高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质优秀习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质优秀习题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

复习巩固


一、选择题


1．下列函数中，周期为eq \f(π,2)的是( )


A．y＝sinx B．y＝sin2x


C．y＝cseq \f(x,2) D．y＝cs4x


[解析] ∵T＝eq \f(π,2)＝eq \f(2π,|ω|)，∴|ω|＝4，而ω>0，∴ω＝4.


[答案] D


2．函数y＝4sin(2x＋π)的图象关于( )


A．x轴对称 B．原点对称


C．y轴对称 D．直线x＝eq \f(π,2)对称


[解析] y＝4sin(2x＋π)＝－4sin2x，奇函数图象关于原点对称．


[答案] B


3．函数f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)x＋\f(15π,2)))是( )


A．周期为3π的偶函数 B．周期为2π的偶函数


C．周期为3π的奇函数 D．周期为eq \f(4π,3)的偶函数


[解析] ∵f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)x＋6π＋π＋\f(π,2)))


＝3sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\f(2x,3)))))


＝－3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\f(2,3)x))＝－3cseq \f(2,3)x


∴T＝eq \f(2π,\f(2,3))＝3π，而f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数．


[答案] A


4．设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x), f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的图象是( )





[解析] 由f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数，图象关于y轴对称．


由f(x＋2)＝f(x)，则f(x)的周期为2.


故选B.


[答案] B


5．函数y＝eq \f(|sinx|1－sinx,1－sinx)的奇偶性为( )


A．奇函数 B．既是奇函数也是偶函数


C．偶函数 D．非奇非偶函数


[解析] 由题意知，当1－sinx≠0，


即sinx≠1时，


y＝eq \f(|sinx|1－sinx,1－sinx)＝|sinx|，


所以函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≠2kπ＋\f(π,2)，k∈Z))，


由于定义域不关于原点对称，


所以该函数是非奇非偶函数．


[答案] D


二、填空题


6．函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))的最小正周期为eq \f(π,5)，其中ω>0，则ω＝________.


[解析] 依题意得eq \f(π,5)＝eq \f(2π,ω)，∴ω＝10.


[答案] 10


7．f(x)＝sinxcsx是________(填“奇”或“偶”)函数．


[解析] x∈R时，f(－x)＝sin(－x)cs(－x)


＝－sinxcsx＝－f(x)，即f(x)是奇函数．


[答案] 奇


8．若函数f(x)的定义域为R，最小正周期为eq \f(3π,2)，且满足f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(csx，－\f(π,2)≤x<0,sinx，0≤x<π，))则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15π,4)))＝________.


[解析] ∵T＝eq \f(3π,2)，


∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15π,4)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15π,4)＋\f(3π,2)×3))


＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)))＝sineq \f(3π,4)＝eq \f(\r(2),2).


[答案] eq \f(\r(2),2)


三、解答题


9．判断下列函数的奇偶性．


(1)f(x)＝eq \r(3)cs2x；


(2)f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2x,3)＋\f(π,2)))＋2；


(3)f(x)＝x·csx.


[解] (1)因为x∈R，


f(－x)＝eq \r(3)cs(－2x)＝eq \r(3)cs2x＝f(x)，


所以f(x)＝eq \r(3)cs2x是偶函数．


(2)因为x∈R，f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2x,3)＋\f(π,2)))＋2＝cseq \f(2x,3)＋2，所以f(－x)＝cseq \f(2－x,3)＋2＝cseq \f(2x,3)＋2＝f(x)，所以函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2x,3)＋\f(π,2)))＋2是偶函数．


(3)因为x∈R，f(－x)＝－x·cs(－x)＝－x·csx＝－f(x)，


所以f(x)＝xcsx是奇函数．


10．已知函数y＝eq \f(1,2)csx＋eq \f(1,2)|csx|.


(1)画出函数的图象；


(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．


[解] (1)y＝eq \f(1,2)csx＋eq \f(1,2)|csx|


＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(csx，x∈\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))k∈Z,0，x∈\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))k∈Z，))


函数图象如图所示．





(2)由图象知这个函数是周期函数，且最小正周期是2π.


综合运用


11．若函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－φ))是偶函数，则φ的一个取值为( )


A．2010π B．－eq \f(π,8)


C．－eq \f(π,4) D．－eq \f(π,2)


[解析] 当φ＝－eq \f(π,2)时，f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,2)))＝cseq \f(1,2)x为偶函数，故选D.


[答案] D


12．函数y＝cs(sinx)的最小正周期是( )


A.eq \f(π,2) B．π


C．2π D．4π


[解析] ∵y＝cs[sin(x＋π)]＝cs(－sinx)


＝cs(sinx)


∴函数y＝cs(sinx)的最小正周期为π.


[答案] B


13．函数f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋2x))＋1的图象关于________对称(填“原点”或“y轴”)．


[解析] f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋2x))＋1


＝eq \r(2)cs2x＋1，


∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．


∵偶函数图象关于y轴对称，


∴f(x)图象关于y轴对称．


[答案] y轴


14．函数f(x)是以4为周期的奇函数，且f(－1)＝1，则


sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(πf5＋\f(π,2)))＝________.


[解析] ∵函数f(x)是以4为周期的奇函数，且f(－1)＝1，∴f(5)＝f(4＋1)＝f(1)＝－f(－1)＝－1，


则原式＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－π＋\f(π,2)))＝－sineq \f(π,2)＝－1.


[答案] －1


15．已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，f(x)＝1－sinx，当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)，3π))时，求f(x)的解析式．


[解] x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)，3π))时，3π－x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，f(x)＝1－sinx，所以f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sinx.又f(x)是以π为周期的偶函数，


所以f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，所以f(x)的解析式为f(x)＝1－sinx，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)，3π)).