数学八年级上册第十一章 三角形综合与测试习题

这是一份数学八年级上册第十一章 三角形综合与测试习题，共12页。
时间：100分钟 满分：100分


班级：_______ 姓名：________得分:_______





一．选择题（每题3分，共30分）


1．如果线段AM和线段AN分别是△ABC边BC上的中线和高，那么下列判断正确的是（ ）


A．AM＞ANB．AM≥ANC．AM＜AND．AM≤AN


2．已知线段a＝4cm，b＝6cm，下列长度的线段中，不能与a，b组成三角形的是（ ）


A．4cmB．6cmC．11cmD．9cm


3．如图，在△ABC中，AC边上的高是（ ）





A．BEB．ADC．CFD．AF


4．已知三角形的两边分别为4和10，则此三角形的第三边可能是（ ）


A．4B．5C．9D．14


5．一个正多边形的外角等于36°，则这个正多边形的内角和是（ ）


A．1440°B．1080°C．900°D．720°


6．已知一个多边形的外角和比它的内角和少540°，则该多边形的边数为（ ）


A．7B．8C．9D．10


7．如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠1＝30°，∠2＝40°，∠D的度数是（ ）





A．110°B．120°C．130°D．140°


8．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠BAE＝30°，∠CAD＝20°，则∠B＝（ ）





A．45°B．60°C．50°D．55°


9．已知多边形的每个内角都是108°，则这个多边形是（ ）


A．五边形B．七边形C．九边形D．不能确定


10．如图，在△ABC中，∠B＝32°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（ ）





A．32°B．45°C．60°D．64°





二．填空题（每题4分，共20分）


11．如图，已知∠B＝30°，则∠A+∠D+∠C+∠G＝ °．





12．用5根木条钉成的五边形木架，若要不变形，至少要钉 根木条．


13．如图，△ABC中，∠A＝90°，点E、F分别在AB、AC边上，D是BC边上一动点（与点B、C不重合）．若∠1＝60°，则∠2+∠3＝ 度．





14．已知任意一个三角形三个内角的和为180°，如果有一个三角形三个内角的度数比是1：3：5，这个三角形中最大的内角是 度．


15．如图，△ABC中，BI、CI分别平分∠ABC、∠ACB，且∠BIC＝140°，BM、CM分别平分∠ABC、∠ACB的外角，则∠BMC＝ ．








三．解答题（每题10分，共50分）


16．已知a，b，c是△ABC的三边长，a＝4，b＝6，设三角形的周长是x．


（1）直接写出c及x的取值范围；


（2）若x是小于18的偶数


①求c的长；


②判断△ABC的形状．














17．如图①，已知任意三角形ABC，过点C作DE∥AB．


（1）如图①，求证：三角形ABC的三个内角（即∠A，∠B，∠ACB）之和等于180°；


（2）如图②，AB∥CD，∠CDE＝110°，GF交∠DEB的平分线EF于点F，且∠AGF＝145°，结合（1）中的结论，求∠F的度数．








18．在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，点E在射线DC上，EF⊥BC于点F，EM平分∠AEF交直线AB于点M．


（1）如图1，点E在线段DC上，若∠A＝90°，∠M＝α．


①∠AEF＝ ；（用含α的式子表示）


②求证：BD∥ME；


（2）如图2，点E在DC的延长线上，EM交BD的延长线于点N，用等式表示∠BNE与∠BAC的数量关系，并证明．











19．实验探究：


（1）动手操作：


①如图1，将一块直角三角板DEF放置在直角三角板ABC上，使三角板DEF的两条直角边DE、DF分别经过点B、C，且BC∥EF，已知∠A＝30°，则∠ABD+∠ACD＝ ；


②如图2，若直角三角板ABC不动，改变等腰直角三角板DEF的位置，使三角板DEF的两条直角边DE、DF仍然分别经过点B、C，那么∠ABD+∠ACD＝ ；


（2）猜想证明：


如图3，∠BDC与∠A、∠B、∠C之间存在着什么关系，并说明理由；


（3）灵活应用：


请你直接利用以上结论，解决以下列问题：


①如图4，BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，若∠BAC＝40°，∠BDC＝120°，求∠BEC的度数；


②如图5，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点F1、F2、…、F9，若∠BDC＝120°，∠BF3C＝64°，则∠A的度数为 ．





