数学13.3 等腰三角形综合与测试学案

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轴对称与等腰三角形-等腰三角形解答题专练


LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图,△ABC中，AB=AC=5，AB的垂直平分线DE交AB、AC于E、D，


(1）若△BCD的周长为8，求BC的长；


(2）若∠ABD：∠DBC=1：1，求∠A的度数．


























LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC.


(1)求证：△ABC是等腰三角形；


(2)若AE=8cm，AB=10cm，GC=2BGcm，求△ABC的周长．


















































LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图，△ACB和△ADE均为等边三角形，点C、E、D在同一直线上，连接BD，试猜想线段CE、BD之间的数量关系，并说明理由.




















LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图，在△ABC中，AC=DC=DB，∠ACD=100°，求∠B的度数．
































LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，∠B=30°，连接AD.


（1）若∠BAD=45°，求证：△ACD为等腰三角形；


（2）若△ACD为直角三角形，求∠BAD的度数.









































LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC.


(1)求证：△ABC是等腰三角形；


(2)若AE=8，AB=10，GC=2BG，求△ABC的周长.


























LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B、C向过点A的直线作垂线，垂足分别为点E、F．


（1）如图（1），过A的直线与斜边BC不相交时，求证：①△ABE≌△CAF； ②EF=BE+CF


（2）如图（2），过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE=10，CF=3，试求EF的长．



























































LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图：AD为△ABC的高，∠B=2∠C，用轴对称图形说明：CD=AB+BD．




















LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图,已知ΔABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,BF平分∠ABC交CD于E,交AC于F.


求证：CE=CF．


























LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知，如图①，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=50°


（1）求证：①AC=BD；②∠APB=50°；


（2）如图②，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系为 ，∠APB的大小为


























LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，∠BAC的平分线AE交BC于点D，且AE⊥BE.


(1)求∠DBE的大小；


(2)求证：AD=2BE.


























LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥DF，交AB于点E，连结EG、EF．


（1）求证：BG=CF；


（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．

















LISTNUM OutlineDefault \l 3 在△ABC中，AB=AC．


（1）如图1，如果∠BAD=30°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC=


（2）如图2，如果∠BAD=40°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC=


（3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：


（4）如图3，如果AD不是BC上的高，AD=AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由．














LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图，已知△ABC中，AB=AC=12cm，BC=9cm，点D为AB的中点.


（1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C向点A运动.


①若点P的运动速度与点Q的运动速度相等，1秒钟时，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由？


②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？


（2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC的三边运动，直接写出经过多长时间点P与点Q第一次相遇.
































参考答案


LISTNUM OutlineDefault \l 3 \s 1 ①3，②36°


LISTNUM OutlineDefault \l 3 （1）证明略；(2)32cm；








LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：CE=BD，


理由：∵△ACB和△ADE均为等边三角形，∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°，


∴∠DAE﹣∠BAE=∠BAC﹣∠BAE，∴∠DAB=∠EAC.


在△ADB和△AEC中，，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴CE=BD.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：∵AC=DC=DB，∠ACD=100°，


∴∠CAD=（180°﹣100°）÷2=40°，


∵∠CDB是△ACD的外角，


∴∠CDB=∠A+∠ACD=100°=40°+100°=140°，


∵DC=DB，


∴∠B=（180°﹣140°）÷2=20°．





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：


（1）证明：∵AB=AC，∠B=30°，∴∠B=∠C=30°，


∴∠BAC=180°﹣30°﹣30°=120°，


∵∠BAD=45°，


∴∠CAD=∠BAC﹣∠BAD=120°﹣45°=75°，∠ADC=∠B+∠BAD=75°，


∴∠ADC=∠CAD，∴AC=CD，即△ACD为等腰三角形；


（2）解：有两种情况：


①当∠ADC=90°时，


∵∠B=30°，


∴∠BAD=∠ADC﹣∠B=90°﹣30°=60°；


②当∠CAD=90°时，


∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=120°﹣90°=30°；


即∠BAD的度数是60°或30°.





