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初中数学人教版九年级上册22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质课后作业题
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这是一份初中数学人教版九年级上册22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质课后作业题，共18页。
一．选择题
1．二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过坐标原点，则下列结论一定成立的是（ ）
A．a＝0B．b＝0C．c＝0且a≠0D．b＝c＝0
2．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，则下列结论正确的是（ ）
A．b＞0，c＞0，a＞0B．b＜0，c＜0，a＞0
C．b＞0，c＜0，a＜0D．b＜0，c＜0，a＜0
3．抛物线y＝x2+5x+c的对称轴是（ ）
A．直线x＝﹣cB．直线x＝C．直线x＝﹣D．直线x＝﹣5
4．若抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点（﹣2，3），则c﹣2b的值是（ ）
A．7B．﹣1C．﹣2D．3
5．将抛物线y＝x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式为（ ）
A．y＝（x+1）2﹣13B．y＝（x﹣5）2﹣5
C．y＝（x﹣5）2﹣13D．y＝（x+1）2﹣5
6．二次函数y＝x2﹣ax+b的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，下列结论不正确的是（ ）
A．a＝2
B．顶点的坐标为（1，﹣4）
C．当﹣1＜x＜3时，y＞0
D．当x＞3时，y 随着x的增大而增大
7．已知抛物线y＝﹣x2+mx+2m，当x＜1时，y随x的增大而增大，则抛物线的顶点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
8．已知抛物线y＝ax2+3x+a﹣1，其中a是常数且a＜0，下列选项中可能是它大致图象的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知抛物线y＝x2﹣mx+c（m＞0）过两点A（x0，y0）和B（x1，y1），若x0＜1＜x1，且x0+x1＝3．则y0与y1的大小关系为（ ）
A．y0＜y1B．y0＝y1C．y0＞y1D．不能确定
10．已知二次函数y＝x2﹣4mx﹣2m+3，当﹣1＜x＜0时，y的值恒大于1，则m的取值范围（ ）
A．﹣1＜m＜2B．＜m＜1C．＜m＜0D．﹣1＜m＜
11．若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中x与y的对应值如下表：
则当x＝1时，y的值为（ ）
A．4B．6C．7D．12
12．已知1≤x≤，那么函数y＝﹣x2+4x﹣3的最大值为（ ）
A．0B．C．1D．
13．知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②b2＜4ac；③4a+2b+c＞0；④2a+b＝0；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1的实数），其中结论正确的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
14．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴x＝，且经过点（2，0）下列说法：①abc＜0；②﹣2b+c＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；⑤a+＞m（am+b）（其中m≠）其中说法正确的是（ ）
A．①②④⑤B．③④C．①③D．①②⑤
二．填空题
15．把y＝﹣2x2+8x﹣8配方成y＝a（x﹣h）2+k的形式为y＝ ．
16．二次函数y＝x2﹣4x﹣3的最小值是 ．
17．二次函数y＝ax+bx+c的部分对应值如下表：
二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为直线x＝ ．
18．若抛物线y＝2x2﹣mx+n向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度得到抛物线y＝2x2﹣4x+1，则m＝ ，n＝ ．
19．将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，经过点（﹣2，5），则8a﹣4b﹣11的值是 ．
20．对于二次函数y＝ax2﹣3x﹣4（a＞0），若自变量x分别取两个不同的值x1，x2时，所对应的函数值y相等，则当x取x1+x2时，所对应的y的值是 ．
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上点，C、D为抛物线y＝﹣x2+2x+3上两点，且四边形ABCD是正方形，则正方形ABCD的面积是 ．
22．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，给出下列结论：
