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    (最新)初三数学上册班培优讲义..直升班第19讲 几何变换之旋转(二)(学生版)

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    一、Y字型旋转:

    模型I:等边三角形的Y字型旋转

    因为在旋转角为的旋转变换下,任意一组对应点与旋转中心恰好构成一个正三角形的三个顶点,这样,对于条件中含有正三角形的平面几何问题,我们即可以考虑用旋转角为的旋转变换处理.旋转中心可以选取正三角形的某个顶点.

       

    模型II:等腰直角三角形的Y字型旋转

    因为在旋转角为的旋转变换下,任意一组对应点与旋转中心恰好构成一个等腰直角角形的三个顶点,这样,对于条件中含有等腰直角三角形的平面几何问题,我们即可以考虑用旋转角为的旋转变换处理.旋转中心通常选取等腰直角三角形的直角顶点.

             

    二、三角形中的费马点:


     

    1.定义:在一个四边形内找一个点,使得这个点到四边形四个点的距离和最小,这个点即为四边形两条对角线的交点

    在一个三角形内找一个点,使得这个点到三角形三个点的距离和最小,这个点我们称为三角形中的费马点

       

    2.性质:1)费马点到三角形的三个顶点的距离和最小;

    2)费马点对应三边的三个张角都相等,且为

    等边三角形的Y字型旋转

    Y

    线Y

    Y

     

     

    等腰直角三角形的Y字型旋转

    Y

    线Y

    Y

    1如图2-1P是等边内部一点,,求的边长.

     

    2如图2-2在等边中,PBC边上一点,则以APBPCP为边组成的新三角形的最大内角为,则为多少度?

     

    3如图2-3是等边三角形,在中,,问:当为何值时,CD两点的距离最大?最大值是多少?

                

    2-1                     2-2                   2-3

     

     

     

     

     

    1如图3-1,在正方形ABCD内有一点P,且度数的大小和正方形ABCD的边长

     

    2如图3-2,已知在中,,点DBC上的任意一点,探究:BDCDAD的关系,并证明你的结论.

     

    3如图3-3四边形ABCD被对角线BD分为等腰直角和直角,其中都是直角,另一条对角线AC的长度为2,求四边形ABCD的面积.

              

    3-1                 3-2                     3-3

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    如图,正方形ABCD的对角线交于点O,以AD为边向外作,连接OEAE的长.

                       

     

    如图,以的斜边BC为一边在同侧作正方形BCEF,设正方形的中心为O,连接AO,如果,求AC的长.

                         

     

    P所在平面上一点,且,则点P叫做的费马点.如图,在锐角外侧作等边连接.求证:的费马点P,且

                  

     

     

    如图,四边形ABCD是正方形,是等边三角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转得到BN,连接ENAMCM

    1求证:

    2M点在何处时,的值最小;

    M点在何处时,的值最小,并说明理由;

    3的最小值为时,求正方形的边长.

             

     

     

     

    (金牛区期末)如图矩形纸片ABCD中,将它折叠,使点AC重合,在矩形ABCD中,P是内部一点,QBC边上任意一点,试确定点PQ的位置,使得最小,并求出这个最小值.

                    

     

     

     

     

    如图,为等边三角形,以AB为对角线作矩形ADBE,点E内部,连接EC,若,则的边长为_______

    已知:,以AB为一边作正方形ABCD,使PD两点落在直线AB的两侧.当时,求ABPD的长.

         

    1                      2

     


    如图所示,在四边形ABCD中,,证明:

     

     

     

     

    已知O内一点,P内任一点,求证:.(O为费马点)

         

     

     

    已知正方形ABCD内一动点EABC三点的距离之和的最小值为,求此正方形的边长.

     

     

     


     

     

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