(最新)初三数学上册班培优讲义..直升班第18讲 几何变换之旋转（一）（学生版）

一、旋转初步：

旋转在生活中很常见，在数学中，旋转变换也是几何三大变换中最常考的一种，也是在近几年中考和直升外地生考试中频繁出现的热点考点。

1．旋转的三要素：旋转角度，旋转中心和旋转方向。

2．旋转的性质：旋转前后对应的图形全等，对应的旋转角度相等。

3．中心对称：特别的，如果旋转角度为，那么旋转前后两个图形成中心对称。

注意：两个图形成中心对称和中心对称图形要区别清楚，两个图形成中心对称指的是两个图形，中心对称图形指的是一个图形，比如说平行四边形是一个中心对称图形。

二、大角夹半角：

大角和半角，比较常见的是和，和，以和为例。

模型I：正方形中，，

可得：①；②．

模型II：等腰直角中，，可得．

（1）如图1-1，在中，，将绕点顺时针旋转后得到的（点的对应点是点，点的对应点是点），连接．若，则的大小是（　　）．

A．         B．           C．             D．

（2）如图1-2，将矩形绕点旋转至矩形位置，此时的中点恰好与点重合，交于点．若，则的面积为（　　）．

A．3            B．1.5         C．           D．

图1-1                                图1-2

如图2-1，是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合），连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转得到线段CQ，连接QB交直线AD于点E．

（1）如图2-1，若是锐角，其它条件不变，猜想的度数；

（2）如图2-2，若，，且，求BQ的长．

图2-1                                    图2-2

正方形ABCD中，点M、N分别为BC、CD边上的点，且，连接MN，过A作交MN于点E，连接BD，分别交AM、AN于点F、G．试证明以下结论：

①；

②；

③；

④AM平分，AN平分；

⑤．

如图，在正方形ABCD中，E为CD上一动点，连接AE交对角线BD于点F，过点F作交BC于点G，连接EG，已知正方形ABCD边长为4cm，求的周长．

如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，，，E是AB上的一点，且，，求DE的长．

在等边的两边AB，AC所在直线上分别有两点M，N，D为外一点，且，，，探究：当点M，N分别在直线AB，AC上移动时，BM，CN，MN之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系．

（1）如图6-1，当点M，N在边AB，AC上，且时，BM，NC，MN之间的数量关系式_________；此时__________．

（2）如图6-2，当点，在边，上，且时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；

（3）如图6-3，当点M，N分别在边AB，CA的延长线上时，若，则_________（用x，L表示）．

图6-1                  图6-2                     图6-3

如图所示，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以D为顶点作一个的，点M、N分别在AB、AC上，求的周长．

如图，菱形ABCD中，点E、M在AD上，且，点F为AB上的点，且.求证：．

（1）如图1-1，边长为6正方形绕点B按顺时针方向旋转后得到正方形EBGF，EF交CD于点H，则FH的长为_______（结果保留根号）．

（2）如图1-2，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得，则（　　）．

A．      B．      C．      D．

图1-1                                  图1-2

如图，中，，，是由绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．

（1）求证：；

（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．

已知梯形ABCD中，AD∥BC，，点E、F分别在AD、AB上，且．

（1）求证：；

（2）连接AC，若，，求的度数．

（1）如图4-1，在四边形ABCD中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且．求证：．

（2）如图4-2，在四边形ABCD中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？不用证明．

（3）如图4-3，在四边形ABCD中，，，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．

图4-1                      图4-2                     图4-2

如图，已知正方形ABCD的边长为1，P、Q是其内两点，且．求的值．