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2019-2020学年河北省保定市定州市宝塔中学八年级（下）期末数学试卷 解析版
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2019-2020学年河北省保定市定州市宝塔中学八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题有16个小题，每题3分，共48分，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列计算中，正确的是（ ）
A．﹣＝ B．×＝6 C．3+＝3 D．÷2＝
2．（3分）下列函数：①y＝；②y＝﹣；③y＝3﹣x；④y＝3x2﹣2．其中是一次函数的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．（3分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，，3
4．（3分）估计+1的值是（ ）
A．在2和3之间 B．在3和4之间 C．在4和5之间 D．在5和6之间
5．（3分）一组数据的方差为1.2，将这组数据扩大为原来的2倍，则所得新数据的方差为（ ）
A．1.2 B．2.4 C．1.44 D．4.8
6．（3分）如图，E是平行四边形内任一点，若S平行四边形ABCD＝8，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（3分）如图，在▱ABCD中，AD＝8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（3分）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB＝BC时，它是菱形
B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当∠ABC＝90°时，它是矩形
D．当AC＝BD时，它是正方形
9．（3分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB＝6，BC＝9，则BF的长为（ ）
A．4 B．3 C．4.5 D．5
10．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，A（3，0），B（0，4），则点C的坐标为（ ）
A．（﹣5，4） B．（﹣5，5） C．（﹣4，4） D．（﹣4，3）
11．（3分）若把一次函数y＝2x﹣3，向下平移3个单位长度，得到图象解析式是（ ）
A．y＝2x B．y＝2x﹣6 C．y＝5x﹣3 D．y＝﹣x﹣3
12．（3分）若一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式中总是成立的是（ ）
A．ab＞0 B．a﹣b＞0 C．a2+b＞0 D．a+b＞0
13．（3分）下表是某校合唱团成员的年龄分布
年龄/岁
13
14
15
16
频数
5
15
x
10﹣x
对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ）
A．平均数、中位数 B．众数、中位数
C．平均数、方差 D．中位数、方差
14．（3分）王芳同学为参加学校组织的科技知识竞赛，她周末到新华书店购买资料．如图，是王芳离家的距离与时间的函数图象．若黑点表示王芳家的位置，则王芳走的路线可能是（ ）
A． B．
C． D．
15．（3分）如图，直线y＝kx+b与y轴交于点（0，3）、与x轴交于点（a，0），当a满足﹣3≤a＜0时，k的取值范围是（ ）
A．﹣1≤k＜0 B．1≤k≤3 C．k≥1 D．k≥3
16．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
二、填空题（每空3分，共15分．把答案写在题中横线上）
17．（3分）要使式子有意义，则x的取值范围是 ．
18．（6分）已知直线l1，l2的解析式分别为y1＝ax+b，y2＝mx+n（0＜m＜a），根据图中的图象填空：
（1）方程组的解为 ；
（2）当y1＞y2时，自变量x的取值范围是 ．
19．（6分）如图中的虚线网格为菱形网格，每一个小菱形的面积均为1，网格中虚线的交点称为格点，顶点都在格点的多边形称为格点多边形，如：格点▱ABCD的面积是6．
（1）格点△PMN的面积是 ．
（2）格点四边形EFGH的面积是 ．
三、解答题（本大题有6个小题，共57分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（9分）（1）计算：（2019﹣）0+|3﹣|﹣．
（2）已知a＝2+，b＝2﹣，求a2b+ab2的值．
21．（9分）如图，已知：△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，BD＝9
（1）求CD的长；
（2）求AD的长；
（3）△ABC是直角三角形吗？请说明理由．
22．（9分）四川雅安发生地震后，某校学生会向全校1900名学生发起了“心系雅安”捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列是问题：
（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为 ，图①中m的值是 ；
（Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．
23．（9分）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF．
（1）求证：△BDF≌△CDE；
（2）若AB＝AC，求证：四边形BFCE是菱形．
24．（9分）如图，过点A（2，0）的两条直线l1，l2分别交y轴于点B，C，其中点B在原点上方，点C在原点下方，已知AB＝．
（1）求点B的坐标；
（2）若△ABC的面积为4，求直线l2的解析式．
25．（12分）广安某水果店计划购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示：
进价（元/千克）
