初中数学人教版九年级上册第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.1 圆优秀单元测试测试题

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第24章 圆测试卷
一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．（2020·江苏江都·月考）下列说法中，正确的是（ ）
A．弦是直径 B．半圆是弧
C．过圆心的线段是直径 D．圆心相同半径相同的两个圆是同心圆
【答案】B
【解析】过圆心的弦是直径，不是所有的弦都是直径，故A选项错误；圆上任意两点间的部分是弧，故半圆是弧，故B正确；过圆心的弦是直径，故C选项错误；圆心相同，半径不等的两个圆是同心圆，故D错误，所以本题选B.
2．（2019·乐清市英华学校期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠D＝3∠B，则∠B的度数为（　　）

A．30° B．36° C．45° D．60°
【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠D＝180°，
∵∠D＝3∠B，
∴4∠B＝180°，
解得：∠B＝45°，
故选：C．
3．（2020·北大附属嘉兴实验学校初三月考）⊙O以原点为圆心，5为半径，点P的坐标为(4，2)，则点P与⊙O的位置关系是(    )
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．点P在⊙O上或⊙O外
【答案】A
【解析】已知点的P点坐标为（4，2），由勾股定理可得，又因⊙O的半径为5，，所以点P在⊙O内．
故答案选A．
4．（2020·湖南长沙·明达中学初三月考）如图，如果为的直径，弦，垂足为，那么下列结论中，错误的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE＝CD，弧BC＝弧BD，弧AC＝弧AD，
∴∠BAC＝∠BAD，AC＝AD，
故选D．
5．（2019·河南西华·期中）圆外一点到圆上各点的最短距离为3，最长距离为7，那么这个圆的半径为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】解：如下图所示，连接PO交圆O于点A，PA即为到圆上各点的最短距离，即PA=3；
延长PO交圆O于点B，PB即为到圆上各点的最长距离，即PB=7
∴直径AB=PB－PA=4
∴这个圆的半径为AB=2
故选B．

6．（2020·江苏江都·月考）如图，过点B、C，圆心O在等腰的内部，，，．则的半径为（ ）

A．5 B． C． D．
【答案】A
【解析】
解：过O作OD⊥BC，
∵BC是⊙O的一条弦，且BC=8，
∴BD=CD= ，
∴OD垂直平分BC，又AB=AC，
∴点A在BC的垂直平分线上，即A，O及D三点共线，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
∴△ABD也是等腰直角三角形，
∴AD=BD=4，
∵OA=1，
∴OD=AD-OA=4-1=3，
在Rt△OBD中，
OB= ．
故答案为A．
7． （2020·恩施市白果乡初级中学其他）如图，点是的劣弧上一点，连接，，，，交于点，若，，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：由圆周角定理得：∠BOC=2∠A=72°，
∵∠ODA=∠BOC+∠C=72°+27°=99°，∠ODA=∠B+∠A，
∴∠B=99°-36°=63°；
故选：D．
8．（2020·浙江台州·月考）如图，是的切线，切点分别是．若，则的长是( )

A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【解析】解：∵是的切线，切点分别是．
∴，
∴，
∵，
∴．
故选D．
9．（2020·浙江台州·月考）如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（　　）

A．点（0，3） B．点（2，3）
C．点（5，1） D．点（6，1）
【答案】C
【解析】∵过格点A，B，C作一圆弧，∴三点组成的圆的圆心为：O（2，0），∵只有∠OBD+∠EBF=90°时，BF与圆相切，∴当△BOD≌△FBE时，∴EF=BD=2，F点的坐标为：（5，1），∴点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是：（5，1）．故选C．

10．（2020·遵义市第十六中学其他）如图，△ABC中，AB＝7cm，AC＝8cm，BC＝6cm，点O是△ABC的内心，过点O作EF//AB，与AC、BC分别交于点E、F，则△CEF的周长为（　　）