LISTNUM OutlineDefault \l 3








LISTNUM OutlineDefault \l 3 （1）证明：


①∵BE⊥EF，CF⊥EF，∴∠AEB=∠CFA=90°，


∴∠EAB+∠EBA=90°，


∵∠BAC=90°，


∴∠EAB+∠FAC=90°，


∴∠EBA=∠FAC，


在△AEB与△CFA中


∴△ABE≌△CAF（AAS），


②∵△ABE≌△CAF，


∴EA=FC，EB=FA，


∴EF=AF+AE=BE+CF；


（2）解：∵BE⊥AF，CF⊥AF


∴∠AEB=∠CFA=90°


∴∠EAB+∠EBA=90°


∵∠BAC=90°


∴∠EAB+∠FAC=90°


∴∠EBA=∠FAC，


在△AEB与△CFA中


∴△ABE≌△CAF（AAS），


∴EA=FC，EB=FA，


∴EF=FA﹣EA=EB﹣FC=10﹣3=7．





LISTNUM OutlineDefault \l 3 证明：在CD上取一点E使DE=BD，连接AE．





∵BD=DE，且∠AED为△AEC的外角，∠B=2∠C，


∴∠B=∠AED=∠C+∠EAC=2∠C，


∴∠EAC=∠C，∴AE=EC；则CD=DE+EC=AB+BD．





LISTNUM OutlineDefault \l 3 证明：


∵∠ACB＝90°,CD⊥AB∴∠CBF＋∠CFB＝∠DBE＋∠DEB＝90°


∵BF平分∠ABC∴∠CBF＝∠DBE


∵∠CBF＋∠CFB＝∠DBE＋∠DEB∴∠CFB＝∠DEB


∵∠FEC＝∠DEB∴∠CFB＝∠FEC∴CE＝CF





LISTNUM OutlineDefault \l 3 证明：（1）∵∠AOB=∠COD=50°，∴∠AOC=∠BOD，


在△AOC和△BOD中，∴△AOC≌△BOD，∴AC=BD，∠CAO=∠DBO，


根据三角形内角和可知∠CAO+∠AOB=∠DBO+∠APB，∴∠APB=∠AOB=50°．


（2）解：AC=BD，∠APB=α，理由是：）∵∠AOB=∠COD=50°，∴∠AOC=∠BOD，


在△AOC和△BOD中，∴△AOC≌△BOD，∴AC=BD，∠CAO=∠DBO，


根据三角形内角和可知∠CAO+∠AOB=∠DBO+∠APB，∴∠APB=∠AOB=α，


故答案为：AC=BD，α．





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：(1)∵∠C=90°，AC=BC，


∴∠BAC=45°，


∵AE是∠BAC的平分线，


∴∠CAD=∠BAC=22.5°，


∵AE⊥BE，∴∠BED=90°，


∴∠ACD=∠BED=90°，


∵∠ADC=∠BDE，


∴∠DBE=∠CAD=22.5°.


(2)延长AC、BE交于点G.





∵AE⊥BG，∴∠AEB=∠AEG=90°，


在△AEB和△AEG中，，


∴△AEB≌△AEG，


∴BE=EG，


在△ACD和△BCG中，，


∴△ACD≌△BCG，


∴AD=BG=2BE，


∴AD=2BE.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：（1）∵BG∥AC，∴∠DBG=∠DCF．∵D为BC的中点，∴BD=CD


又∵∠BDG=∠CDF，在△BGD与△CFD中，∵


∴△BGD≌△CFD（ASA）．∴BG=CF．


（2）BE+CF＞EF．∵△BGD≌△CFD，∴GD=FD，BG=CF．


又∵DE⊥FG，∴EG=EF（垂直平分线到线段端点的距离相等）．


∴在△EBG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高，


∴∠BAD=∠CAD，∵∠BAD=30°，∴∠BAD=∠CAD=30°，


∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=75°，∴∠EDC=15°．


（2）∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高，∴∠BAD=∠CAD，


∵∠BAD=40°，∴∠BAD=∠CAD=40°，


∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=70°，∴∠EDC=20°．


（3）∠BAD=2∠EDC（或∠EDC=0.5∠BAD）


（4）仍成立，理由如下


∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，


∴∠BAD+∠B=∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠AED+∠EDC=（∠EDC+∠C）+∠EDC=2∠EDC+∠C


又∵AB=AC，∴∠B=∠C∴∠BAD=2∠EDC．


故分别填15°，20°，∠EDC=0.5∠BAD





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：（1）全等；（2）全等；（3）24秒.