第10章概率10.3.1频率的稳定性学案含解析

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10.3　频率与概率10.3.1　频率的稳定性小刚抛掷一枚硬币100次，出现正面朝上48次．问题：(1)你能计算出正面朝上的频率吗？(2)抛掷一枚硬币一次，出现正面朝上的概率是多少？知识点　频率的稳定性1．频率的稳定性一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．2．频率稳定性的作用可以用频率fn(A)估计概率P(A)．频率和概率有什么区别和联系？[提示]　区别：(1)在相同的条件下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝eq \f(nA,n)为事件A出现的频率．(2)概率是度量随机事件发生的可能性大小的量．(3)频率是一个变量，随着试验次数的变化而变化，概率是一个定值，是某事件的固有属性．联系：对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)随机事件的频率和概率不可能相等． (　　)(2)随机事件的频率和概率都随着试验次数的变化而变化． (　　)(3)概率能反映随机事件发生可能性的大小，而频率则不能． (　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×2．某人将一枚硬币连掷10次，正面朝上的情况出现了8次，若用A表示“正面朝上”这一事件，则A的(　　)A．概率为eq \f(4,5)　　　　 B．频率为eq \f(4,5)C．频率为8 D．概率接近于8B　[做n次随机试验，事件A发生了m次，则事件A发生的频率为eq \f(m,n)．如果多次进行试验，事件A发生的频率总在某个常数附近摆动，那么这个常数才是事件A的概率，故eq \f(8,10)＝eq \f(4,5)为事件A的频率．]3．每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，某次考试共12道选择题，某同学说：“每个选项正确的概率是eq \f(1,4)，若每题都选择第一个选项，则一定有3道题的选择结果正确”．这句话(　　)A．正确 B．错误C．有一定道理 D．无法解释B　[从四个选项中正确选择选项是一个随机事件，eq \f(1,4)是指这个事件发生的概率，实际上，做12道选择题相当于做12次试验，每次试验的结果是随机的，因此每题都选择第一个选项可能没有一个正确，也可能有1个，2个，3个，…，12个正确．因此该同学的说法是错误的．]4．经过市场抽检，质检部门得知市场上食用油合格率为80%，经调查，某市市场上的食用油大约有80个品牌，则不合格的食用油品牌大约有________个．16　[由题意得80×(1－80%)＝80×20%＝16个．] 类型1　频率和概率的区别和联系【例1】　下列说法正确的是(　　)A．由生物学知道生男生女的概率约为0.5，一对夫妇先后生两个小孩，则一定为一男一女B．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大D．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1D　[一对夫妇生两个小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张、五张，或者都不中奖，所以B不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1，所以C不正确，D正确．]理解概率与频率应关注的三个方面(1)概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值．(2)由频率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映．(3)正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系．对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．eq \o([跟进训练])1．“某彩票的中奖概率为eq \f(1,100)”意味着(　　)A．买100张彩票就一定能中奖B．买100张彩票能中一次奖C．买100张彩票一次奖也不中D．购买彩票中奖的可能性为eq \f(1,100)D　[某彩票的中奖率为eq \f(1,100)，意味着中奖的可能性为eq \f(1,100)，可能中奖，也可能不中奖．] 类型2　用随机事件的频率估计其概率【例2】　某公司在过去几年内使用了某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：时)进行了统计，统计结果如下表所示：(1)将各组的频率填入表中；(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率．[解]　(1)频率依次是0.048,0.121,0.208,0.223,0.193，0．165,0.042．(2)样本中使用寿命不足1 500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600．所以样本中使用寿命不足1 500小时的频率是eq \f(600,1 000)＝0.6，即灯管使用寿命不足1 500小时的概率约为0.6．1．频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率，频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率．2．解此类题目的步骤：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率．eq \o([跟进训练])2．某保险公司利用简单随机抽样的方法，对投保的车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1)若每辆车的投保金额为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．[解]　(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P(A)＝eq \f(150,1 000)＝0.15，P(B)＝eq \f(120,1 000)＝0.12，由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额的情形是赔付3 000元和4 000元，A与B互斥，所以所求概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27．(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主是新司机的有0.1×1 000＝100(位)，而赔付金额为4 000元的车辆中车主为新司机的有0.2×120＝24(位)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为eq \f(24,100)＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24． 