A．14cm B．15cm C．13cm D．10.5cm
【答案】A
【解析】解：连接OA、OB．
∵点O是△ABC的内心，
∴AO、BO分别是∠CAB和∠CBA的角平分线．
∴∠EAO＝∠BAO，∠FBO＝∠ABO．
∵EF//BA，
∴∠EOA＝∠OAB，∠FOB＝∠OBA．
∴∠EAO＝∠EOA，∠FOB＝∠FBO．
∴EO＝EA，OF＝FB．
∴EF＝AE＋BF，
∴△CEF的周长＝CE＋CF＋EF＝CE＋EA＋CF＋FB＝CA＋CB＝14，
故选：A．

11．（2019·山东诸城·三模）如图，在边长为2的正方形ABCD中，以点D为圆心，AD为半径画，再以BC为直径画半圆，若阴影部分①的面积为S1，阴影部分②的面积为S2，则图中S2﹣S1的值为（　　）

A．﹣4 B． +4 C．﹣2 D． +2
【答案】A
【解析】解：由图形可知，扇形ADC的面积+半圆BC的面积+阴影部分①的面积﹣正方形ABCD的面积＝阴影部分②的面积，
∴S2﹣S1＝扇形ADC的面积+半圆BC的面积﹣正方形ABCD的面积

，
故选A．
12．（2020·无锡市东北塘中学月考）在半径为的圆中，长度等于的弦所对的弧的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【解析】解：由题意可知：半径r=1，弦长为，
根据勾股定理的逆定理可知：（）2=12+12，
∴长度等于的弦所对的弧有优弧、劣弧，
∴长度等于的弦所对弧的度数为90°或者270°．
故选C．
13．已知O为圆锥顶点,OA、OB为圆锥的母线,C为OB中点, 一只小蚂蚁从点C开始沿圆锥侧面爬行到点A, 另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B，它们所爬行的最短路线的痕迹如右图所示. 若沿OA剪开, 则得到的圆锥侧面展开图为 ( )

A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵C为OB中点，一只小蚂蚁从点C开始沿圆锥侧面爬行到点A，
∴侧面展开图BO为扇形对称轴，连接AC即可是最短路线，
∵另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B，作出C关于OA的对称点，再利用扇形对称性得出关于BO的另一对称点，连接即可；
故选C．
14．（2020·湖北武汉·月考）如图，半圆的直径，C为半圆弧上一动点，于点D，则的最大值为 （ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解:在CD上截取DE,使DE=DB,连接BE并延长交圆与点F,

∵,
∴△BDE是等腰直角三角形,
∴∠DBE=∠DEB=∠CEF=45°,
∴=CE,
当点D在OB中点时,CE有最大值,
此时，ED=BD=1
CE=,
故选A.
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
15．（2020·浙江台州·月考）如图是一条水铺设的直径为2米的通水管道横截面，其水面宽1.6米，则这条管道中此时水深为______米．

【答案】
【解析】
解：作出弧AB的中点D，连接OD，交AB于点C．
则OD⊥AB．AC=AB=0.8m．
在直角△OAC中，OC===0.6m．
则水深CD=OD-OC=1-0.6=0.4m．
16．（2020·甘肃一模）如图，，分别切于点，，点在上，且，__________．

【答案】80°
【解析】解：连接OA、OB，
∵∠ACB=50°，
∴∠AOB=2∠ACB=100°，
∵PA，PB分别切⊙O于点A、B，点C在⊙O上，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠P=360°-90°-100°-90°=80°，
故答案为：80°．

17．（2019·山东诸城·三模）如图，直线，直线分别与、相交于点、．小亮同学利用尺规按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧交于点，交于点；②分别以、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点；③做射线交于点．若，，则的内切圆半径长等于__________．

【答案】
【解析】解：由题意可知，AF为∠BAN的角平分线，
∵，，
∴∠BAN=60°，∠ABF=120°，
∵AF为∠BAN的角平分线
∴∠BAF=∠NAF=30°，
∴∠AFB=30°
∴△ABF是以顶角为120°的等腰三角形，如下图所示
设圆O为△ABF的内切圆，过点O作OG⊥AB于点G，OH⊥AB于点H，OL⊥AF于点L，连接OA，OB，OF，设内切圆半径为r，则OG=OH=OL=r
∵
∴AF=AB=2，AF=2，BL=1
由等面积法可知：，
即
解得：
故答案为：．