20．在研究三角形内角和等于180°的证明方法时，小胡和小杜分别给出了下列证法．


小胡：在△ABC中，延长BC到D（如左图），


∴∠ACD＝∠A+∠B（三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）．


又∵∠ACD+∠ACB＝180°（平角定义），


∴∠A+∠B+∠ACB＝180°（等量代换）．


小杜：在△ABC中，作CD⊥AB（如右图），


∵CD⊥AB（已知），


∴∠ADC＝∠BDC＝90°（直角定义）．


∴∠A+∠ACD＝90°，∠B+∠BCD＝90°（直角三角形两锐角互余）．


∴∠A+∠ACD+∠B+∠BCD＝180°（等量加等量和相等）．


∴∠A+∠B+∠ACB＝180°．


请你对上述两名同学的证法给出评价，并另写出一种你认为较简单的证明三角形内角和定理的方法．








参考答案


一．选择题


1．解：∵线段AN是△ABC边BC上的高，


∴AN⊥BC，


由垂线段最短可知，AM≥AN，


故选：B．





2．解：设第三边的长度为x，由题意得：


6﹣4＜x＜6+4，


即：2＜x＜10，


故选项A，B，D可以构成三角形，只有11cm无法构成三角形．


故选：C．


3．解：在△ABC中，AC边上的高是线段BE，


故选：A．


4．解：设此三角形第三边的长为x，则10﹣4＜x＜10+4，即6＜x＜14，四个选项中只有9符合条件．


故选：C．


5．解：∵一个正多边形的外角等于36°，


∴这个正多边形是正十边形，


∴内角和为（10﹣2）×180°＝1440°，


故选：A．


6．解：设多边形的边数是n，


根据题意得，（n﹣2）•180°﹣360°＝540°，


解得n＝7．


故选：A．


7．解：∴∠A＝50°，


∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°，


∴∠DBC+∠DCB＝∠ABC+∠ACB﹣∠1﹣∠2＝130°﹣30°﹣40°＝60°，


∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝120°，


故选：B．


8．解：∵AE平分∠BAC，


∴∠BAE＝∠CAE＝30°，


∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝30°﹣20°＝10°，


∵AD⊥BC，


∴∠ADE＝90°，


∴∠AED＝90°﹣∠EAD＝80°，


∵∠AED＝∠B+∠BAE，


∴∠B＝80°﹣30°＝50°，


故选：C．


9．解：∵多边形的每个内角都是108°，


∴每个外角是180°﹣108°＝72°，


∴这个多边形的边数是360°÷72°＝5，


∴这个多边形是五边形，


故选：A．


10．解：如图所示：


由折叠的性质得：∠D＝∠B＝32°，


根据外角性质得：∠1＝∠3+∠B，∠3＝∠2+∠D，


∴∠1＝∠2+∠D+∠B＝∠2+2∠B＝∠2+64°，


∴∠1﹣∠2＝64°．


故选：D．





二．填空题（共5小题）


11．解：∵∠B＝30°，


∴∠BEF+∠BFE＝180°﹣30°＝150°，


∴∠DEF+∠GFE＝360°﹣150°＝210°．


∵∠DEF＝∠A+∠D，∠GFE＝∠C+∠G，


∴∠A+∠D+∠C+∠G＝∠DEF+∠GFE＝210°，


故答案为：210．


12．解：如图，至少要钉2根木条．





故答案为：2．


13．解：∵△ABC中，∠A＝90°，


∴∠B+∠C＝90°，


∵∠1＝60°，


∴∠BDE+∠CDF＝120°，


∴∠2+∠3＝150°．


故答案为：150．


14．解：由题意三角形的最大的内角＝×180°＝100°，


故答案为100．


15．解：∵BI、CI分别平分∠ABC、∠ACB，BM、CM分别平分∠ABC、∠ACB的外角，


∴∠IBC＝∠ABC，∠ICB＝∠ACB，∠1＝∠DBC，∠2＝∠BCE，


∵∠ABC+∠DBC＝180°，∠ACB+∠BCE＝180°，


∴∠IBM＝90°，∠ICM＝90°，


∵∠BIC+∠IBM+∠ICM+∠BMC＝360°，


∴∠BMC＝180°﹣∠BIC＝40°，


故答案为：40°．


三．解答题（共5小题）


16．解：（1）因为a＝4，b＝6，


所以2＜c＜10．


故周长x的范围为12＜x＜20．


（2）①因为周长为小于18的偶数，


所以x＝16或x＝14．


当x为16时，c＝6；


当x为14时，c＝4．


②当c＝6时，b＝c，△ABC为等腰三角形；


当c＝4时，a＝c，△ABC为等腰三角形．


综上，△ABC是等腰三角形．


17．（1）证明：∵DE∥AB，


∴∠A＝∠DCE，∠B＝∠ECB，


∵∠DCE＝180°，