售价（元/千克）
甲种
5
8
乙种
9
13
（1）若该水果店预计进货款为1000元，则这两种水果各购进多少千克？
（2）若该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果店在销售完这批水果时获利最多？此时利润为多少元？
2019-2020学年河北省保定市定州市宝塔中学八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有16个小题，每题3分，共48分，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列计算中，正确的是（ ）
A．﹣＝ B．×＝6 C．3+＝3 D．÷2＝
【分析】计算出各个选项中式子的正确结果即可得到哪个选项是正确的．
【解答】解：∵不能合并，各选项A错误；
∵，故选项B正确；
∵3+不能合并，故选项C错误；
∵＝，故选项D错误；
故选：B．
2．（3分）下列函数：①y＝；②y＝﹣；③y＝3﹣x；④y＝3x2﹣2．其中是一次函数的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】一次函数解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式．一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数．
【解答】解：由题可得，是一次函数的有：①y＝；③y＝3﹣x，
∴一次函数有2个，
故选：C．
3．（3分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，，3
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、42+52＝41≠62，不可以构成直角三角形，故A选项错误；
B、1.52+22＝6.25＝2.52，可以构成直角三角形，故B选项正确；
C、22+32＝13≠42，不可以构成直角三角形，故C选项错误；
D、12+（）2＝3≠32，不可以构成直角三角形，故D选项错误．
故选：B．
4．（3分）估计+1的值是（ ）
A．在2和3之间 B．在3和4之间 C．在4和5之间 D．在5和6之间
【分析】应先找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后判断出所求的无理数的范围．
【解答】解：∵32＝9，42＝16，
∴，
∴+1在4到5之间．
故选：C．
5．（3分）一组数据的方差为1.2，将这组数据扩大为原来的2倍，则所得新数据的方差为（ ）
A．1.2 B．2.4 C．1.44 D．4.8
【分析】根据方差的性质可知，数据中的每个数据都扩大2倍，方差变为4s2．
【解答】解：根据方差的性质可知：
数据中的每个数据都扩大2倍，方差变为4s2，
则这组数据扩大为原来的2倍后方差为4×1.2＝4.8．
故选：D．
6．（3分）如图，E是平行四边形内任一点，若S平行四边形ABCD＝8，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据三角形面积公式可知，图中阴影部分面积等于平行四边形面积的一半．所以S阴影＝S四边形ABCD．
【解答】解：设两个阴影部分三角形的底为AD，CB，高分别为h1，h2，则h1+h2为平行四边形的高，
∴S△EAD+S△ECB
＝AD•h1+CB•h2＝AD（h1+h2）
＝S四边形ABCD
＝4．
故选：B．
7．（3分）如图，在▱ABCD中，AD＝8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，可得BC＝AD＝8，又由点E、F分别是BD、CD的中点，利用三角形中位线的性质，即可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝8，
∵点E、F分别是BD、CD的中点，
∴EF＝BC＝×8＝4．
故选：C．
8．（3分）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB＝BC时，它是菱形
B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当∠ABC＝90°时，它是矩形
D．当AC＝BD时，它是正方形
【分析】分别根据菱形、矩形和正方形的判定逐项判断即可．
【解答】解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当AB＝BC或AC⊥BD时，四边形ABCD为菱形，故A、B结论正确；
当∠ABC＝90°时，四边形ABCD为矩形，故C结论正确；
当AC＝BD时，四边形ABCD为矩形，故D结论不正确，
故选：D．
9．（3分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB＝6，BC＝9，则BF的长为（ ）
A．4 B．3 C．4.5 D．5
【分析】先求出BC′，再由图形折叠特性知，C′F＝CF＝BC﹣BF＝9﹣BF，在Rt△C′BF中，运用勾股定理BF2+BC′2＝C′F2求解．
【解答】解：∵点C′是AB边的中点，AB＝6，
∴BC′＝3，
由图形折叠特性知，C′F＝CF＝BC﹣BF＝9﹣BF，
在Rt△C′BF中，BF2+BC′2＝C′F2，
∴BF2+9＝（9﹣BF）2，
解得，BF＝4，
故选：A．
10．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，A（3，0），B（0，4），则点C的坐标为（ ）
A．（﹣5，4） B．（﹣5，5） C．（﹣4，4） D．（﹣4，3）
【分析】由勾股定理求出AB＝5，由菱形的性质得出BC＝5，即可得出点C的坐标．
【解答】解：∵A（3，0），B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
∴AB＝＝5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝AD＝AB＝5，
∴点C的坐标为（﹣5，4）；
故选：A．
11．（3分）若把一次函数y＝2x﹣3，向下平移3个单位长度，得到图象解析式是（ ）