18．（2020·江苏江都·月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=4,BC=3,D是以点A为圆心2为半径的圆上一点，连接BD，M为BD的中点，则线段CM长度的最小值为__________．

【答案】
【解析】解：如图，取AB的中点E，连接CE,ME,AD,
∵E是AB的中点，M是BD的中点，AD=2，
∴EM为△BAD的中位线，
∴ ,
在Rt△ACB中，AC=4,BC=3，
由勾股定理得，AB=
∵CE为Rt△ACB斜边的中线，
∴,
在△CEM中， ,即，
∴CM的最大值为 .

故答案为：.
三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．（2019·金昌市金川总校第五中学初三期中）小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A、B、C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．

【答案】见解析
【解析】如图，分别作边AB,AC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为花坛的圆心O，再以OA为半径画圆，则此圆即为花坛的位置．

20．（2020·北大附属嘉兴实验学校初三月考）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点C是优弧AB上一点（点C不与点A，B重合），设∠OAB=α，∠C=β．
（1）当α=40°时，求β的度数；
（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明．

【答案】（1）β=50°；（2）α+β=90°．
【解析】解：（1）连接OB，

∵∠OAB=α=40°，
∴∠OBA=40°，
∴∠AOB=100°，
∴β=∠AOB=50°；
（2）结论：α+β=90°．
理由：∵∠AOB=180°-2α，
∴
∴α+β=90°．
21．（2020·北大附属嘉兴实验学校初三月考）好山好水好江山，石拱桥在江山处处可见，小明要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面宽度16m时，拱顶高出水平 面4m，货船宽12m，船舱顶部为矩形并高出水面3m。

（1）请你帮助小明求此圆弧形拱桥的半径；
（2）小明在解决这个问题时遇到困难，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由.
【答案】（1）此圆弧形拱桥的半径为10m；（2）此货船能顺利不能通过这座拱桥.理由见解析.
【解析】（1）解：连接OA，

由题意可知CD=4，AB=16，OC⊥AB于点D，
∴,
设OA=r，则OD=r-4
∴（r-4）2+82=r2 ，
解之：r=10
答：此圆弧形拱桥的半径为10m.
（2）解：如图

∵EF=12
∴FG=12÷2=6
∴OG=
∵OD=10-4=6
∴DG=OG-OD=8-6=2＜3
∴此货船能顺利不能通过这座拱桥.
22．（2020·安徽初三月考）如图，四边形内接于圆，，的延长线交于点，是延长线上任意一点，．

（1）求证：平分；
（2）求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠CDE=∠ABC．
由圆周角定理得：∠ACB=∠ADB，又∠ADB=∠FDE，
∴∠ACB=∠FDE．
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∴∠FDE=∠CDE，即DE平分∠CDF；
（2）∵∠ACB=∠ABC，∠ACB=∠CAE+∠E，∠ABC=∠ABD+∠DBC，
∴∠CAE+∠E=∠ABD+∠DBC．
又∵∠CAE=∠DBC，
∴∠E=∠ABD，
∴∠ACD=∠AEB．
23．（2020·长沙市长郡梅溪湖中学初二期末）如图，已知ABC的顶点A、B、C的坐标分别是A（﹣1，﹣1），B（﹣4，﹣3），C（﹣4，﹣1）．
（1）作出ABC关于原点O的中心对称图形A1B1C1；
（2）将ABC绕原点O按顺时针方向旋转90°后得到A2B2C2，画出A2B2C2；
（3）在（2）的条件下，请直接写出点A1、C2的坐标，并求出旋转过程中线段OC所扫过的面积．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）A1（1，1），C2（﹣1，4）；线段OC所扫过的面积＝．
【解析】解：（1）如图，A1B1C1即为所求．
（2）如图，A2B2C2即为所求．