①b2＝4ac；②abc＞0；③a＞c； ④4a﹣2b+c＞0，其中正确有 （填序号）．
三．解答题
23．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象经过点（1，﹣4）和（﹣1，0）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）x在什么范围内，y随x增大而减小？该函数有最大值还是有最小值？求出这个最值．
24．已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点（﹣3，0），（2，﹣5）．
（1）试确定此二次函数的解析式；
（2）请你判断点P（﹣2，3）是否在这个二次函数的图象上？
25．已知抛物线y＝ax2+bx+1经过点（1，﹣2），（﹣2，13）．
（1）求a，b的值．
（2）若（5，y1），（m，y2）是抛物线上不同的两点，且y2＝12﹣y1，求m的值．
26．画出函数y＝x2﹣2x﹣8的图象．
（1）先求顶点坐标：（ ， ）；
（2）列表
（3）画图．
27．如图，抛物线y＝﹣x2+4x+n经过点A（1，0），与y轴交于点B．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）若P是x轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求P点坐标．（直接写出答案）
28．如图，两条抛物线y1＝﹣x2+4，y2＝﹣x2+bx+c相交于A，B两点，点A在x轴负半轴上，且为抛物线y2的最高点．
（1）求抛物线y2的解析式和点B的坐标；
（2）点C是抛物线y1上A，B之间的一点，过点C作x轴的垂线交y2于点D，当线段CD取最大值时，求S△BCD．
29．已知抛物线C：y＝x2+mx+n（m，n为常数）．
（1）如图，若抛物线C的顶点坐标为P（1，2），求m，n的值；
（2）在（1）的条件下，设点Q（a，b）在抛物线C上，且点Q离y轴的距离不大于2，直接写出b的取值范围；
（3）将抛物线C向左平移2个单位得到抛物线C1，将抛物线C向右平移2个单位得到抛物线C2，若C1与C2的交点坐标为（1，3），求抛物线C的函数解析式．
30．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+2ax+c与x轴交于点A，B，且AB＝4．抛物线与y轴交于点C，将点C向上移动1个单位得到点D．
（1）求抛物线对称轴；
（2）求点D纵坐标（用含有a的代数式表示）；
（3）已知点P（﹣4，4），若抛物线与线段PD只有一个公共点，求a的取值范围．
参考答案
一．选择题
1．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过坐标原点，
∴将（0，0）代入，
c＝0，
∴c＝0且a≠0．
故选：C．
2．解：∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴的交点为在y轴的负半轴上，
∴c＜0；
∵对称轴为x＝﹣＞0，
∴a、b异号，
又∵a＜0，
∴b＞0，
故选：C．
3．解：∵抛物线y＝x2+5x+c＝（x+）2﹣+c，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝﹣，
故选：C．
4．解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点（﹣2，3），
∴﹣（﹣2）2﹣2b+c＝3，
整理得，﹣2b+c＝7，
即c﹣2b＝7
故选：A．
5．解：∵y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8，
∴将抛物线y＝x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式为y＝（x﹣2+3）2﹣8+3，即y＝（x+1）2﹣5．
故选：D．
6．解：∵二次函数y＝x2﹣ax+b对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，得a＝2，故选项A正确；
∵该函数图象过点（﹣1，0），
∴0＝1﹣2×（﹣1）+b，得b＝﹣3，
∴y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴该抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），故选项B正确；
∵二次函数y＝x2﹣ax+b对称轴为直线x＝1，过点（﹣1，0），
∴该函数过点（3，0），
∴当﹣1＜x＜3时，y＜0，故选项C不正确；
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，故选项D正确；
故选：C．
7．解：∵抛物线y＝﹣x2+mx+2m＝﹣（x﹣）2++2m，当x＜1时，y随x的增大而增大，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝，开口向下，
∴≥1，
即m≥2，
∴+2m＞0，
∴该抛物线的顶点（，+2m）在第一象限，
故选：A．
8．解：∵抛物线y＝ax2+3x+a﹣1，a是常数且a＜0，
∴图象开口向下，a﹣1＜0，
∴图象与y轴交于负半轴，
∵a＜0，b＝3，
∴抛物线对称轴在y轴右侧．
故选：B．
9．解：∵抛物线y＝x2﹣mx+c（m＞0）中，m＞0，
∴抛物线开口向上，对称轴为x＝﹣＝1，