A．y＝2x B．y＝2x﹣6 C．y＝5x﹣3 D．y＝﹣x﹣3
【分析】根据一次函数图象与几何变换得到直线y＝2x﹣3向下平移3个单位得到的函数解析式为y＝2x﹣3﹣3．
【解答】解：一次函数y＝2x﹣3向下平移3个单位长度得到的函数解析式为y＝2x﹣3﹣3＝2x﹣6．
故选：B．
12．（3分）若一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式中总是成立的是（ ）
A．ab＞0 B．a﹣b＞0 C．a2+b＞0 D．a+b＞0
【分析】首先判断a、b的符号，再一一判断即可解决问题．
【解答】解：∵一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，
∴a＜0，b＞0，
∴ab＜0，故A错误，
a﹣b＜0，故B错误，
a2+b＞0，故C正确，
a+b不一定大于0，故D错误．
故选：C．
13．（3分）下表是某校合唱团成员的年龄分布
年龄/岁
13
14
15
16
频数
5
15
x
10﹣x
对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ）
A．平均数、中位数 B．众数、中位数
C．平均数、方差 D．中位数、方差
【分析】由频数分布表可知后两组的频数和为10，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第15、16个数据的平均数，可得答案．
【解答】解：由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x+10﹣x＝10，
则总人数为：5+15+10＝30，
故该组数据的众数为14岁，中位数为：＝14岁，
即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，
故选：B．
14．（3分）王芳同学为参加学校组织的科技知识竞赛，她周末到新华书店购买资料．如图，是王芳离家的距离与时间的函数图象．若黑点表示王芳家的位置，则王芳走的路线可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由图知：在行驶的过程中，有一段路程到王芳家的距离都相等，可根据这个特点来判断符合题意的选项．
【解答】解：根据题意知：横坐标代表的是时间，纵坐标代表的是路程；
由图知：在前往新华书店的过程中，有一段路程到王芳家的距离不变，所以只有选项B符合题意；
故选：B．
15．（3分）如图，直线y＝kx+b与y轴交于点（0，3）、与x轴交于点（a，0），当a满足﹣3≤a＜0时，k的取值范围是（ ）
A．﹣1≤k＜0 B．1≤k≤3 C．k≥1 D．k≥3
【分析】把点的坐标代入直线方程得到a＝﹣，然后将其代入不等式组﹣3≤a＜0，通过不等式的性质来求k的取值范围．
【解答】解：把点（0，3）（a，0）代入y＝kx+b，得
b＝3．则a＝﹣，
∵﹣3≤a＜0，
∴﹣3≤﹣＜0，
解得：k≥1．
故选：C．
16．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【分析】由菱形的性质，找出B点关于AC的对称点D，连接DE，则DE就是PE+PB的最小值，再由勾股定理可求出DE．
【解答】解：连接DE、BD，
由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，连接PB．则PD＝PB，
∴PE+PB＝PE+PD＝DE，
即DE就是PE+PB的最小值，
∵∠BAD＝60°，AD＝AB，
∴△ABD是等边三角形，
∵AE＝BE，
∴DE⊥AB（等腰三角形三线合一的性质），
在Rt△ADE中，DE＝．
故选：B．
二、填空题（每空3分，共15分．把答案写在题中横线上）
17．（3分）要使式子有意义，则x的取值范围是 x＞2 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得：x﹣2≥0，再根据分式有意义的条件可得x﹣2≠0，故x﹣2＞0，解不等式可得答案．
【解答】解：由题意得：x﹣2＞0，
解得：x＞2，
故答案为x＞2．
18．（6分）已知直线l1，l2的解析式分别为y1＝ax+b，y2＝mx+n（0＜m＜a），根据图中的图象填空：
（1）方程组的解为 ；
（2）当y1＞y2时，自变量x的取值范围是 x＞2 ．
【分析】（1）由题意，直线的解析式分别为y1＝ax+b，y2＝mx+n，两直线的图象交点，即为方程组的解；
（2）由图象可以看出，在交点右边即x＞2时，l1在l2的上方，即y1＞y2．
【解答】解：（1）在图中，∵函数y1＝ax+b，y2＝mx+n交点为（2，3），
则为方程组的解，
故答案为．
（2）由图象可以看出，在交点右边即x＞2时，l1在l2的上方，即y1＞y2．
故答案为：x＞2．
19．（6分）如图中的虚线网格为菱形网格，每一个小菱形的面积均为1，网格中虚线的交点称为格点，顶点都在格点的多边形称为格点多边形，如：格点▱ABCD的面积是6．
（1）格点△PMN的面积是 6 ．
（2）格点四边形EFGH的面积是 28 ．
【分析】（1）根据S△PMN＝•S平行四边形MNEF计算即可；
（2）根据S四边形EFGH＝S平行四边形LJKT﹣S△LEH﹣S△HTG﹣S△FKG﹣S△EFJ计算即可．
【解答】解：（1）如图，S△PMN＝•S平行四边形MNEF＝×12＝6，
故答案为6．
（2）S四边形EFGH＝S平行四边形LJKT﹣S△LEH﹣S△HTG﹣S△FKG﹣S△EFJ
＝60﹣2﹣9﹣6﹣15＝28，
故答案为28
三、解答题（本大题有6个小题，共57分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（9分）（1）计算：（2019﹣）0+|3﹣|﹣．
（2）已知a＝2+，b＝2﹣，求a2b+ab2的值．
【分析】（1）先根据零指数幂、去绝对值符号以及分母有理化将各项化简，再合并即可得到答案；
（2）先计算a+b＝4，ab＝1，再把a2b+ab2分解因式，最后整体代入即可．
【解答】解：（1）（2019﹣）0+|3﹣|﹣
＝1+﹣3﹣2
＝1+2﹣3﹣2
＝﹣2；
（2）∵a＝2+，b＝2﹣，
∴a+b＝＝4，ab＝＝1，
∴a2b+ab2
＝ab（a+b）
