数学第5章 函数概念与性质本章综合与测试优秀一课一练

这是一份数学第5章 函数概念与性质本章综合与测试优秀一课一练，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

课时分层作业(二十) 函数的表示方法


(建议用时：40分钟)





一、选择题


1．设f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－\r(x)，x≥0，,2x，x<0，))则f(f(－2))＝( )


A．－1 B．eq \f(1,4)


C．eq \f(1,2) D．eq \f(3,2)


C [因为－2<0，所以f(－2)＝2－2＝eq \f(1,4)>0，


所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝1－eq \r(\f(1,4))＝1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)．]


2．已知函数f(x)的图象是两条线段(如图，不含端点)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))))＝( )





A．eq \f(4,3) B．eq \f(1,3)


C．－eq \f(2,3) D．eq \f(2,3)


B [由图象知，当－1＜x＜0时，f(x)＝x＋1，


当0＜x＜1时，f(x)＝x－1，


∴f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，－1＜x＜0，,x－1，0＜x＜1，))∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝eq \f(1,3)－1＝－eq \f(2,3)，


∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))＝－eq \f(2,3)＋1＝eq \f(1,3)．]


3．设f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x＞0，,0，x＝0，,－1，x＜0，))g(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x为有理数，,0，x为无理数，))则f(g(π))的值为( )


A．1 B．0


C．－1 D．π


B [∵π是无理数，∴g(π)＝0，则f(g(π))＝f(0)＝0．]


4．函数f(x)＝eq \f(ax＋b,x＋c2)的图象如图所示，则下列结论成立的是( )





A．a>0，b>0，c<0 B．a<0，b>0，c>0


C．a<0，b>0，c<0 D．a<0，b<0，c<0


C [依题意，可知函数定义域为{x|x≠－c}，结合图象知－c>0，∴c<0．


令x＝0，得f(0)＝eq \f(b,c2)，又由图象知f(0)>0，∴b>0．


令f(x)＝0，得x＝－eq \f(b,a)，结合图象知－eq \f(b,a)>0，∴a<0．


故选C．]


5．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－b，x<1，,2x， x≥1.))若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6)))))＝4，则b＝( )


A．1 B．eq \f(7,8)


C．eq \f(3,4) D．eq \f(1,2)


D [feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6)))＝3×eq \f(5,6)－b＝eq \f(5,2)－b，若eq \f(5,2)－b<1，即b>eq \f(3,2)，则3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)－b))－b＝eq \f(15,2)－4b＝4，解得b＝eq \f(7,8)，不符合题意，舍去；若eq \f(5,2)－b≥1，即b≤eq \f(3,2)，则2eq \s\up12(eq \f(5,2)－b)＝4，解得b＝eq \f(1,2)．]


二、填空题


6．设函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－x,1＋x)))＝x，则f(x)＝ ．


eq \f(1－x,1＋x)(x≠－1) [设t＝eq \f(1－x,1＋x)(t≠－1)，∴x＝eq \f(1－t,1＋t)，


∴f(t)＝eq \f(1－t,1＋t)(t≠－1)，


∴f(x)＝eq \f(1－x,1＋x)(x≠－1)．]


7．已知函数y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋1x≤0，,－2xx>0，))使函数值为5的x的值是 ．


－2 [若x2＋1＝5，则x2＝4，又∵x≤0，∴x＝－2；


若－2x＝5，则x＝－eq \f(5,2)，与x>0矛盾，故答案为－2．]


8．若函数f(x)满足关系式f(x)＋2feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝3x，则f(2)的值为 ．


－1 [把x＝2代入得f(2)＋2feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝6，把x＝eq \f(1,2)代入得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＋2f(2)＝eq \f(3,2)，解方程组可得f(2)＝－1．]


三、解答题


9．已知二次函数f(x)满足f(0)＝0，且对任意x∈R总有f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)．


[解] 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，


∵f(0)＝c＝0，


∴f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)


＝ax2＋(2a＋b)x＋a＋b，


f(x)＋x＋1＝ax2＋bx＋x＋1


＝ax2＋(b＋1)x＋1．


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＋b＝b＋1，,a＋b＝1，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,2)，,b＝\f(1,2).))


∴f(x)＝eq \f(1,2)x2＋eq \f(1,2)x．


10．设f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2x≤－1，,x2－1

(1)在下列直角坐标系中画出f(x)的图象；





(2)若f(t)＝3，求t值．


[解] (1)如图





(2)由函数的图象可得：f(t)＝3即t2＝3且－1＜t＜2，∴t＝eq \r(3)．





1．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中点A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(f(2)))＝( )





A．0 B．2


C．4 D．6


B [由题意可知f(2)＝0，f(0)＝4，f(4)＝2，


因此，有f(f(f(2)))＝f(f(0))＝f(4)＝2．]


2．已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－5x≥6，,fx＋2x<6，))则f(3)＝ ．


2 [由函数解析式可知f(3)＝f(5)＝f(7)＝2．]


3．已知f(x)满足f(x)＋3f(－x)＝x2－3x，则f(x)＝ ．


eq \f(x2,4)＋eq \f(3,2)x [用－x替换原式中的x得f(－x)＋3f(x)＝x2＋3x，联立f(x)＋3f(－x)＝x2－3x，


消去f(－x)得f(x)＝eq \f(x2,4)＋eq \f(3,2)x．]


4．某公司规定：职工入职工资为2 000元/月．以后2年中，每年的月工资是上一年月工资的2倍，3年以后按年薪144 000元计算．试用列表、图象、解析式三种不同的形式表示该公司某职工前5年中，月工资y(元)(年薪按12个月平均计算)和年份序号x的函数关系，并指出该函数的定义域和值域．


[解] 由题意，前3年的月工资分别为2 000元，4 000元，8 000元，第4年和第5年的月工资平均为：eq \f(144 000,12)＝12 000．当年份序号为x时，月工资为y元，则用列表法表示为：


图象法表示为：





其解析式为：


f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2 000×2x－1，x∈{1，2，3}，,12 000，x∈{4，5}.))


由题意，该函数的定义域为{1,2,3,4,5}，值域为{2 000，4 000，8 000,12 000}．


年份序号x(年)
1
2
3
4
5
月工资y(元)
2 000
4 000
8 000
12 000
12 000