【精品】七年级上册数学 第三章 等式基本性质与解一元一次方程 适合学校与机构上课用

等式基本性质与一元一次方程解法

等式的概念及性质

等式的概念：用等号来表示相等关系的式子，叫做等式．

等式性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），所得结果仍是等式．

若，则．

等式性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0），结果仍是等式．

若，则，若且，则．

注意点：⑴ 在等式变形的过程中，等式两边必须同时进行．即：同时加或减，同时乘以或除以，不能漏掉某一边．

⑵ 在运用等式的性质2时，应注意：不能在等式的两边同时除以，因为不能作除数．

⑶ 在等式变形中，以下两个性质也经常用到：等式具有对称性，即：如果，那么．

等式具有传递性，即：如果，，那么．

方程相关概念

1．方程：含有未知数的等式，叫做方程．

2．方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．

如：是的解．

3．解方程：求方程的解的过程．

【注】解方程与方程的解是两个不同的概念，后者是求得的结果，前者是求出这个结果的过程．

一元一次方程的概念和解法

1．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程，叫做一元一次方程．

2．一元一次方程的判断：

Step1：不化简，看是否是整式方程；

Step2：化简，看是否满足．

【例】，，，都是一元一次方程；

、、、都不是一元一次方程．

3．一元一次方程的两种形式：

最简形式：方程的形式叫一元一次方程的最简形式．

标准形式：方程的形式叫一元一次方程的标准形式．

【例】，是一元一次方程的最简形式；

，是一元一次方程的标准形式．

4．解一元一次方程的一般步骤：

（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）未知数的系数化为

要点解释（1）解方程时，有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化．

 (2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行.

（3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆．

知识点一 等式基本性质

例1下列各式中，哪些是等式？

①；   ②； ③；   ④；   ⑤；

⑥；   ⑦；   ⑧；   ⑨；       ⑩．

例2给出下列等式：①若，则；②若，则；③若，则，④如果，那么．其中正确的有________

练习：⑴ 根据等式的性质填空：

① ，则______；       ② ，则        ；

③ ，则________；     ④ ，则           ．

⑵ 已知等式，则下列等式中不一定成立的是（    ）

A． B．  C．    D．

⑶ 下列变形中，根据等式的性质变形正确的是（    ）

A．由，得               B．由，得

C．由，得         D．由，得

（4）若，那么下列等式不一定成立的是（    ）.

A．     B．      C．     D．

（5）下列判断错误的是（　　）

A．若，则　　　  B．若，则

C．若，则　　　       D．若，则

知识点二 方程及方程的解的概念

例1下列等式：①；②；③；④；⑤．其中是一元一次方程的有________．

提示：Step1：不化简，看是否是整式方程；

Step2：化简，看是否满足

例2.（1）若是关于x的一元一次方程，则_______．

（2）若方程是关于x的一元一次方程，则__________．

例3（1）若是方程的解，则的值是_________．

（2）若关于的一元一次方程的解是,则的值是（    ）

A．             B．1              C．          D．0

（3）关于x的方程2x﹣4=3m和x+2=m有相同的解，则m的值是（　　）

A.10          B.-8          C.-10         D.8

课堂练习：

⑴ 下列式子：①；②；③；④，

其中方程的个数为（     ）个．

A．1         B．2             C．3          D．4

⑵  ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ． 其中是一元一次方程的有         .

⑶ 下列方程中解是的一共有（    ）

A．1个         B．2个          C．3个         D．4个  

（4）如果关于x的一元一次方程的解是，则m的值______．

（5） 若是关于的一元一次方程，则                      .

（6） 若是关于的一元一次方程，则的值是                .

（7）若是关于的一元一次方程，则的值是                .

（8）已知是关于的一元一次方程，则          .

（9）若方程3(x-1)+8=2x+3与方程的解相同，求k的值.

知识点三：解方程

例1解方程：5x=3（x﹣4）

练习：2．解方程：   

（3）      （4）

(5)                  (6)

例2解方程

练习：

（1）            （2）

（3）         （4）

（5）                （6）

例3

练习：

（1）          （2） .        

   （3）.        （4）   

（5）                （6）3{2x-1-[3(2x-1)+3]}＝5．

例4解方程

练习

（1）  .              （2）.