＝1×4
＝4．
21．（9分）如图，已知：△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，BD＝9
（1）求CD的长；
（2）求AD的长；
（3）△ABC是直角三角形吗？请说明理由．
【分析】（1）在RT△BCD中运用勾股定理即可求出CD的长；
（2）在RT△ACD中运用勾股定理即可求出AD的长；
（3）已知△ABC的三边，根据勾股定理的逆定理即可判定△ABC是直角三角形．
【解答】解：（1）在RT△BCD中，∵∠CDB＝90°，BC＝15，BD＝9，
∴CD＝＝12；
（2）在RT△ACD中，∵∠CDA＝90°，AC＝20，CD＝12，
∴AD＝＝16；
（3）在△ABC中，∵AC＝20，BC＝15，AB＝AD+DB＝16+9＝25，
∴AC2+BC2＝400+225＝625＝252＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
22．（9分）四川雅安发生地震后，某校学生会向全校1900名学生发起了“心系雅安”捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列是问题：
（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为 50 ，图①中m的值是 32 ；
（Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．
【分析】（1）根据条形统计图即可得出样本容量根据扇形统计图得出m的值即可；
（2）利用平均数、中位数、众数的定义分别求出即可；
（3）根据样本中捐款10元的人数，进而得出该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．
【解答】解：（1）根据条形图4+16+12+10+8＝50（人），
m＝100﹣20﹣24﹣16﹣8＝32；
（2）∵＝（5×4+10×16+15×12+20×10+30×8）＝16，
∴这组数据的平均数为：16，
∵在这组样本数据中，10出现次数最多为16次，
∴这组数据的众数为：10，
∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是15，
∴这组数据的中位数为：（15+15）＝15；
（3）∵在50名学生中，捐款金额为10元的学生人数比例为32%，
∴由样本数据，估计该校1900名学生中捐款金额为10元的学生人数比例为32%，有1900×32%＝608，
∴该校本次活动捐款金额为10元的学生约有608名．
故答案为：50，32．
23．（9分）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF．
（1）求证：△BDF≌△CDE；
（2）若AB＝AC，求证：四边形BFCE是菱形．
【分析】（1）由CE、BF的内错角相等，可得出△CED和△BFD的两组对应角相等；已知D是BC的中点，即BD＝DC，由AAS即可证得两三角形全等；
（2）若AB＝AC，则△ABC是等腰三角形，而D是底边BC的中点，根据等腰三角形三线合一的性质可证得AD⊥BC；由（1）的全等三角形，易证得四边形BFCE的对角线互相平分；根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可判定四边形BFCE是菱形．
【解答】证明：（1）∵CE∥BF，
∴∠ECD＝∠FBD，∠DEC＝∠DFB；
又∵D是BC的中点，即BD＝DC，
∴△BDF≌△EDC；（AAS）
（2）∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
又∵BD＝DC，∴AD⊥BC（三线合一），
由（1）知：△BDF≌△EDC，
则DE＝DF，DB＝DC；
∴四边形BFCE是菱形（对角线互相平分且互相垂直的四边形为菱形）．
24．（9分）如图，过点A（2，0）的两条直线l1，l2分别交y轴于点B，C，其中点B在原点上方，点C在原点下方，已知AB＝．
（1）求点B的坐标；
（2）若△ABC的面积为4，求直线l2的解析式．
【分析】（1）先根据勾股定理求得BO的长，再写出点B的坐标；
（2）先根据△ABC的面积为4，求得CO的长，再根据点A、C的坐标，运用待定系数法求得直线l2的解析式．
【解答】解：（1）∵点A的坐标为（2，0），
∴AO＝2，
在直角三角形OAB中，AO2+OB2＝AB2，
即22+OB2＝（）2，
∴OB＝3，
∴B（0，3）；
（2）∵△ABC的面积为4
∴4＝BC×OA，即4＝BC×2，
∴BC＝4，
∴OC＝BC﹣OB＝4﹣3＝1，
∴C（0，﹣1），
设l2的解析式为y＝kx+b，
则，解得，
直线L2所对应的函数关系式为y＝x﹣1．
25．（12分）广安某水果店计划购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示：
进价（元/千克）
售价（元/千克）
甲种
5
8
乙种
9
13
（1）若该水果店预计进货款为1000元，则这两种水果各购进多少千克？
（2）若该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果店在销售完这批水果时获利最多？此时利润为多少元？
【分析】（1）根据计划购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，进而利用该水果店预计进货款为1000元，得出等式求出即可；
（2）利用两种水果每千克的利润表示出总利润，再利用一次函数增减性得出最大值即可．
【解答】解：（1）设购进甲种水果x千克，则购进乙种水果（140﹣x）千克，根据题意可得：
5x+9（140﹣x）＝1000，
解得：x＝65，
∴140﹣x＝75（千克），
答：购进甲种水果65千克，乙种水果75千克；
（2）由图表可得：甲种水果每千克利润为：3元，乙种水果每千克利润为：4元，
设总利润为W，由题意可得出：W＝3x+4（140﹣x）＝﹣x+560，
故W随x的增大而减小，则x越小W越大，
因为该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，
∴140﹣x≤3x，
解得：x≥35，