∵x0＜1＜x1，
∴A点在对称轴的左侧，B点在对称轴的右侧，
若y0＝y1，则x1﹣1＝1﹣x0，此时x0+x1＝2，不合题意；
若y0＞y1，则x1﹣1＜1﹣x0，此时x0+x1＜2，不合题意；
若y0＜y1，则x1﹣1＞1﹣x0，此时x0+x1＞2，符合题意；
故选：A．
10．解：y＝x2﹣4mx﹣2m+3＝（x﹣2m） 2﹣4m2﹣2m+3，对称轴x＝2m，开口向上．
当x＝2m≤﹣1时，x＝﹣1，y＝1+4m﹣2m+3＞1即可，∴m＞，∴＜m≤﹣；
当﹣1＜2m＜0时，y＝﹣4m2﹣2m+3＞1即可，﹣1＜m＜，∴﹣＜m＜0；
当x＝2m≥0时，x＝0，y＝﹣2m+3＞1即可，
∴0≤m＜1．
综上，＜m＜1．
故选：B．
11．解：由表格可知，
该函数的对称轴是直线x＝﹣1，有最小值，
则x＝1和x＝﹣3对应的函数值相等，
∵x＝﹣3时的函数值是y＝6，
∴x＝1时的函数值是y＝6，
故选：B．
12．解：∵函数y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴当1≤x≤时，在x＝2时，该函数取得最大值，此时y＝1，
故选：C．
13．解：①由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，故①正确；
②抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故②错误；
③由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0，故③正确；
④对称轴﹣＝1，即2a+b＝0，故④正确；
⑤当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，
而当x＝m时，y＝am2+bm+c，
所以a+b+c＞am2+bm+c，
故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故⑤错误．
故正确的结论为①③④，
故选：B．
14．解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝，
∴b＝﹣a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵抛物线经过点（2，0），
∴4a+2b+c＝0，所以③错误；
∴c＝﹣2a，
∴﹣2b+c＝2a﹣2a＝0，所以②正确；
∵点（﹣，y1）到直线x＝的距离比点（，y2）到直线x＝的距离大，
∴y1＜y2；所以④正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝，
∴当x＝时，函数值最大，
∴a+b+c＞am2+bm+c（m≠），
即a+b＞m（am+b）（m≠），所以⑤正确．
故选：A．
二．填空题
15．解：y＝﹣2x2+8x﹣8
＝﹣2（x2﹣4x+4）
＝﹣2（x﹣2）2．
故答案为：﹣2（x﹣2）2．
16．解：∵a＝1＞0，
∴二次函数y＝x2﹣4x﹣3＝（x﹣2）2﹣7有最小值﹣7，
故答案为：﹣7
17．解：由表格可得，
二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为直线x＝，
故答案为：1．
18．解：y＝2x2﹣4x+1＝2（x﹣1）2﹣1，抛物线y＝2x2﹣4x+1的顶点坐标为（1，﹣1），
把点（1，﹣1）向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到对应点的坐标为（4，﹣3），
所以原抛物线解析式为y＝2（x﹣4）2﹣3＝2x2﹣16x+29，
所以m＝16，n＝29．
故答案为：16，29．
19．解：将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，
表达式为：y＝ax2+bx+2，
∵经过点（﹣2，5），代入得：4a﹣2b＝3，
则8a﹣4b﹣11＝2（4a﹣2b）﹣11＝2×3﹣11＝﹣5，
故答案为：﹣5．
20．解：∵自变量x分别取两个不同的值x1，x2时，所对应的函数值y相等，
∴抛物线的对称轴是（x1+x2），
∴（x1+x2）＝﹣，则x1+x2＝，
则当x取x1+x2时
y＝a×（）2﹣3×﹣4＝﹣4，
故答案为：﹣4．
21．解：设C点的横坐标为m，
∵抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴CD＝2（m﹣1），BC＝﹣m2+2m+3．
∵ABCD为正方形，CD＝BC．
∴2m﹣2＝﹣m2+2m+3，
解得m＝±．
∵点C在对称轴的右侧，
∴m＞1，
∴m＝，
∴CD＝2（﹣1），
∴CD2＝24﹣8．
∴正方形ABCD的面积为24﹣8．
22．解：①∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，
所以①错误；
②∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，
∴a、b同号，
∴ab＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＞0，
所以②正确；
③∵x＝﹣1时，y＜0，
即a﹣b+c＜0，
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∴a﹣2a+c＜0，即a＞c，