类型3　游戏的公平性【例3】　(对接教材P253例2)某校高二年级(1)、(2)班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目．(1)班的文娱委员利用分别标有数字1,2,3,4,5,6,7的两个转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜．该方案对双方是否公平？为什么？1．判断某种游戏规则是否公平的标准是什么？[提示]　如果参加比赛的双方获胜(或失败)的概率是一样的，那么就说明这个游戏规则是公平的；否则就是不公平的．2．小明和小红通过抓阄决定谁代表班级参加学校举行的演讲比赛，规则如下：在一个不透明的盒子里有三个质地完全相同的小卡片，上面分别写有“参加”“不参加”“谢谢参与”，小明和小红分别从中摸取一个小卡片，摸到“参加”者代表班级参加学校举行的演讲比赛．这个游戏规则公平吗？请说明理由．[提示]　公平．因为每个人摸到“参加”的概率都是eq \f(1,3)．[解]　该方案是公平的，理由如下：各种情况如表所示：由表可知该游戏可能出现的情况共有12种，其中两数字之和为偶数的有6种，为奇数的也有6种，所以(1)班代表获胜的概率P1＝eq \f(6,12)＝eq \f(1,2)，(2)班代表获胜的概率P2＝eq \f(6,12)＝eq \f(1,2)，即P1＝P2，机会是均等的，所以该方案对双方是公平的．1．在例3中，若把游戏规则改为：两人各自转动转盘一次，转盘停止后，两个指针指向的两个数字相乘，如果是偶数，那么(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜．游戏规则公平吗？为什么？[解]　不公平．因为乘积出现奇数的概率为eq \f(4,12)＝eq \f(1,3)，而出现偶数的概率为eq \f(8,12)＝eq \f(2,3)．2．若在例3中，转盘被平均分成10等份(如图所示)，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的数字相符，则乙获胜，否则甲获胜．猜数方案从以下两种方案中选一种：A．猜“是奇数”或“是偶数”；B．猜“不是4的整数倍数”．请回答下列问题：(1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你会选哪种猜数方案？(2)为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？[解]　(1)为了尽可能获胜，乙应选择方案B．猜“不是4的整数倍”，这是因为“不是4的整数倍”的概率为eq \f(8,10)＝0.8，超过了0.5，故为了尽可能获胜，选择方案B．(2)为了保证游戏的公平性，应当选择方案A，这是因为方案A是猜“是奇数”和“是偶数”的概率均为0.5，从而保证了该游戏的公平性．游戏公平性的标准及判断方法(1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率是否相同．若相同，则规则公平，否则就是不公平的．(2)具体判断时，可以求出按所给规则双方的获胜概率，再进行比较．eq \o([跟进训练])3．甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．(1)写出甲、乙抽到牌的所有情况；(2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的数字比3大的概率是多少？(3)甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙的大，则甲胜；否则乙胜，你认为此游戏是否公平？为什么？[解]　(1)分别用2,3,4,4′表示红桃2，红桃3，红桃4，方片4，则甲、乙抽到牌的所有情况为(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共12种不同的情况．(2)甲抽到红桃3，乙抽到的只能是红桃2，红桃4，方片4，因此乙抽到的牌的数字比3大的概率是eq \f(2,3)．(3)甲抽到的牌的数字比乙的大，有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)，共5种情况，因此甲胜的概率为eq \f(5,12)，乙胜的概率为eq \f(7,12)．因为eq \f(5,12)＜eq \f(7,12)，所以此游戏不公平．1．下列说法正确的是(　　)A．任何事件的概率总是在(0,1)之间B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率D．概率是随机的，在试验前不能确定C　[必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0，所以任何事件发生的概率总在[0,1]之间，故A错，B，D混淆了频率与概率的概念，故B，D错．]2．给出下列3种说法：①设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是eq \f(3,7)；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．其中正确说法的个数是(　　)A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3A　[由频率与概率之间的联系与区别知，①②③均不正确．]3．设某厂产品的次品率为2%，估算该厂8 000件产品中合格品的件数可能为(　　)A．160 B．7 840 C．7 998 D．7 800B　[次品率为2%，故次品约8 000×2%＝160(件)，故合格品的件数可能为7 840．]4．在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了45次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为(　　)A．0.45,0.45 B．0.5,0.5C．0.5,0.45 D．0.45,0.5D　[出现正面朝上的频率是eq \f(45,100)＝0.45，出现正面朝上的概率是0.5．故选D．]5．一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率，公司收集了20 000辆汽车的数据，时间是从某年的5月1日到下一年的4月30日，共发现有600辆汽车的挡风玻璃破碎，则一辆汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是________．0.03　[在一年内挡风玻璃破碎的频率为eq \f(600,20 000)＝eq \f(3,100)＝0.03，用频率来估计挡风玻璃破碎的概率．]回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)什么是频率的稳定性？有什么作用？(2)频率与概率有什么区别和联系？学 习 任 务核 心 素 养结合实例，会用频率估计概率．(重点、难点)1．通过对频率和概率联系和区别的学习，培养数学抽象素养．2．通过利用随机事件的频率估计其概率，培养数学运算素养．分组[0，900)[900，1 100)[1 100，1 300)[1 300，1 500)[1 500，1 700)[1 700，1 900)[1 900，＋∞)频数4812120822319316542频率赔偿金额(元)01 0002 0003 0004 000车辆数(辆)500130100150120