∴当x＝35时，W最大＝﹣35+560＝525（元），
故140﹣35＝105（kg）．
答：当甲购进35千克，乙种水果105千克时，此时利润最大为525元．
一、选择题（本大题有16个小题，每题3分，共48分，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列计算中，正确的是（ ）
A．﹣＝ B．×＝6 C．3+＝3 D．÷2＝
2．（3分）下列函数：①y＝；②y＝﹣；③y＝3﹣x；④y＝3x2﹣2．其中是一次函数的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．（3分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，，3
4．（3分）估计+1的值是（ ）
A．在2和3之间 B．在3和4之间 C．在4和5之间 D．在5和6之间
5．（3分）一组数据的方差为1.2，将这组数据扩大为原来的2倍，则所得新数据的方差为（ ）
A．1.2 B．2.4 C．1.44 D．4.8
6．（3分）如图，E是平行四边形内任一点，若S平行四边形ABCD＝8，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（3分）如图，在▱ABCD中，AD＝8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（3分）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB＝BC时，它是菱形
B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当∠ABC＝90°时，它是矩形
D．当AC＝BD时，它是正方形
9．（3分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB＝6，BC＝9，则BF的长为（ ）
A．4 B．3 C．4.5 D．5
10．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，A（3，0），B（0，4），则点C的坐标为（ ）
A．（﹣5，4） B．（﹣5，5） C．（﹣4，4） D．（﹣4，3）
11．（3分）若把一次函数y＝2x﹣3，向下平移3个单位长度，得到图象解析式是（ ）
A．y＝2x B．y＝2x﹣6 C．y＝5x﹣3 D．y＝﹣x﹣3
12．（3分）若一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式中总是成立的是（ ）
A．ab＞0 B．a﹣b＞0 C．a2+b＞0 D．a+b＞0
13．（3分）下表是某校合唱团成员的年龄分布
年龄/岁
13
14
15
16
频数
5
15
x
10﹣x
对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ）
A．平均数、中位数 B．众数、中位数
C．平均数、方差 D．中位数、方差
14．（3分）王芳同学为参加学校组织的科技知识竞赛，她周末到新华书店购买资料．如图，是王芳离家的距离与时间的函数图象．若黑点表示王芳家的位置，则王芳走的路线可能是（ ）
A． B．
C． D．
15．（3分）如图，直线y＝kx+b与y轴交于点（0，3）、与x轴交于点（a，0），当a满足﹣3≤a＜0时，k的取值范围是（ ）
A．﹣1≤k＜0 B．1≤k≤3 C．k≥1 D．k≥3
16．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
二、填空题（每空3分，共15分．把答案写在题中横线上）
17．（3分）要使式子有意义，则x的取值范围是 ．
18．（6分）已知直线l1，l2的解析式分别为y1＝ax+b，y2＝mx+n（0＜m＜a），根据图中的图象填空：
（1）方程组的解为 ；
（2）当y1＞y2时，自变量x的取值范围是 ．
19．（6分）如图中的虚线网格为菱形网格，每一个小菱形的面积均为1，网格中虚线的交点称为格点，顶点都在格点的多边形称为格点多边形，如：格点▱ABCD的面积是6．
（1）格点△PMN的面积是 ．
（2）格点四边形EFGH的面积是 ．
三、解答题（本大题有6个小题，共57分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（9分）（1）计算：（2019﹣）0+|3﹣|﹣．
（2）已知a＝2+，b＝2﹣，求a2b+ab2的值．
21．（9分）如图，已知：△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，BD＝9
（1）求CD的长；
（2）求AD的长；
（3）△ABC是直角三角形吗？请说明理由．
22．（9分）四川雅安发生地震后，某校学生会向全校1900名学生发起了“心系雅安”捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列是问题：
（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为 ，图①中m的值是 ；
（Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．
23．（9分）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF．
（1）求证：△BDF≌△CDE；
（2）若AB＝AC，求证：四边形BFCE是菱形．
24．（9分）如图，过点A（2，0）的两条直线l1，l2分别交y轴于点B，C，其中点B在原点上方，点C在原点下方，已知AB＝．
（1）求点B的坐标；
（2）若△ABC的面积为4，求直线l2的解析式．
25．（12分）广安某水果店计划购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示：
进价（元/千克）
售价（元/千克）
甲种
5
8
乙种
9
13
（1）若该水果店预计进货款为1000元，则这两种水果各购进多少千克？
（2）若该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果店在销售完这批水果时获利最多？此时利润为多少元？