所以③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴x＝﹣2和x＝0时的函数值相等，即x＝﹣2时，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，
所以④正确．
所以本题正确的有：②③④，
故答案为：②③④．
三．解答题
23．解；（1）根据题意得，解得，
所以抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵y＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），
∵a＞0，
∴当x＜1时，y随x增大而减小，该函数有最小值，最小值为﹣4．
24．解：（1）由题意得，，
解得，，
则二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）当x＝﹣2时，y＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3，
∴点P（﹣2，3）在这个二次函数的图象上．
25．解：（1）把点（1，﹣2），（﹣2，13）代入y＝ax2+bx+1得，，
解得：；
（2）由（1）得函数解析式为y＝x2﹣4x+1，
把x＝5代入y＝x2﹣4x+1得，y1＝6，
∴y2＝12﹣y1＝6，
∵y1＝y2，且对称轴为x＝2，
∴m＝4﹣5＝﹣1．
26．解：（1）y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9
∴其顶点坐标为（1，﹣9）
故答案为：1，﹣9
（2）列表
（3）画图：
27．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+4x+n经过点A（1，0）
∴n＝﹣3
∴y＝﹣x2+4x﹣3；
∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴顶点坐标为（2，1）；
（2）∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x﹣3，
∴令x＝0，则y＝﹣3，
∴B点坐标（0，﹣3），AB＝，
①当PA＝AB时，PA＝AB＝，
∴OP＝PA﹣OA＝﹣1或OP＝+1．
∴P（﹣+1，0）或（+1，0）；
②当PB＝AB时，P、A关于y轴对称，
∴P（﹣1，0）
因此P点的坐标为（﹣+1，0）或（+1，0）或（﹣1，0）．
28．解：（1）当y1＝0时，即﹣x2+4＝0，解得x＝2或x＝﹣2，
又点A在x轴的负半轴，
∴点A（﹣2，0），
∵点A（﹣2，0），是抛物线y2的最高点．
∴﹣＝﹣2，即b＝﹣，
把A（﹣2，0）代入y2＝﹣x2﹣x+c得，c＝﹣，
∴抛物线y2的解析式为：y2＝﹣x2﹣x﹣；
由得，，，
∵A（﹣2，0），
∴点B（3，﹣5），
答：抛物线y2的解析式为：y2＝﹣x2﹣x﹣，点B（3，﹣5）；
（2）由题意得，CD＝y1﹣y2＝﹣x2+4﹣（﹣x2﹣x﹣），
即：CD＝﹣x2+x+，
当x＝﹣＝时，CD最大＝﹣×+×+＝5，
∴S△BCD＝×5×（3﹣）＝．
29．解：（1）∵抛物线C：y＝x2+mx+n（m，n为常数）顶点坐标为P（1，2），
∴﹣＝1，＝2，
解得m＝﹣2，n＝3；
（2）在（1）的条件下，抛物线C为：y＝x2﹣2x+3，
∴抛物线与y轴的交点为（0，3），
过点（0，3）作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为（2，3），
此时点（2，3）到y轴的距离为2，
∵点Q（a，b）在抛物线C上，且离y轴的距离不大于2，
由图象可知，2≤b≤3．
（3）将抛物线C向左平移2个单位得到抛物线C1为y＝（x+2）2+m（x+2）+n；将抛物线C向右平移2个单位得到抛物线C2为y＝（x﹣2）2+m（x﹣2）+n；
由（x+2）2+m（x+2）+n＝（x﹣2）2+m（x﹣2）+n，解得x＝﹣m，
∴若C1与C2的交点坐标为（1，3），
∴﹣m＝1，解得m＝﹣2，
把点（1，3）代入y＝（x+2）2﹣2（x+2）+n得3＝9﹣6+n，
∴n＝0，
∴抛物线C的函数解析式为y＝x2﹣2x．
30．解：（1）抛物线对称轴x＝﹣＝﹣1；
（2）∵抛物线y＝ax2+2ax+c与x轴交于点A，B，且AB＝4，抛物线对称轴x＝﹣1，
∴A（﹣3，0），B（1，0）；
把（1，0）代入y＝ax2+2ax+c得：
a+2a+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴C（0，﹣3a），
∴D（0，﹣3a+1），
∴点D纵坐标为：﹣3a+1；
（3）①当a＞0时，将点P（﹣4，4）代入抛物线y＝ax2+2ax﹣3a得：
4＝16a﹣8a﹣3a，
∴a＝．
此时点D坐标为：（0，﹣），点C的坐标为：（0，﹣），
∴当a≥时，抛物线与线段PD只有一个公共点，如图所示：
②当a＜0时，抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4a），
当﹣4a＝4时，a＝﹣1，
则当a＝﹣1时，抛物线与线段PD只有一个公共点，即抛物线的顶点，如图所示：
③当a＜﹣1时，抛物线与线段PD只有两个公共点，如图所示：
④当﹣1＜a＜0时，抛物线与线段PD没有公共点，如图所示：
综上所述，当a≥或a＝﹣1时，抛物线与线段PD只有一个公共点．
x
﹣3
﹣2
﹣1
0
y
6
3
2
3
x
…
﹣3
﹣2
0
1
4
5
…
y
