(最新)初三数学上册班培优讲义.直升班第14讲 圆（四）（学生版）

圆（四）    

模块一  圆和圆的位置关系

模块二  圆幂定理

模块一  圆和圆的位置关系

圆和圆的位置关系：圆和圆外离、圆和圆外切、圆和圆相交、圆和圆内切、圆和圆内含五种，这五种关系由两圆圆心的距离与两圆半径之和或差的大小关系决定．

设、的半径分别为r、R（其中），两圆圆心距为d，则有：

两圆外离；两圆外切；两圆相交；

两圆内切；两圆内含

说明：圆和圆的位置关系，既考虑了他们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点的个数来分，又可分为三大类：相离、相切、相交，其中相离两圆没有公共点，它包括外离与内含两种情况；相切两圆只有一个公共点，它包括内切与外切两种情况．

模块二  圆幂定理

1．相交弦定理

相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等．

如图，弦AB和CD交于内一点P，则．

2．切割线定理

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．

如图，PT是的切线，PAB为的割线，则．

3．割线定理

割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．

如图，PAB和PCD为的两条割线，则．

（1）若两圆的直径分别是2和6，两圆的圆心距是4，则两圆的位置关系是（    ）．

A．外离           B．外切           C．相交           D．内切

（2）两圆的圆心距为3，两圆的半径分别是方程的两个根，则两圆的位置关系是（    ）．

A．相交     B．外离      C．内含     D．外切

（3）若两个圆相切于A点，它们的直径分别为10cm、4cm，则这两个圆的圆心距为__________．

（4）已知与两圆内含，，的半径为5，那么的半径r的取值范围是__________．

如图，与相交于A、B两点，在的圆周上，的弦AC交于D点，求证：线段与BC垂直．

（1）如图3-1，已知与外切，外公切线AB与、分别相切于A、B两点，AB与的夹角，若，求两圆的半径及外公切线长．

（2）如图3-2，与外离，AB，CD是内公切线交于P点，是圆心距，若，且的半径为2cm，的半径为3cm，求两条内公切线长及它们所夹锐角的度数．

图3-1                                             图3-2

（1）如图4-1，矩形内放置8个半径为1cm的圆，其中相邻两个圆都相切，并且左上角和右下角的两个圆和矩形的边相切，则该矩形的面积为__________．

（2）如图4-2，PQ、、分别是以、、为圆心的半圆、、的直径，圆内切于半圆及外切于半圆、．若，圆的面积为__________．

图4-1                                            图4-2

（1）如图5-1，已知的弦AB、CD相交于点P，，，，则__________．

（2）如图5-2，在中，弦AB与半径OC相交于点M，且，，，则OC的长为__________．

（3）如图5-3，点P为弦AB上的一点，连接OP，过点P作，PC交于C，且的半径为3．若，，则OP的长为________．

图5-1                          图5-2                          图5-3

（1）如图6-1，一圆周上有三点A，B，C，∠A的平分线交边BC于D，交圆于E，已知，，，则__________．

（2）如图6-2，已知AB为的直径，C为上一点，于D，，，以C为圆心，CD为半径的圆与相交于P，Q两点，弦PQ交CD于E，则__________．

图6-1                                             图6-2

如图，已知的弦AB，CD相交于点P，，，，EA切于点A，AE与CD的延长线交于点E，，求PE的长．

如图，已知AB是的直径，C是圆上一点，延长BC至D，使，连接AD，过C作于E，BE交于F．求证：．

（1）如图9-1，过点P作的两条割线分别交于点A、B和点C、D，已知，，则PD的长是____________．

（2）如图9-2，AB是的直径，弦，垂足为E，P是BA延长线上的点，连接PC交于F，如果，，且，则CD的长是______________．

（3）如图9-3，BC是半圆的直径，于点F，．已知点A在CE的延长线上，AB与半圆交于D，且，，则AD的长为_________．

图9-1                          图9-2                         图9-3

如图，四边形ABCD内接于以BC为直径的圆O，且，DA、CB的延长线相交于P点．
于E，，已知，求DE的长．

（1）图中包含的两圆之间不同的位置关系有_____________________．

（2）平面直角坐标系中，的圆心在原点，半径为3，的圆心A的坐标为，半径为1，那么与的位置关系是____________．

（3）已知两圆相切，两圆半径分别为6cm和3cm，则圆心距为__________．

如图，和都经过A，B两点，经过点A的直线CD与交于点C，与交于点D，经过B的直线EF与交于点E，与交于点F．

（1）求证：．

（2）在图中，CD与EF可以分别绕点A和点B转动，当点C与点E重合时，过点E作直线，试判断直线MN与的位置关系，并证明你的结论．

（1）如图3-1，与外切于点T，它们的半径之比为，AB是它们的外公切线，A、B是切点，且，则的值是_____________．

（2）如图3-2，和的半径为1和2，连接交于点P，，若将绕点按顺时针方向旋转，则与共相切_______次．

（3）某人用如下方法测一钢管的内径：将一小段钢管竖直放在平台上，向内放入两个半径为5cm的钢球，测得上面一个钢球顶部高（钢管的轴截面如图3-3所示），则钢管的内直径AD长为________．

图3-1                       图3-2                          图3-3

（1）如图4-1，的弦AB与CD相交于点P，已知，，，__________．

（2）如图4-2，已知中，弦，M是AB上一点，，，则________．

图4-1                                          图4-2

（1）如图，PC是半圆的切线，且，过B的切线交PC于点D，若，则半径为__________，__________．

（2）（2014石室联中月考）点A是半径为3的圆外一点，它到圆的最近点的距离为5，则过点A的切线长为__________．

（3）如图，两圆相交于C、D，AB为公切线，若，，则____________．

如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆交于另一点P．延长AP交BC于点N，求的值．