（3）A1（1，1），C2（﹣1，4）．
∵OC＝＝，∠COC2＝90°，
∴线段OC所扫过的面积＝＝．
24．（2019·全国初三月考）小华的爸爸要用一块矩形铁皮加工出一个底面半径为，高为的锥形漏斗，要求只能有一条接缝（接缝忽略不计）
你能求出这个锥形漏斗的侧面展开图的圆心角吗？
如图，有两种设计方案，请你计算一下，哪种方案所用的矩形铁皮面积较少？

【答案】（1）120°（2）方案二所用的矩形铁皮面积较少
【解析】圆锥的母线长，
设这个锥形漏斗的侧面展开图的圆心角为，
所以，解得，

即这个锥形漏斗的侧面展开图的圆心角为；如图，，，
在中，∵，
∴，
∴，
∴，
∴方案一所需的矩形铁皮的面积，
如图，，，
在中，∵，
∴，

∴，
∴方案二所需的矩形铁皮的面积，
∴方案二所用的矩形铁皮面积较少．
25．（2020·金水·河南省实验中学初三三模）如图，已知的直径为，于点，与相交于点，在上取一点，使得．


（1）求证：是的切线；
（2）填空：
①当，时，则___________．
②连接，当的度数为________时，四边形为正方形．
【答案】（1）详见解析；（2）①10；②
【解析】解：（1）证明：如图，连接，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，OD是半径，
∴DE是的切线；

（2）①证明：∵，
∴,
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即E是AC中点，
∵O是AB中点，
∴，
在中，，
∴BC=2OE=10，
故答案是：10；
②当时，四边形AODE为正方形，
证明：∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴AB=AC，
由（2）得AO=AE，
∵AO=DO=AE=DE，
∴四边形AODE是菱形，
∵，
∴四边形AODE是正方形，
故答案是：．
26．（2020·广东宝安·初三三模）如图1，已知线段OA，OC的长是方程的两根，且OA＝OC，点B的坐标为（4，1），⊙B与x轴相切于点M．
（1）求点A和点C的坐标及∠CAO的度数；
（2）⊙B以每秒1个单位长度的速度沿x轴负方向平移，同时，直线AC绕点A顺时针匀速旋转．当⊙B第一次与y轴相切时，直线AC也恰好与⊙B第一次相切．问：直线AC绕点A每秒旋转多少度？
（3）如图2，过A，O，C三点作⊙，点E是劣弧AO上一点，连接EC，EA，EO，当点E在劣弧AO上运动时（不与A，O两点重合），的值是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由．

【答案】（1）（，0）；（0，）；45°；（2）30度；（3）不变；
【解析】解：（1）∵OA，OC的长是方程的两根，且OA＝OC，
∴方程有等根，
∴△=2m2-4m=0，
解得m=2或0（舍去），
∴方程为：


；
（2）如图1中，设旋转后直线AC第一次与⊙B切于D点，连BD，设⊙B第一次与y相切于点F，与x轴相切于点M，连接BF，OB，BM．

∵⊙B第一次与y轴相切时，直线AC也恰好与⊙B第一次相切，
∴BD=BF=BM=OM=1，OB=，
∴BM=OB，
∴∠BOM=45°，
∵OA=OB=，
∴∠OAB=∠OBA，
∵∠BOM=∠OAB+∠OBA，
∴∠OAB=22.5°，
∵AD，AM是⊙B的切线，
∴∠BAD=∠BAM=22.5°，
∴∠DAM=45°
∴直线AC绕点A旋转了180°-45°-45°=90°，
而⊙B第一次与y轴相切时用了3秒，
∴直线AC绕点A每秒旋转的度数==30°，
即直线AC绕点A每秒旋转30度．
（3）结论：的值不变，等于，如图2，

在CE上截取CK=EA，连接OK，
∵∠OAE=∠OCK，OA=OC，
∴△OAE≌△OCK（SAS），
∴OE=OK，∠EOA=∠KOC，
∴∠EOK=∠AOC=90°，
∴EK=EO，
∴=．