…
7
0
﹣8
﹣9
0
7
…
x
…
…
y
…
…
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
0
﹣5
﹣8
﹣9
﹣8
﹣5
0
…
一．选择题
1．二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过坐标原点，则下列结论一定成立的是（ ）
A．a＝0B．b＝0C．c＝0且a≠0D．b＝c＝0
2．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，则下列结论正确的是（ ）
A．b＞0，c＞0，a＞0B．b＜0，c＜0，a＞0
C．b＞0，c＜0，a＜0D．b＜0，c＜0，a＜0
3．抛物线y＝x2+5x+c的对称轴是（ ）
A．直线x＝﹣cB．直线x＝C．直线x＝﹣D．直线x＝﹣5
4．若抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点（﹣2，3），则c﹣2b的值是（ ）
A．7B．﹣1C．﹣2D．3
5．将抛物线y＝x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式为（ ）
A．y＝（x+1）2﹣13B．y＝（x﹣5）2﹣5
C．y＝（x﹣5）2﹣13D．y＝（x+1）2﹣5
6．二次函数y＝x2﹣ax+b的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，下列结论不正确的是（ ）
A．a＝2
B．顶点的坐标为（1，﹣4）
C．当﹣1＜x＜3时，y＞0
D．当x＞3时，y 随着x的增大而增大
7．已知抛物线y＝﹣x2+mx+2m，当x＜1时，y随x的增大而增大，则抛物线的顶点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
8．已知抛物线y＝ax2+3x+a﹣1，其中a是常数且a＜0，下列选项中可能是它大致图象的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知抛物线y＝x2﹣mx+c（m＞0）过两点A（x0，y0）和B（x1，y1），若x0＜1＜x1，且x0+x1＝3．则y0与y1的大小关系为（ ）
A．y0＜y1B．y0＝y1C．y0＞y1D．不能确定
10．已知二次函数y＝x2﹣4mx﹣2m+3，当﹣1＜x＜0时，y的值恒大于1，则m的取值范围（ ）
A．﹣1＜m＜2B．＜m＜1C．＜m＜0D．﹣1＜m＜
11．若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中x与y的对应值如下表：
则当x＝1时，y的值为（ ）
A．4B．6C．7D．12
12．已知1≤x≤，那么函数y＝﹣x2+4x﹣3的最大值为（ ）
A．0B．C．1D．
13．知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②b2＜4ac；③4a+2b+c＞0；④2a+b＝0；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1的实数），其中结论正确的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
14．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴x＝，且经过点（2，0）下列说法：①abc＜0；②﹣2b+c＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；⑤a+＞m（am+b）（其中m≠）其中说法正确的是（ ）
A．①②④⑤B．③④C．①③D．①②⑤
二．填空题
15．把y＝﹣2x2+8x﹣8配方成y＝a（x﹣h）2+k的形式为y＝ ．
16．二次函数y＝x2﹣4x﹣3的最小值是 ．
17．二次函数y＝ax+bx+c的部分对应值如下表：
二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为直线x＝ ．
18．若抛物线y＝2x2﹣mx+n向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度得到抛物线y＝2x2﹣4x+1，则m＝ ，n＝ ．
19．将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，经过点（﹣2，5），则8a﹣4b﹣11的值是 ．
20．对于二次函数y＝ax2﹣3x﹣4（a＞0），若自变量x分别取两个不同的值x1，x2时，所对应的函数值y相等，则当x取x1+x2时，所对应的y的值是 ．
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上点，C、D为抛物线y＝﹣x2+2x+3上两点，且四边形ABCD是正方形，则正方形ABCD的面积是 ．
22．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，给出下列结论：
①b2＝4ac；②abc＞0；③a＞c； ④4a﹣2b+c＞0，其中正确有 （填序号）．
三．解答题
23．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象经过点（1，﹣4）和（﹣1，0）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）x在什么范围内，y随x增大而减小？该函数有最大值还是有最小值？求出这个最值．