2019-2020学年河北省保定市定州市宝塔中学八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有16个小题，每题3分，共48分，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列计算中，正确的是（ ）
A．﹣＝ B．×＝6 C．3+＝3 D．÷2＝
【分析】计算出各个选项中式子的正确结果即可得到哪个选项是正确的．
【解答】解：∵不能合并，各选项A错误；
∵，故选项B正确；
∵3+不能合并，故选项C错误；
∵＝，故选项D错误；
故选：B．
2．（3分）下列函数：①y＝；②y＝﹣；③y＝3﹣x；④y＝3x2﹣2．其中是一次函数的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】一次函数解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式．一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数．
【解答】解：由题可得，是一次函数的有：①y＝；③y＝3﹣x，
∴一次函数有2个，
故选：C．
3．（3分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，，3
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、42+52＝41≠62，不可以构成直角三角形，故A选项错误；
B、1.52+22＝6.25＝2.52，可以构成直角三角形，故B选项正确；
C、22+32＝13≠42，不可以构成直角三角形，故C选项错误；
D、12+（）2＝3≠32，不可以构成直角三角形，故D选项错误．
故选：B．
4．（3分）估计+1的值是（ ）
A．在2和3之间 B．在3和4之间 C．在4和5之间 D．在5和6之间
【分析】应先找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后判断出所求的无理数的范围．
【解答】解：∵32＝9，42＝16，
∴，
∴+1在4到5之间．
故选：C．
5．（3分）一组数据的方差为1.2，将这组数据扩大为原来的2倍，则所得新数据的方差为（ ）
A．1.2 B．2.4 C．1.44 D．4.8
【分析】根据方差的性质可知，数据中的每个数据都扩大2倍，方差变为4s2．
【解答】解：根据方差的性质可知：
数据中的每个数据都扩大2倍，方差变为4s2，
则这组数据扩大为原来的2倍后方差为4×1.2＝4.8．
故选：D．
6．（3分）如图，E是平行四边形内任一点，若S平行四边形ABCD＝8，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据三角形面积公式可知，图中阴影部分面积等于平行四边形面积的一半．所以S阴影＝S四边形ABCD．
【解答】解：设两个阴影部分三角形的底为AD，CB，高分别为h1，h2，则h1+h2为平行四边形的高，
∴S△EAD+S△ECB
＝AD•h1+CB•h2＝AD（h1+h2）
＝S四边形ABCD
＝4．
故选：B．
7．（3分）如图，在▱ABCD中，AD＝8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，可得BC＝AD＝8，又由点E、F分别是BD、CD的中点，利用三角形中位线的性质，即可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝8，
∵点E、F分别是BD、CD的中点，
∴EF＝BC＝×8＝4．
故选：C．
8．（3分）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB＝BC时，它是菱形
B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当∠ABC＝90°时，它是矩形
D．当AC＝BD时，它是正方形
【分析】分别根据菱形、矩形和正方形的判定逐项判断即可．
【解答】解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当AB＝BC或AC⊥BD时，四边形ABCD为菱形，故A、B结论正确；
当∠ABC＝90°时，四边形ABCD为矩形，故C结论正确；
当AC＝BD时，四边形ABCD为矩形，故D结论不正确，
故选：D．
9．（3分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB＝6，BC＝9，则BF的长为（ ）
A．4 B．3 C．4.5 D．5
【分析】先求出BC′，再由图形折叠特性知，C′F＝CF＝BC﹣BF＝9﹣BF，在Rt△C′BF中，运用勾股定理BF2+BC′2＝C′F2求解．
【解答】解：∵点C′是AB边的中点，AB＝6，
∴BC′＝3，
由图形折叠特性知，C′F＝CF＝BC﹣BF＝9﹣BF，
在Rt△C′BF中，BF2+BC′2＝C′F2，
∴BF2+9＝（9﹣BF）2，
解得，BF＝4，
故选：A．
10．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，A（3，0），B（0，4），则点C的坐标为（ ）
A．（﹣5，4） B．（﹣5，5） C．（﹣4，4） D．（﹣4，3）
【分析】由勾股定理求出AB＝5，由菱形的性质得出BC＝5，即可得出点C的坐标．
【解答】解：∵A（3，0），B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
∴AB＝＝5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝AD＝AB＝5，
∴点C的坐标为（﹣5，4）；
故选：A．
11．（3分）若把一次函数y＝2x﹣3，向下平移3个单位长度，得到图象解析式是（ ）
A．y＝2x B．y＝2x﹣6 C．y＝5x﹣3 D．y＝﹣x﹣3
【分析】根据一次函数图象与几何变换得到直线y＝2x﹣3向下平移3个单位得到的函数解析式为y＝2x﹣3﹣3．
【解答】解：一次函数y＝2x﹣3向下平移3个单位长度得到的函数解析式为y＝2x﹣3﹣3＝2x﹣6．
