初一数学上册秋季班培优讲义 第3讲 绝对值 学生版

                   饕餮盛宴

1．绝对值：在数轴上，一个数a所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作．

2．绝对值的性质：

⑴ 绝对值的非负性，可以用下式表示：，这是绝对值非常重要的性质；

⑵ ；  

⑶ 若，则；若，则；

⑷ 若，则或；        

⑸ .

⑹当时，；

当时，．（主要考察分类讨论）

【例1】         ⑴若均为非零的有理数，求的值.

⑵若均为非零的有理数，求的值.

针对例1进行拓展

1.已知，且都不等于，求的所有可能值

2.已知是非零整数，且，求的值.

3. 若均为非零的有理数，求的值.

老师可以继续下去，给学生们总结一下到n的规律.

【例2】         化简下列各式⑴;  ⑵.

【例3】         阅读下列材料并解决相关问题：

我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得（称分别为与的零点值），在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下三种情况：·

⑴当时，原式.

⑵当时，原式.

⑶当时，原式.

综上讨论，原式.

通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题：.

⑴分别求出和的零点值；

⑵化简代数式.

针对例3进行拓展

1.求的值．

2.化简：.

表示数轴上数与数两点之间的距离. 且.

【例4】         ⑴ 的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离．

① 的几何意义是数轴上表示     的点与    之间的距离；   

② 的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离；

则         ；

③ 的几何意义是数轴上表示     的点与表示     的点之间的距离，若，则       ．

④ 的几何意义是数轴上表示     的点与表示     的点之间的距离，若，则      ．

⑤ 当时，则      ．

⑵ 如图表示数轴上四个点的位置关系，且它们表示的数分别

为，，，．若，，，

则        ．

⑶ 不相等的有理数在数轴上的对应点分别为，，，如果

，那么点，，在数轴上的位置关系是（   ）    

A．点在点，之间                 B．点在点，之间        

C．点在点，之间                 D．以上三种情况均有可能

【例5】         利用绝对值的几何意义完成下题：

已知，利用绝对值的几何意义可得；

若，利用绝对值的几何意义可得或．

已知，利用绝对值在数轴上的几何意义得         ．

利用绝对值的几何意义求的最小值           ．

的最小值为           ．

的最小值            ．

的最小值            ．

归纳：

若，当             时，取得最

小值．

若，当满足            时，取得最

小值．

【例6】         如图所示，在一条笔直的公路上有个村庄，其中、、、、、到城市的距离分别为、、、、、千米，而村庄正好是的中点．现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在什么位置？

【选讲题】

【例7】         有理数、、在数轴上的位置如图所示：若，

则     ．

【例8】         ①化简：

②求的最大值和最小值．

训练1.             若a、b、c为整数，且，试求：的值.

（清华附中期中）

训练2.             已知，，都不等于0，则的值为     

训练3.             已知，求的最大值与最小值．

训练4.             如图，数轴上两点分别表示

有理数2和5,我们用来表示

两点之间的距离.

(1)直接写出的值                 ；

(2)若数轴上一点表示有理数m，则的值是______；

(3)当代数式∣n +2∣+∣n 5∣的值取最小值时，写出表示n的点所在的位置         ；

(4)若点分别以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度同时向数轴负方向运动，求经过多少秒后，点到原点的距离是点到原点的距离的2倍？

（昌平期末）

的化简

【练习1】   若、、都不为，求的值．

无条件的绝对值的化简

【练习2】   化简：.

零点分段法

【练习3】   化简：.

用绝对值的几何意义求两点间的距离

【练习4】   （1）阅读下面材料：点、在数轴上分别表示的数是、，、两点之间的距离表示为，特别地，当、两点中有一点在原点时，不妨设点在原点，如图1，则；

当、两点都不在原点时：

如图2，点、都在原点的右边，

；

如图3，点、都在原点的左边，

.

如图4，点、在原点的两边，

。

        图1                    图2

         图3                    图4

回答下列问题：

①数轴上表示和的两点之间的距离是_____，数轴上表示和的两点之间的距离是_____；

②数轴上表示数和的两点和之间的距离可表示为_____，如果，那么的值是_____；

（2）当代数式取最小值时，相应的的取值范围是_____．

用绝对值的几何意义求代数式的最值

【练习5】   如图，在一条数轴上有依次排列的台机床在工作，现要设置一个零件供应站，使这台  机床到供应站的距离总和最小，供应站建在哪？最小值为多少？

 “|  |”符号的诞生

外尔斯特拉斯（Weierstrass，Karl Theodor Wilhelm） 德国数学家。1815年10月31日生于德国威斯特伐 利亚小村落奥斯滕费尔德，1897年2月19日卒於柏林。曾在波恩大学学习法律和财政，1838年转学数学。 1854年，根据他的学术成就，柯尼斯堡大学授予他名誉博士学位。1856年由库默尔推荐成为柏林大学助理 教授，1865年升为教授。 

1841年外尔斯特拉斯首先引用“|  |”为绝对值符号（Signs for absolute value），及後为人们所接受，且沿用至今，成为现今通用之绝对值符号。

数字与汉字的美妙结合

 （打一成语）； 72小时（打一字）； （打一成语）； 0000（打一成语）

解析：七上八下；晶（72小时=3天）；百里挑一；万无一失