∴∠DCA+∠ACB+∠ECB＝180°，


∴∠A+∠ACB+∠B＝180°．





（2）∵AB∥CD，


∴∠CDE＝∠BED＝110°，


∵EF平分∠BED，


∴∠BEF＝∠BED＝55°，


∵∠AGF＝145°，


∴∠FGE＝35°，


∵∠BEF＝∠F+∠EGF，


∴∠F＝55°﹣35°＝20°．


18．解：（1）①∵∠A＝90°，∠M＝α，


∴∠AEM＝180°﹣90°﹣α＝90°﹣α，


∵EM平分∠AEF，


∴∠AEF＝2∠AEM＝180°﹣2α，


故答案为：180°﹣2α；


②证明：∵EF⊥BC，


∴∠EFC＝90°，


∵∠A＝90°，


∴∠C+∠ABC＝90°，


∴∠CEF＝∠ABC，


∵∠AEF＝180°﹣2α，


∴∠CEF＝2α，


∴∠ABC＝2α，


∵BD是△ABC的角平分线，


∴∠ABD＝ABC＝α，


∴∠ABD＝∠M，


∴BD∥ME；


（2）2∠BNE＝90°+∠BAC，


证明：∵BD平分∠ABC，EM平分∠AEF，


设∠ABD＝x，∠AEM＝y，


∴∠ABC＝2x，∠AEF＝2y，


∵∠ABD+∠BAD＝180°﹣∠ADB，


∠NED+∠END＝180°﹣∠NDE，


∵∠ADB＝∠NDE，


∴∠ABD+∠BAD＝∠NED+∠END，


∴x+∠BAD＝y+∠END，


∴x﹣y＝∠END﹣∠BAD，


同理，∠ABC+∠BAC＝∠FEC+∠EFC，


∴2x+∠BAC＝2y+∠EFC，


∴2x﹣2y＝∠EFC﹣∠BAC，


∵EF⊥BC，


∴∠EFC＝90°，


∴2（x﹣y）＝90°﹣∠BAC，


∴2（∠END﹣∠BAD）＝90°﹣∠BAC，


即2（∠BNE﹣∠BAC）＝90°﹣∠BAC，


∴2∠BNE＝90°+∠BAC．


19．解：（1）动手操作：


①∵BC∥EF，


∴∠DBC＝∠E＝∠F＝∠DCB＝45°，


∴∠ABD＝90°﹣45°＝45°，∠ACD＝60°﹣45°＝15°，


∴∠ABD+∠ACD＝60°；


②在△DBC中，∵∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，


而∠D＝90°，


∴∠DBC+∠DCB＝90°；


在Rt△ABC中，


∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，


即∠ABD+∠DBC+∠DCB+∠ACD+∠A＝180°，


而∠DBC+∠DCB＝90°，


∴∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠A＝60°．


故答案为60°；60°；


（2）猜想：∠A+∠B+∠C＝∠BDC；


证明：连接BC，


在△DBC中，∵∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，


∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠BDC；


在Rt△ABC中，


∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，


即∠ABD+∠DBC+∠DCB+∠ACD+∠A＝180°，


而∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠BDC，


∴∠A+∠ABD+∠ACD＝180°﹣（180°﹣∠BDC）＝∠BDC，


即：∠A+∠B+∠C＝∠BDC．


（3）灵活应用：


①由（2）可知∠A+∠ABD+∠ACD＝∠BDC，∠A+∠ABE+∠ACE＝∠BEC，


∵∠BAC＝40°，∠BDC＝120°，


∴∠ABD+∠ACD＝120°﹣40°＝80°


∵BE平分∠ABD，CE平分∠ACB，


∴∠ABE+∠ACE＝40°，


∴∠BEC＝40°+40°＝80°；


②由（2）可知：∠A+∠ABD+∠ACD＝∠BDC＝120°，∠ABF3+∠ACF3＝∠BF3C＝64°，


∵∠ABF3＝∠ABD，∠ACF3＝∠ACD，


∴ABD+∠ACD＝120°﹣∠A，∠A+（∠ABD+∠ACD）＝64°，


∴∠A+（120°﹣∠A）＝64°，


∴∠A＝40°，


故答案为40°．


20．解：过点A作直线MN，使MN∥BC


∵MN∥BC


∴∠B＝∠MAB，∠C＝∠NBC（两直线平行，内错角相等）


∵∠MAB+∠NBC+∠BAC＝180°（平角定义）


∴∠B+∠C+∠BAC＝180°（等量代换）


即∠A+∠B+∠C＝180°．





评价：两名同学的证法都不对．因为“三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角和”与“直角三角形两锐角互余”都是由三角形内角和定理推导的．