故选：B．
12．（3分）若一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式中总是成立的是（ ）
A．ab＞0 B．a﹣b＞0 C．a2+b＞0 D．a+b＞0
【分析】首先判断a、b的符号，再一一判断即可解决问题．
【解答】解：∵一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，
∴a＜0，b＞0，
∴ab＜0，故A错误，
a﹣b＜0，故B错误，
a2+b＞0，故C正确，
a+b不一定大于0，故D错误．
故选：C．
13．（3分）下表是某校合唱团成员的年龄分布
年龄/岁
13
14
15
16
频数
5
15
x
10﹣x
对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ）
A．平均数、中位数 B．众数、中位数
C．平均数、方差 D．中位数、方差
【分析】由频数分布表可知后两组的频数和为10，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第15、16个数据的平均数，可得答案．
【解答】解：由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x+10﹣x＝10，
则总人数为：5+15+10＝30，
故该组数据的众数为14岁，中位数为：＝14岁，
即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，
故选：B．
14．（3分）王芳同学为参加学校组织的科技知识竞赛，她周末到新华书店购买资料．如图，是王芳离家的距离与时间的函数图象．若黑点表示王芳家的位置，则王芳走的路线可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由图知：在行驶的过程中，有一段路程到王芳家的距离都相等，可根据这个特点来判断符合题意的选项．
【解答】解：根据题意知：横坐标代表的是时间，纵坐标代表的是路程；
由图知：在前往新华书店的过程中，有一段路程到王芳家的距离不变，所以只有选项B符合题意；
故选：B．
15．（3分）如图，直线y＝kx+b与y轴交于点（0，3）、与x轴交于点（a，0），当a满足﹣3≤a＜0时，k的取值范围是（ ）
A．﹣1≤k＜0 B．1≤k≤3 C．k≥1 D．k≥3
【分析】把点的坐标代入直线方程得到a＝﹣，然后将其代入不等式组﹣3≤a＜0，通过不等式的性质来求k的取值范围．
【解答】解：把点（0，3）（a，0）代入y＝kx+b，得
b＝3．则a＝﹣，
∵﹣3≤a＜0，
∴﹣3≤﹣＜0，
解得：k≥1．
故选：C．
16．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【分析】由菱形的性质，找出B点关于AC的对称点D，连接DE，则DE就是PE+PB的最小值，再由勾股定理可求出DE．
【解答】解：连接DE、BD，
由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，连接PB．则PD＝PB，
∴PE+PB＝PE+PD＝DE，
即DE就是PE+PB的最小值，
∵∠BAD＝60°，AD＝AB，
∴△ABD是等边三角形，
∵AE＝BE，
∴DE⊥AB（等腰三角形三线合一的性质），
在Rt△ADE中，DE＝．
故选：B．
二、填空题（每空3分，共15分．把答案写在题中横线上）
17．（3分）要使式子有意义，则x的取值范围是 x＞2 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得：x﹣2≥0，再根据分式有意义的条件可得x﹣2≠0，故x﹣2＞0，解不等式可得答案．
【解答】解：由题意得：x﹣2＞0，
解得：x＞2，
故答案为x＞2．
18．（6分）已知直线l1，l2的解析式分别为y1＝ax+b，y2＝mx+n（0＜m＜a），根据图中的图象填空：
（1）方程组的解为 ；
（2）当y1＞y2时，自变量x的取值范围是 x＞2 ．
【分析】（1）由题意，直线的解析式分别为y1＝ax+b，y2＝mx+n，两直线的图象交点，即为方程组的解；
（2）由图象可以看出，在交点右边即x＞2时，l1在l2的上方，即y1＞y2．
【解答】解：（1）在图中，∵函数y1＝ax+b，y2＝mx+n交点为（2，3），
则为方程组的解，
故答案为．
（2）由图象可以看出，在交点右边即x＞2时，l1在l2的上方，即y1＞y2．
故答案为：x＞2．
19．（6分）如图中的虚线网格为菱形网格，每一个小菱形的面积均为1，网格中虚线的交点称为格点，顶点都在格点的多边形称为格点多边形，如：格点▱ABCD的面积是6．
（1）格点△PMN的面积是 6 ．
（2）格点四边形EFGH的面积是 28 ．
【分析】（1）根据S△PMN＝•S平行四边形MNEF计算即可；
（2）根据S四边形EFGH＝S平行四边形LJKT﹣S△LEH﹣S△HTG﹣S△FKG﹣S△EFJ计算即可．
【解答】解：（1）如图，S△PMN＝•S平行四边形MNEF＝×12＝6，
故答案为6．
（2）S四边形EFGH＝S平行四边形LJKT﹣S△LEH﹣S△HTG﹣S△FKG﹣S△EFJ
＝60﹣2﹣9﹣6﹣15＝28，
故答案为28
三、解答题（本大题有6个小题，共57分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（9分）（1）计算：（2019﹣）0+|3﹣|﹣．
（2）已知a＝2+，b＝2﹣，求a2b+ab2的值．
【分析】（1）先根据零指数幂、去绝对值符号以及分母有理化将各项化简，再合并即可得到答案；
（2）先计算a+b＝4，ab＝1，再把a2b+ab2分解因式，最后整体代入即可．
【解答】解：（1）（2019﹣）0+|3﹣|﹣
＝1+﹣3﹣2
＝1+2﹣3﹣2
＝﹣2；
（2）∵a＝2+，b＝2﹣，
∴a+b＝＝4，ab＝＝1，
∴a2b+ab2
＝ab（a+b）
＝1×4
＝4．
21．（9分）如图，已知：△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，BD＝9
（1）求CD的长；
（2）求AD的长；
（3）△ABC是直角三角形吗？请说明理由．