（3）            （4）

拓展：例1解方程|x|-2＝0

例2 

练习：

（1）                           （2） 

（3）

（4）

                                课后作业

【巩固练习】

一、选择题

1．方程|2x﹣1|=2的解是（　　）

A. x=       B. x=﹣         C. x=或x=﹣         D. x=﹣

2．下列解方程的过程中，移项错误的是(    )．

 A．方程2x+6＝-3变形为2x＝-3+6    B．方程2x-6＝-3变形为2x＝-3+6

 C．方程3x＝4-x变形为3x+x＝4      D．方程4-x＝3x变形为x+3x＝4

3. 方程的解是  （     ）．

 A．     B．     C．     D．

4．对方程2(2x-1)-(x-3)＝1，去括号正确的是(    )．

 A．4x-1-x-3＝1    B．4x-1-x+3＝1    C．4x-2-x-3＝1    D．4x-2-x+3＝1

5．方程可变形为(    )．

 A．3-x-1＝0    B．6-x-1＝0    C．6-x+1＝0    D．6-x+1＝2

6．3x-12的值与互为倒数，则x的值为(    )．

 A．3    B．-3    C．5    D．-5

7．解方程时，去分母，去括号后，正确结果是(    )．

 A．4x+1-10x+1＝1      B．4x+2-10x-1＝1       C．4x+2-10x-1＝6      D．4x+2-10x+1＝6

8. 某道路一侧原有路灯106盏，相邻两盏灯的距离为36米，现计划全部更换为新型的节能灯，且相邻两盏灯的距离变为70米，则需更换的新型节能灯有（     ）．

A．54盏        B．55盏        C．56盏        D．57盏

二、填空题

9．(1)方程2x+3＝3x-2，利用________可变形为2x-3x＝-2-3，这种变形叫________．

   (2)方程-3x＝5，利用________，把方程两边都_______，把x的系数化为1，得x＝________．

10．方程2x-kx+1＝5x-2的解是x＝-1，k的值是_______．

11．如果|a+3|=1，那么a=　   　．

12．将方程去分母后得到方程________．

13．在有理数范围内定义一种运算“※”，其规则为a※b＝a-b．根据这个规则，求方程(x-2)※1＝0的解为________．

14．一列长为150m的火车，以15m/s的速度通过600m的隧道，则这列火车完全通过此隧道所需时间是________s．

三、解答题

15．解下列方程：

    (1)4(2x-1)-3(5x+2)＝3(2-x)；            (2)；

 (3) ．

16当k取何值时，关于x的方程2（2x﹣3）=1﹣2x和8﹣k=2（x+）的解相同？

17．小明的练习册上有一道方程题，其中一个数字被墨汁污染了，成为，他翻看了书后的答案，知道了这个方程的解是，于是他把被污染了的数字求出来了，请你把小明的计算过程写出来．

【答案与解析】

一、选择题

1.【答案】C.

【解析】由题意，2x﹣1=2，或2x﹣1=﹣2，解这两个方程得：x=，或x=﹣

2. 【答案】A

【解析】A中移项未改变符号．

3. 【答案】C

【解析】系数化为1，两边同乘以4即可．

4. 【答案】D

【解析】A中，去掉第1个括号时第二项漏乘，去掉第2个括号时，-3没变号；B中，去掉第1个括号时第二项漏乘；C中，去掉第2个括号时，-3没变号．

5．【答案】C 

【解析】A中，去分母时3没有乘以2，-1没变号；B中，去分母时-1没变号；D中，等号右边0乘以2应是0，而不应是2．

6．【答案】A 

【解析】-3x-12与互为倒数，所以3x-12＝-3，x＝3．

7. 【答案】C

【解析】两边同乘以6得：，再去括号得：．

8. 【答案】B

 【解析】设有盏，则有个灯距，由题意可得：，解得：．

二、填空题

9．【答案】(1)等式性质1，  移项；    (2)等式性质2，    除以-3，   

10．【答案】k＝-6

【解析】将代入得：，解得：．

11.【答案】﹣2或﹣4．

【解析】∵|a+3|=1，∴a+3=1或a+3=﹣1，∴a=﹣2或﹣4．

12．【答案】43x＝6 

【解析】将方程两边乘以36，得18x+9x+12x+4x＝6．

13．【答案】x＝3 

【解析】根据规则得：x-2-1＝0，x＝3．

14．【答案】50 

【解析】(秒) ．

三、解答题

15．【解析】

解：(1)8x-4-15x-6＝6-3x

       8x-15x+3x＝6+4+6

             -4x＝16

   x＝-4

    (2)

       6x-3(1-x)＝18-2(x-2)

       11x＝25

    (3)原方程可化为：，约分得：5x-10-(2x+2)＝3，去括号得5x-10-2x-2＝3，移项及合并，得3x＝15，系数化为1，得x＝5．

16.【解析】

解2（2x﹣3）=1﹣2x，得

x=，

把x=代入8﹣k=2（x+），得

8﹣k=2（+），

解得k=4，

当k=4时，关于x的方程2（2x﹣3）=1﹣2x和8﹣k=2（x+）的解相同．

17．【解析】

解：将代入，得：

    ．

解得：．

所以被污染的数字为3．