(1,4).


6．D


7．A


8．B


9．－1


10．解：设方程的两根分别为3n，2n，


∴5n＝eq \f(8,3)，6n2＝eq \f(m,3)，∴n＝eq \f(8,15)，


∴m＝18n2＝18×(eq \f(8,15))2＝eq \f(128,25).


D


12．B ．


13．B .


14．7


15．解：∵m，n是关于x的一元二次方程x2－2tx＋t2－2t＋4＝0的两实数根，


∴m＋n＝2t，mn＝t2－2t＋4，


∴(m＋2)(n＋2)＝mn＋2(m＋n)＋4＝t2－2t＋4＋2×2t＋4＝t2＋2t＋8＝(t＋1)2＋7.


∵方程有两个实数根，


∴Δ＝(－2t)2－4(t2－2t＋4)＝8t－16≥0，


∴t≥2，


∴(t＋1)2＋7≥(2＋1)2＋7＝16.


即(m＋2)(n＋2)的最小值是16.


16．解：(1)∵关于x的一元二次方程x2＋3x－m＝0有实数根，


∴Δ＝32＋4m≥0，


解得m≥－eq \f(9,4).


(2)由根与系数的关系，得x1＋x2＝－3，x1x2＝－m，


而x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝11，


∴(－3)2＋2m＝11，


解得m＝1.


17．解：(1)∵方程有实数根，


∴b2－4ac＝22－4(k＋1)≥0，


解得k≤0.


(2)根据一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝－2，x1x2＝k＋1，则x1＋x2－x1x2＝－2－(k＋1)．


由已知，得－2－(k＋1)＜－1，


解得k＞－2.


又由(1)得k≤0，


∴－2＜k≤0.


∵k为整数，


∴k的值为－1或0.


18．解：(1)依题意，得(2k－1)2－4k2>0，且k≠0，


解得k

(2)由x1·x2＝eq \f(1,k2)＝1，得k＝±1，而k

19 (1)证明：一元二次方程x2－(m－3)x－m2＝0中，


∵a＝1，b＝－(m－3)＝3－m，c＝－m2，


∴b2－4ac＝(3－m)2－4×1×(－m2)＝5m2－6m＋9＝5(m－eq \f(3,5))2＋eq \f(36,5)＞0，


∴方程总有两个不相等的实数根．


(2)由根与系数的关系，得x1·x2＝eq \f(c,a)＝－m2≤0，x1＋x2＝m－3.


∵|x1|＝|x2|－2，


∴|x1|－|x2|＝－2.


若x1≥0，x2≤0，上式化简得x1＋x2＝－2，


∴m－3＝－2，即m＝1，


方程化为x2＋2x－1＝0，


解得x1＝－1＋eq \r(2)，x2＝－1－eq \r(2)；


若x1≤0，x2≥0，上式化简得－(x1＋x2)＝－2，


∴x1＋x2＝m－3＝2，即m＝5，


方程化为x2－2x－25＝0，


解得x1＝1－eq \r(26)，x2＝1＋eq \r(26).


20．解：(1)∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两个实数根，


∴x1＋x2＝2(m＋1)，x1·x2＝m2＋5，


∴(x1－1)(x2－1)＝x1·x2－(x1＋x2)＋1＝m2＋5－2(m＋1)＋1＝28，


解得m＝－4或m＝6.


当m＝－4时，原方程无解，


∴m＝6.


(2)①当7为底边长时，此时方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0有两个相等的实数根，


∴Δ＝4(m＋1)2－4(m2＋5)＝0，


解得m＝2，


∴方程变为x2－6x＋9＝0，


解得x1＝x2＝3.


∵3＋3＜7，


∴不能构成三角形．


②当7为腰长时，设x1＝7，


代入方程得49－14(m＋1)＋m2＋5＝0，


解得m＝10或m＝4.


当m＝10时，方程变为x2－22x＋105＝0，


解得x＝7或x＝15.


∵7＋7＜15，


∴不能构成三角形；


当m＝4时，方程变为x2－10x＋21＝0，


解得x＝3或x＝7.


∵3＋7>7，


∴能构成三角形．


此时三角形的周长为7＋7＋3＝17.


即这个三角形的周长为17.