【分析】（1）在RT△BCD中运用勾股定理即可求出CD的长；
（2）在RT△ACD中运用勾股定理即可求出AD的长；
（3）已知△ABC的三边，根据勾股定理的逆定理即可判定△ABC是直角三角形．
【解答】解：（1）在RT△BCD中，∵∠CDB＝90°，BC＝15，BD＝9，
∴CD＝＝12；
（2）在RT△ACD中，∵∠CDA＝90°，AC＝20，CD＝12，
∴AD＝＝16；
（3）在△ABC中，∵AC＝20，BC＝15，AB＝AD+DB＝16+9＝25，
∴AC2+BC2＝400+225＝625＝252＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
22．（9分）四川雅安发生地震后，某校学生会向全校1900名学生发起了“心系雅安”捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列是问题：
（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为 50 ，图①中m的值是 32 ；
（Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．
【分析】（1）根据条形统计图即可得出样本容量根据扇形统计图得出m的值即可；
（2）利用平均数、中位数、众数的定义分别求出即可；
（3）根据样本中捐款10元的人数，进而得出该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．
【解答】解：（1）根据条形图4+16+12+10+8＝50（人），
m＝100﹣20﹣24﹣16﹣8＝32；
（2）∵＝（5×4+10×16+15×12+20×10+30×8）＝16，
∴这组数据的平均数为：16，
∵在这组样本数据中，10出现次数最多为16次，
∴这组数据的众数为：10，
∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是15，
∴这组数据的中位数为：（15+15）＝15；
（3）∵在50名学生中，捐款金额为10元的学生人数比例为32%，
∴由样本数据，估计该校1900名学生中捐款金额为10元的学生人数比例为32%，有1900×32%＝608，
∴该校本次活动捐款金额为10元的学生约有608名．
故答案为：50，32．
23．（9分）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF．
（1）求证：△BDF≌△CDE；
（2）若AB＝AC，求证：四边形BFCE是菱形．
【分析】（1）由CE、BF的内错角相等，可得出△CED和△BFD的两组对应角相等；已知D是BC的中点，即BD＝DC，由AAS即可证得两三角形全等；
（2）若AB＝AC，则△ABC是等腰三角形，而D是底边BC的中点，根据等腰三角形三线合一的性质可证得AD⊥BC；由（1）的全等三角形，易证得四边形BFCE的对角线互相平分；根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可判定四边形BFCE是菱形．
【解答】证明：（1）∵CE∥BF，
∴∠ECD＝∠FBD，∠DEC＝∠DFB；
又∵D是BC的中点，即BD＝DC，
∴△BDF≌△EDC；（AAS）
（2）∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
又∵BD＝DC，∴AD⊥BC（三线合一），
由（1）知：△BDF≌△EDC，
则DE＝DF，DB＝DC；
∴四边形BFCE是菱形（对角线互相平分且互相垂直的四边形为菱形）．
24．（9分）如图，过点A（2，0）的两条直线l1，l2分别交y轴于点B，C，其中点B在原点上方，点C在原点下方，已知AB＝．
（1）求点B的坐标；
（2）若△ABC的面积为4，求直线l2的解析式．
【分析】（1）先根据勾股定理求得BO的长，再写出点B的坐标；
（2）先根据△ABC的面积为4，求得CO的长，再根据点A、C的坐标，运用待定系数法求得直线l2的解析式．
【解答】解：（1）∵点A的坐标为（2，0），
∴AO＝2，
在直角三角形OAB中，AO2+OB2＝AB2，
即22+OB2＝（）2，
∴OB＝3，
∴B（0，3）；
（2）∵△ABC的面积为4
∴4＝BC×OA，即4＝BC×2，
∴BC＝4，
∴OC＝BC﹣OB＝4﹣3＝1，
∴C（0，﹣1），
设l2的解析式为y＝kx+b，
则，解得，
直线L2所对应的函数关系式为y＝x﹣1．
25．（12分）广安某水果店计划购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示：
进价（元/千克）
售价（元/千克）
甲种
5
8
乙种
9
13
（1）若该水果店预计进货款为1000元，则这两种水果各购进多少千克？
（2）若该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果店在销售完这批水果时获利最多？此时利润为多少元？
【分析】（1）根据计划购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，进而利用该水果店预计进货款为1000元，得出等式求出即可；
（2）利用两种水果每千克的利润表示出总利润，再利用一次函数增减性得出最大值即可．
【解答】解：（1）设购进甲种水果x千克，则购进乙种水果（140﹣x）千克，根据题意可得：
5x+9（140﹣x）＝1000，
解得：x＝65，
∴140﹣x＝75（千克），
答：购进甲种水果65千克，乙种水果75千克；
（2）由图表可得：甲种水果每千克利润为：3元，乙种水果每千克利润为：4元，
设总利润为W，由题意可得出：W＝3x+4（140﹣x）＝﹣x+560，
故W随x的增大而减小，则x越小W越大，
因为该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，
∴140﹣x≤3x，
解得：x≥35，
∴当x＝35时，W最大＝﹣35+560＝525（元），
故140﹣35＝105（kg）．
答：当甲购进35千克，乙种水果105千克时，此时利润最大为525元．
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