24．已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点（﹣3，0），（2，﹣5）．
（1）试确定此二次函数的解析式；
（2）请你判断点P（﹣2，3）是否在这个二次函数的图象上？
25．已知抛物线y＝ax2+bx+1经过点（1，﹣2），（﹣2，13）．
（1）求a，b的值．
（2）若（5，y1），（m，y2）是抛物线上不同的两点，且y2＝12﹣y1，求m的值．
26．画出函数y＝x2﹣2x﹣8的图象．
（1）先求顶点坐标：（ ， ）；
（2）列表
（3）画图．
27．如图，抛物线y＝﹣x2+4x+n经过点A（1，0），与y轴交于点B．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）若P是x轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求P点坐标．（直接写出答案）
28．如图，两条抛物线y1＝﹣x2+4，y2＝﹣x2+bx+c相交于A，B两点，点A在x轴负半轴上，且为抛物线y2的最高点．
（1）求抛物线y2的解析式和点B的坐标；
（2）点C是抛物线y1上A，B之间的一点，过点C作x轴的垂线交y2于点D，当线段CD取最大值时，求S△BCD．
29．已知抛物线C：y＝x2+mx+n（m，n为常数）．
（1）如图，若抛物线C的顶点坐标为P（1，2），求m，n的值；
（2）在（1）的条件下，设点Q（a，b）在抛物线C上，且点Q离y轴的距离不大于2，直接写出b的取值范围；
（3）将抛物线C向左平移2个单位得到抛物线C1，将抛物线C向右平移2个单位得到抛物线C2，若C1与C2的交点坐标为（1，3），求抛物线C的函数解析式．
30．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+2ax+c与x轴交于点A，B，且AB＝4．抛物线与y轴交于点C，将点C向上移动1个单位得到点D．
（1）求抛物线对称轴；
（2）求点D纵坐标（用含有a的代数式表示）；
（3）已知点P（﹣4，4），若抛物线与线段PD只有一个公共点，求a的取值范围．
参考答案
一．选择题
1．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过坐标原点，
∴将（0，0）代入，
c＝0，
∴c＝0且a≠0．
故选：C．
2．解：∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴的交点为在y轴的负半轴上，
∴c＜0；
∵对称轴为x＝﹣＞0，
∴a、b异号，
又∵a＜0，
∴b＞0，
故选：C．
3．解：∵抛物线y＝x2+5x+c＝（x+）2﹣+c，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝﹣，
故选：C．
4．解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点（﹣2，3），
∴﹣（﹣2）2﹣2b+c＝3，
整理得，﹣2b+c＝7，
即c﹣2b＝7
故选：A．
5．解：∵y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8，
∴将抛物线y＝x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式为y＝（x﹣2+3）2﹣8+3，即y＝（x+1）2﹣5．
故选：D．
6．解：∵二次函数y＝x2﹣ax+b对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，得a＝2，故选项A正确；
∵该函数图象过点（﹣1，0），
∴0＝1﹣2×（﹣1）+b，得b＝﹣3，
∴y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴该抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），故选项B正确；
∵二次函数y＝x2﹣ax+b对称轴为直线x＝1，过点（﹣1，0），
∴该函数过点（3，0），
∴当﹣1＜x＜3时，y＜0，故选项C不正确；
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，故选项D正确；
故选：C．
7．解：∵抛物线y＝﹣x2+mx+2m＝﹣（x﹣）2++2m，当x＜1时，y随x的增大而增大，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝，开口向下，
∴≥1，
即m≥2，
∴+2m＞0，
∴该抛物线的顶点（，+2m）在第一象限，
故选：A．
8．解：∵抛物线y＝ax2+3x+a﹣1，a是常数且a＜0，
∴图象开口向下，a﹣1＜0，
∴图象与y轴交于负半轴，
∵a＜0，b＝3，
∴抛物线对称轴在y轴右侧．
故选：B．
9．解：∵抛物线y＝x2﹣mx+c（m＞0）中，m＞0，
∴抛物线开口向上，对称轴为x＝﹣＝1，
∵x0＜1＜x1，
∴A点在对称轴的左侧，B点在对称轴的右侧，
若y0＝y1，则x1﹣1＝1﹣x0，此时x0+x1＝2，不合题意；
若y0＞y1，则x1﹣1＜1﹣x0，此时x0+x1＜2，不合题意；
若y0＜y1，则x1﹣1＞1﹣x0，此时x0+x1＞2，符合题意；
故选：A．
10．解：y＝x2﹣4mx﹣2m+3＝（x﹣2m） 2﹣4m2﹣2m+3，对称轴x＝2m，开口向上．
当x＝2m≤﹣1时，x＝﹣1，y＝1+4m﹣2m+3＞1即可，∴m＞，∴＜m≤﹣；
当﹣1＜2m＜0时，y＝﹣4m2﹣2m+3＞1即可，﹣1＜m＜，∴﹣＜m＜0；
当x＝2m≥0时，x＝0，y＝﹣2m+3＞1即可，
∴0≤m＜1．
综上，＜m＜1．
故选：B．
11．解：由表格可知，
该函数的对称轴是直线x＝﹣1，有最小值，
则x＝1和x＝﹣3对应的函数值相等，
∵x＝﹣3时的函数值是y＝6，
∴x＝1时的函数值是y＝6，
故选：B．
12．解：∵函数y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴当1≤x≤时，在x＝2时，该函数取得最大值，此时y＝1，
故选：C．
13．解：①由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，故①正确；
②抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故②错误；
③由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0，故③正确；
④对称轴﹣＝1，即2a+b＝0，故④正确；
⑤当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，
而当x＝m时，y＝am2+bm+c，
所以a+b+c＞am2+bm+c，
故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故⑤错误．
故正确的结论为①③④，
故选：B．
14．解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝，
∴b＝﹣a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵抛物线经过点（2，0），
∴4a+2b+c＝0，所以③错误；
∴c＝﹣2a，
∴﹣2b+c＝2a﹣2a＝0，所以②正确；
∵点（﹣，y1）到直线x＝的距离比点（，y2）到直线x＝的距离大，
∴y1＜y2；所以④正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝，
∴当x＝时，函数值最大，
∴a+b+c＞am2+bm+c（m≠），
即a+b＞m（am+b）（m≠），所以⑤正确．
故选：A．
二．填空题
15．解：y＝﹣2x2+8x﹣8
＝﹣2（x2﹣4x+4）
＝﹣2（x﹣2）2．
故答案为：﹣2（x﹣2）2．
16．解：∵a＝1＞0，
∴二次函数y＝x2﹣4x﹣3＝（x﹣2）2﹣7有最小值﹣7，
故答案为：﹣7
17．解：由表格可得，
二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为直线x＝，
故答案为：1．
18．解：y＝2x2﹣4x+1＝2（x﹣1）2﹣1，抛物线y＝2x2﹣4x+1的顶点坐标为（1，﹣1），
把点（1，﹣1）向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到对应点的坐标为（4，﹣3），
所以原抛物线解析式为y＝2（x﹣4）2﹣3＝2x2﹣16x+29，
所以m＝16，n＝29．
故答案为：16，29．
19．解：将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，
表达式为：y＝ax2+bx+2，
∵经过点（﹣2，5），代入得：4a﹣2b＝3，
则8a﹣4b﹣11＝2（4a﹣2b）﹣11＝2×3﹣11＝﹣5，
故答案为：﹣5．
20．解：∵自变量x分别取两个不同的值x1，x2时，所对应的函数值y相等，
∴抛物线的对称轴是（x1+x2），
∴（x1+x2）＝﹣，则x1+x2＝，
则当x取x1+x2时
y＝a×（）2﹣3×﹣4＝﹣4，
故答案为：﹣4．
21．解：设C点的横坐标为m，
∵抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴CD＝2（m﹣1），BC＝﹣m2+2m+3．
∵ABCD为正方形，CD＝BC．
∴2m﹣2＝﹣m2+2m+3，
解得m＝±．
∵点C在对称轴的右侧，
∴m＞1，
∴m＝，
∴CD＝2（﹣1），
∴CD2＝24﹣8．
∴正方形ABCD的面积为24﹣8．
22．解：①∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，
所以①错误；
②∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，
∴a、b同号，
∴ab＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＞0，
所以②正确；
③∵x＝﹣1时，y＜0，
即a﹣b+c＜0，
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∴a﹣2a+c＜0，即a＞c，
所以③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴x＝﹣2和x＝0时的函数值相等，即x＝﹣2时，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，
所以④正确．
所以本题正确的有：②③④，
故答案为：②③④．
三．解答题
23．解；（1）根据题意得，解得，
所以抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵y＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），
∵a＞0，
∴当x＜1时，y随x增大而减小，该函数有最小值，最小值为﹣4．
24．解：（1）由题意得，，
解得，，
则二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）当x＝﹣2时，y＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3，
∴点P（﹣2，3）在这个二次函数的图象上．
25．解：（1）把点（1，﹣2），（﹣2，13）代入y＝ax2+bx+1得，，
解得：；
（2）由（1）得函数解析式为y＝x2﹣4x+1，
把x＝5代入y＝x2﹣4x+1得，y1＝6，
∴y2＝12﹣y1＝6，
∵y1＝y2，且对称轴为x＝2，
∴m＝4﹣5＝﹣1．
26．解：（1）y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9
∴其顶点坐标为（1，﹣9）
故答案为：1，﹣9
（2）列表
（3）画图：
27．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+4x+n经过点A（1，0）
∴n＝﹣3
∴y＝﹣x2+4x﹣3；
∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴顶点坐标为（2，1）；
（2）∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x﹣3，
∴令x＝0，则y＝﹣3，
∴B点坐标（0，﹣3），AB＝，
①当PA＝AB时，PA＝AB＝，
∴OP＝PA﹣OA＝﹣1或OP＝+1．
∴P（﹣+1，0）或（+1，0）；
②当PB＝AB时，P、A关于y轴对称，
∴P（﹣1，0）
因此P点的坐标为（﹣+1，0）或（+1，0）或（﹣1，0）．
28．解：（1）当y1＝0时，即﹣x2+4＝0，解得x＝2或x＝﹣2，
又点A在x轴的负半轴，
∴点A（﹣2，0），
∵点A（﹣2，0），是抛物线y2的最高点．
∴﹣＝﹣2，即b＝﹣，
把A（﹣2，0）代入y2＝﹣x2﹣x+c得，c＝﹣，
∴抛物线y2的解析式为：y2＝﹣x2﹣x﹣；
由得，，，
∵A（﹣2，0），
∴点B（3，﹣5），
答：抛物线y2的解析式为：y2＝﹣x2﹣x﹣，点B（3，﹣5）；
（2）由题意得，CD＝y1﹣y2＝﹣x2+4﹣（﹣x2﹣x﹣），
即：CD＝﹣x2+x+，
当x＝﹣＝时，CD最大＝﹣×+×+＝5，
∴S△BCD＝×5×（3﹣）＝．
29．解：（1）∵抛物线C：y＝x2+mx+n（m，n为常数）顶点坐标为P（1，2），
∴﹣＝1，＝2，
解得m＝﹣2，n＝3；
（2）在（1）的条件下，抛物线C为：y＝x2﹣2x+3，
∴抛物线与y轴的交点为（0，3），
过点（0，3）作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为（2，3），
此时点（2，3）到y轴的距离为2，
∵点Q（a，b）在抛物线C上，且离y轴的距离不大于2，
由图象可知，2≤b≤3．
（3）将抛物线C向左平移2个单位得到抛物线C1为y＝（x+2）2+m（x+2）+n；将抛物线C向右平移2个单位得到抛物线C2为y＝（x﹣2）2+m（x﹣2）+n；
由（x+2）2+m（x+2）+n＝（x﹣2）2+m（x﹣2）+n，解得x＝﹣m，
∴若C1与C2的交点坐标为（1，3），
∴﹣m＝1，解得m＝﹣2，
把点（1，3）代入y＝（x+2）2﹣2（x+2）+n得3＝9﹣6+n，
∴n＝0，
∴抛物线C的函数解析式为y＝x2﹣2x．
30．解：（1）抛物线对称轴x＝﹣＝﹣1；
（2）∵抛物线y＝ax2+2ax+c与x轴交于点A，B，且AB＝4，抛物线对称轴x＝﹣1，
∴A（﹣3，0），B（1，0）；
把（1，0）代入y＝ax2+2ax+c得：
a+2a+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴C（0，﹣3a），
∴D（0，﹣3a+1），
∴点D纵坐标为：﹣3a+1；
（3）①当a＞0时，将点P（﹣4，4）代入抛物线y＝ax2+2ax﹣3a得：
4＝16a﹣8a﹣3a，
∴a＝．
此时点D坐标为：（0，﹣），点C的坐标为：（0，﹣），
∴当a≥时，抛物线与线段PD只有一个公共点，如图所示：
②当a＜0时，抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4a），
当﹣4a＝4时，a＝﹣1，
则当a＝﹣1时，抛物线与线段PD只有一个公共点，即抛物线的顶点，如图所示：
③当a＜﹣1时，抛物线与线段PD只有两个公共点，如图所示：
④当﹣1＜a＜0时，抛物线与线段PD没有公共点，如图所示：
综上所述，当a≥或a＝﹣1时，抛物线与线段PD只有一个公共点．
x
﹣3
﹣2
﹣1
0
y
6
3
2
3
x
…
﹣3
﹣2
0
1
4
5
…
y
…
7
0
﹣8
﹣9
0
7
…
x
…
…
y
…
…
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
0
﹣5
﹣8
﹣9
﹣8
﹣5
0
…
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